浙江省杭州第二中学钱江学校2023-2024学年高一下学期寒假作业检测(开学考试)数学试卷

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【分析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到 0o < q < 90o 上的正弦值，借助正弦
函数在 0o < q < 90o 的单调性比较大小．
【详解】解：∵1 弧度≈57°，2 弧度≈114°，3 弧度≈171°． ∴sin1≈sin57°， sin2≈sin114°＝sin66°． sin3≈171°＝sin9°
B． sin2 > sin1 > sin3
C． sin1 > sin3 > sin2
D． sin3 > sin2 > sin1
3．设 a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（ ）
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
4．已知函数
y
=
4
sin
æ çè
2x
+
p 6
ö ÷ø
D．3c+3a＜2
8．已知 f ( x) 是偶函数，且 f ( x) 在[0,+ µ) 上是增函数，若 f (ax +1) £ f ( x - 2) 在
x
Î
é êë
1 2
,1ùúû
上恒成立，则实数
a
的取值范围是（
）
A．[﹣2，1]
B．[﹣5，0]
C．[﹣5，1]
D．[﹣2，0]
二、多选题
9．存在函数 f ( x) 满足：对任意 x Î R 都有（ ）
ù úû
，都有
f
( x) - m
£ 2 ，求 m 的取值范围．
21．已知函数
f
(x)
=
a ex
- lnx(a
>
0, e
=
2.71828L
为自然对数的底数）.
(1)当 a = 1时，判断函数 f ( x) 的单调性和零点个数，并证明你的结论； (2)当 x Î[1,e] 时，关于 x 的不等式 f ( x) > 2x - lna 恒成立，求实数 a 的取值范围.
D． π5π> tan 5
11．关于函数 f (x) =| ln | 2 - x ||，下列描述正确的有（ ）
试卷第21 页，共33 页
A． f (x) 在区间 (1, 2) 上单调递增
B． y = f (x) 的图象关于直线 x = 2 对称
C．若 x1 ¹ x2 , f (x1) = f (x2 ), 则 x1 + x 2 = 4 D． f (x) 有且仅有两个零点
即 3a + 3c < 2 ，
故选 D. 【点睛】通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的 一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观 性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的 取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 8．D
f
(x1) =
f (x2 ) ，求
x1 x2
+ x1 的取值范围.
试卷第41 页，共33 页
1．B
参考答案：
【分析】求出 A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合 C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，分类讨论，
可得结论． 【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∵集合 C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，
【详解】作出 f ( x) = 13x -1 的图象，如图所示，
要使 c < b < a ，且 f (c) > f (a) > f (b) 成立，
则有 c < 0 且 a > 0 ，\3c < 1 < 3a ，
\ f (c) = 1- 3c , f (a) = 3a -1 ，
又 f (c) > f (a) ，\1- 3c > 3a -1，
18．设集合 A = {x -1 £ x £ 2} ， B = {x m -1 < x < 2m +1} ．
（1）若 B Í A ，求实数 m 的取值范围； 试卷第31 页，共33 页
（2）若 B I (ðR A) 中只有一个整数 -2 ，求实数 m 的取值范围．
19．设函数 f (x) = sinx, x Î R . （1）已知q Î[0, 2p), 函数 f (x +q ) 是偶函数，求q 的值；
A． f (sin x) = cos x
B． f (sin x) = sin 2x
C． f (cos x) = cos 2x
10．下列不等式中，正确的是（ ）．
D． f (sin x) = sin 3x
A． tan 134π1<3πtan 5
B．
sin
π5π<
cos
æ çè
-
7
ö ÷ø
C． π5π> sin 5
+
b
)
=
-
12 13
， cos
b
=
cos [(a
+
b)
-a
]
=
cos(a
+
b)
cosa
+ sin(a
+
b )sina
=
-
16 65
.
故选：A. 6．A
【详解】由题意
ì 5wp ïï 8
+j
=
2k1p
íï11wp ïî 8
+j
=
k2p
+
p 2
，其中
k1,
k2
Î
Z
w
，所以
=
4 3
(k2
-
2k1 )
-
2 3
-
3 2
在闭区间
éêë0,
p 2
ù úû
上的最大值是
1，则
a
=
．
四、解答题
{ } { } 17．已知 a Î R ，集合 A = x x2 - 2x - 3 £ 0 ， B = x x2 - ax - 2 = 0 ．
(1)若 a = 1，求 A Ç B ； (2)若 A È B = A ，求实数 a 的取值范围．
2
14．已知
a
>
0
，
b
>
0
，且
1 a
+
1 b
=
1 ，则
a
1 -1
+
b
4 -1
的最小值为
.
15．函数 f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若 f（x）的定义域为 R，则 k 的取值范围是 ； ②若 f（x）的值域为 R，则 k 的取值范围是 ．
16．函数
y
=
sin 2
x
+
a
×
cos
x
+
5 8
a
b
)
=
5 13
，
tan
a 2
=
1 2
，则 cos b
的值是（
）
A．
-
16 65
B． 16 65
C．
-
33 65
D． 33 65
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6．设函数
f
(x)
=
2 sin(w x
+
j)
，
xÎ
R
，其中 w
>
0
，|
j
|<
p
.若
f
( 5p ) 8
=
2
，
f
(118p )
=
0
，
且 f (x) 的最小正周期大于 2p ，则
ù ûú
ö ÷ ø
的图象，如图，
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令
y
=
4sin
æ çè
2
x
+
p 6
ö ÷ø
=
±4 ，可得 x
=
p 6
和x=
2p 3
，
所以由对称性可得 x1 + x2
=
2
´
p 6
=
p 3
,
x2
+
x3
=
2´
2p 3
=
4p 3
，
故 x1 + 2x2 + x3
=
5p 3
，
故选：C．
5．A 【分析】根据半角公式得出a 的正切值，继而得出其正弦值和余弦值，再根据a 的取值范
恒成立，
从而
a
³
x
-3 x
12．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f ( x +1) = 2 f ( x) ，且当 x Î (0,1] 时，
f
(
x)
=
x(
x
-1)
.若对任意
x
Î ( -¥,
m]
，都有
f
(
x)
³
-
8 9
，则实数
m
的值可以是（
）
A． 9 4
B． 7 3
C． 5 2
D．
8 3
三、填空题
( ) 13．函数 f ( x) = log1 -x2 + 5x - 6 的单调减区间是 ．
ö ÷ø
，且 sina
=
4 3
cosa
，
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又 sin2 a
+ cos2 a
=1Þ
cosa
=
3 5
，得 sina
=4 5
.
因为 b
Î ( 0,π
) ，则a
+b
Î
æ çè
π43,π2
ö ÷ø
，
又
sin(a
+
b
)
=
5 13
<
2 2
，所以a
+
b
Î æçè
π 2
,π
ö ÷ø
，
\ cos(a
1 2
周期或
1 4
周期求出w ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的j 值， 另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐
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标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求w 或j 的值或
最值或范围等.
7．D 【分析】画出 f (x) =| 3x -1| 的图象，利用数形结合，分析可得结果.
（2）求函数
y
=
[
f
(
x
+
p )]2 12
+
[
f
(
x
+
p)]2 4
的值域.
20．已知函数 f ( x) = cos 2wx - 2
3
sin 2
æ çè
wx
+
π 4
ö ÷ø
+
π
3 (w > 0) 的最小正周期是 ．
(1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间；
(2)若对任意的
x
Î
éêë-
π5,π 12 12
① m＜0，x
，∴
2，∴m
，∴ m＜0；
＜
-
1 m
1 -m ³
³
-
1 2
-
1 2
£
② m＝0 时，C＝R,成立；
③ m＞0，x
，∴
1，∴m≤1，∴0＜m≤1，
＞-
1 m
-
1 m
£
-
综上所述，
-
1 2
£
m≤1，
故选：B． 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想， 属于中档题． 2．B
浙江省杭州第二中学钱江学校 2023-2024 学年高一下学期
寒假作业检测（开学考试）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A = {x | 0 < x < 2} ，集合 B = {x | -1 < x < 1} ，集合C = {x | mx +1 > 0} ，若
围和题意判断出a
+
b
Î
æ çè
π 2
,π
ö ÷ø
，并得出
a
+
b
的余弦值，最后根据恒等变换公式计算
cos b = cos[(a + b ) -a ] 即可.
【详解】Q
tan
a 2
=
1 2
Þ
tan
a
2 tan a
=
1
-
tan
2 2a
2
=
4 3
a, b Î(0,π )
> 1，因为
，
\a
Î
æ çè
π4π,
2
∵y＝sinx 在 0o < q < 90o 上是增函数，
∴sin9°＜sin57°＜sin66°， 即 sin2＞sin1＞sin3． 故选 B． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题． 3．D 【详解】∵a＝log54＜log55＝1， b＝（log53）2＜（log55）2＝1， c＝log45＞log44＝1， 所以 c 最大
( A U B) Í C ，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．{m | -2 £ m £ 1}
B．
ìím î
|
-
1 2
£
m
£
1üý þ
C．
ìím î
|
-1
£
m
£
1 2
ü ý þ
D．
ìím î
|
-
1 2
£
m
£
1 4
ü ý þ
2．三角函数值 sin1 ， sin2 ， sin3 的大小顺序是
A． sin1 > sin2 > sin3
，又
T
=
2p w
>
2p
，所以 0 < w
< 1，所以w
=
2 3
，j
=
2k1p
+
1 12
p
，由
j
<p
得j
=
p 12
，故选
A． 【考点】求三角函数的解析式 【名师点睛】有关 y = Asin(wx +j) 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数
的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定
A
，再根据周期或
22．已知函数 f (x) = x2 + x | x - 2a | ，其中 a 为实数．
（Ⅰ）当 a = -1 时，求函数 f (x) 的最小值； （Ⅱ）若 f (x) 在[-1,1]上为增函数，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）对于给定的负数 a ，若存在两个不相等的实数 x1, x2 （ x1 < x2 且 x2 ¹ 0 ）使得
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，可得|ax+1|≤|x﹣2|对
x
Î
é êë