新课改瘦专用高考数学一轮复习1.4基本不等式检测

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2023年新高考数学大一轮复习专题04 基本不等式及其应用 (解析版)

专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y Sxy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a c x =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用题型二：直接法求最值题型三：常规凑配法求最值题型四：消参法求最值题型五：双换元求最值题型六：“1”的代换求最值题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式题型九：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（）A ．12x x+≥ B ．a b +≥ C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误；对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误；对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+> B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy+> 【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式判断．【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +a b =时取等号．故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】【分析】由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x =+C ．233xxy -=+D ．2y【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ==，27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥，22a b a b +≥，所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =．故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（） A ．18 B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xxx +≥=⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立，所以()f x 的最小值为4.（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立，所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444baa b a b a b +⋅+⋅=++++=，故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误．故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥ 即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y为正数，由基本不等式可得124x y =+≥14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >，由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可．【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =，y =时，不等式取等，即22416x y x y -+，．例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值；（2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】（1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可；【详解】（1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--，当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=，当且仅当4t t=，即422x x +=+，即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号，即212xyz+-的最大值是1．故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（） A ．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______．【答案】12 【解析】【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求．【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ，所以a ＝23bb -，则2+a bab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12．【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y+联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】232⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a =时取等号，故02a b <+≤2a b +≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t < 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A ．3B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)第1章《基本不等式》

教材改编题
设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
第
二部分
探究核心题型
题型一利用基本不等式求最值
√A.ab 有最小值14
C.1a＋1b有最小值 4
B.8 a＋8 b有最大值 8 2
√D.a2＋b2
有最小值
2 2
由 1＝a＋b≥2 ab当且仅当a＝b＝12时等号成立，得 ab≤14，故 ab 有最大值14，故 A 错误； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab
＝1＋2 ab≤1＋2 14＝2当且仅当a＝b＝12时等号成立，则 a＋ b≤ 2，则 8 a＋8 b有最大值 8 2，故 B 正确； 1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4当且仅当a＝b＝12时等号成立，
因为 x≥0，所以 x＋1>0，x＋1 1>0，利用基本不等式得 y＝x＋x＋1 1＝x＋1＋x＋1 1－1≥2 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，等号成立. 所以函数 y＝x＋x＋1 1(x≥0)的最小值为 1.
x＋1·x＋1 1－1＝1，
教材改编题
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 __2_5__ m2.
题型二基本不等式的常见变形应用
例4 (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
a＋b A.b> 2 >a> ab
√ a＋b
C.b> 2 > ab>a
a＋b B.b> ab> 2 >a

专题1.4 基本不等式及其应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第一篇集合与不等式专题1.04 基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81【答案】 A【解析】因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1， ∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎡⎦⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.(2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝⎛⎭⎫1－c 2⎝⎛⎭⎫－32a ＋32c ⎝⎛⎭⎫a 2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，22－1) C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x ≥2B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x≥2 D.当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【答案】 C【解析】对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200.4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1 ≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4， ∴⎝⎛⎭⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)，∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝⎛⎭⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab ≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号.依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【答案】 6【解析】因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 2【解析】因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( ) A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2，故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 【解析】对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋x y的最小值为________. 【答案】 (－1，1) 3【解析】 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1，∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋x y的最小值为3.。

2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】

比方案一更划算．故选 B.] 7．ABD [对于 A，因为 x< ，所以 2x－1<0，1－2x>0，所以 2x＋
＝(2x－1)
＋＋1＝－
＋1≤－2
· ＋1＝－1(当且仅当 x
＝0 时等号成立)，此时 2x＋有最大值为－1，故 A 正确；
对于 B ，因为 x> － 2 ，所以 x ＋ 2>0 ，所以 ઴ ＝
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．四、解答题 11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形 ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为 1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形 ABCD 的面积最小)?
＝
≥2
· ＝4，当且仅当
＝，即 x＝2 时取等号，
故 B 正确；
对于 C，因为 x>0，y>0，所以 x·2y≤
，即 2xy≤
，因为 x＋2y＋2xy
＝8，所以 2xy＝8－(x＋2y)，所以 8－(x＋2y)≤
，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)
－32≥0，解得 x＋2y≤－8(舍去)或 x＋2y≥4(当且仅当 x＝2y 时等号成立)，所以 x＋2y 的最小值为 4，故 C 错误；
对于 D，＝
＝－
＋1≤－2 ＋1＝－5，当且仅
当－(x－1)＝－，即 x＝－2 时，等号成立．故 D 正确．]
8．ABD [因为 2x＋y＝3，且 x，y 均为正实数，所以由基本不等式得 2x＋y＝
至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小

1.4基本不等式专项训练高三数学一轮复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四节基本不等式1.不等式（x －2y ）＋1x －2y≥2成立的前提条件为（）A.x ≥2yB.x ＞2yC.x ≤2yD.x ＜2y 2.若a ，b 都是正数，则(1+ba )(1+4a b)的最小值为（）A.5B.7C.9D.133.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＋2，则xy （） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12D.有最小值为124.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A.80元 B.120元 C.160元D.240元5.（多选）下列不等式一定成立的有（） A.x ＋1x ≥2B.2x （1－x ）≤14C.x 2＋3x 2+1≥2√3－1D.√x ＋√x≥26.（多选）若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋4，则下列不等式恒成立的是（） A.0＜1ab ≤14 B.1a ＋1b ≥1 C.log 2a ＋log 2b ＜2D.1a 2＋b 2≤187.√（3－a)(a+6）（－6≤a≤3）的最大值为.8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＋1，则x＋yxy的最小值为.9.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为.10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＋0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.11.已知a，b为正实数，且a＋4b－√ab－3＋0，则ab的取值范围是（）A.（－∞，2]B.＋32，2＋C.＋0，32＋ D.（0，1]12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＋a，BC＋b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a＋b2≥√ab（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2√ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b ≤√ab（a＞0，b＞0） D.a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0）13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＋1，则下列不等式成立的是（）A.a＋b＋c≤√3B.（a＋b＋c）2≥3C.1a ＋1b＋1c≥2√3 D.a2＋b2＋c2≥114.已知a，b为正实数，且满足a＋b＋1.证明：（1）a2＋b2≥12；（2）√1a ＋2b≥1＋√2.15.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a元.（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？参考答案与解析1.B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.2.C因为a，b都是正数，所以＋1＋ba ＋＋1＋4ab＋＋5＋ba＋4ab≥5＋2√ba·4ab＋9（当且仅当b＋2a时等号成立）.故选C.3.C 因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2，所以x ＋2y ≥2√x ·2y ，即2≥2√2xy ，xy ≤12，当且仅当x ＋2y ，即x ＋1，y ＋12时，等号成立.所以xy 有最大值，且最大值为12.4.C 由题意知，体积V ＋4 m 3，高h ＋1 m ，所以底面积S ＋4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＋20×4＋10×＋2x ＋8x ＋≥80＋20√2x ·8x ＋160，当且仅当2x ＋8x ，即x ＋2时取得等号.5.CD 对于A ，当x ＜0时，x ＋1x ＜0，故A 错误；对于B ，2x （1－x ）＋－2x 2＋2x ＋－2＋x －12＋2＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2+1＋x 2＋1＋3x 2+1－1≥2√（x 2+1）·3x 2+1－1＋2√3－1，当且仅当x 2＋√3－1时取等号，故C 正确；对于D ，√x ＋√x ≥2√√x ·√x ＋2，当且仅当x ＋1时取等号，故D 正确.故选C 、D.6.BD 因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤＋a ＋b 2＋2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则ab ≤＋42＋2＋4≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则1ab≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b2≤18，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＋log 2ab ≤log 24＋2，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故A 、C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＋a ＋b ab＋4ab ≥4×14＋1，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故B 恒成立.7.92解析：当a ＋－6或a ＋3时，√（3－a)(a +6）＋0；当－6＜a ＜3时，√（3－a)(a +6）≤3－a ＋a+62＋92，当且仅当3－a ＋a ＋6，即a ＋－32时取等号.8.3＋2√2 解析：x ＋yxy ＋1x ＋1y ＋＋1x ＋1y ＋（2x ＋y ）＋3＋yx ＋2xy ≥3＋2√y x ·2xy＋3＋2√2，当且仅当yx ＋2xy ，即x ＋1－√22，y ＋√2－1时等号成立，所以x ＋y xy的最小值为3＋2√2.9.a 2＋b 2＋1（答案不唯一）解析：该等式可为a 2＋b 2＋1，下面证明该等式符合条件.1a2＋9b2＋＋1a2＋9b2＋（a 2＋b 2）＋1＋9＋9a 2b 2＋b 2a 2≥10＋2√9a 2b 2·b 2a 2＋16，当且仅当b 2＋3a 2时取等号，所以1a 2＋9b 2是一个变量，且它的最小值为16.10.解：（1）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1. 又x ＞0，y ＞0，则1＋8x ＋2y ≥2 √8x ·2y ＋√xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＋2y ，即x ＋16且y ＋4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.（2）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1，则x ＋y ＋(8x ＋2y )（x ＋y ）＋10＋2xy ＋8yx ≥10＋2 √2x y ·8yx＋18.当且仅当2x y＋8y x，即x ＋12且y ＋6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.11.D 因为a ＋4b －√ab －3＋0，所以a ＋4b ＋√ab ＋3≥2√a ·4b ，当且仅当a ＋4b 时取等号，因为a ，b 为正实数，所以0＜ab ≤1.故选D.12.D 由题意可得圆O 的半径r ＋OF ＋12AB ＋a ＋b 2，又由OC ＋OB －BC ＋a ＋b 2－b ＋a －b 2，在Rt＋OCF 中，可得FC 2＋OC 2＋OF 2＋＋a －b 2＋2＋＋a ＋b 2＋2＋a 2＋b 22，因为FO ≤FC ，所以a ＋b 2≤√a2＋b 22，当且仅当a ＋b时取等号.故选D.13.BD 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2（a 2＋b 2＋c 2）≥2（ab ＋bc ＋ca ）＋2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＋b ＋c ＋±√33时，等号成立.∴（a ＋b ＋c ）2＋a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ）≥3，∴a ＋b ＋c ≤－√3或a ＋b ＋c ≥√3.若a ＋b ＋c ＋－√33，则1a ＋1b ＋1c ＋－3√3＜2√3.因此A 、C 错误，B 、D 正确.14.证明：（1）因为a ＋b ＋1，a ＞0，b ＞0，所以a 2＋b 2＋12（a 2＋b 2＋a 2＋b 2）≥12（a 2＋b 2＋2ab ）＋12（a ＋b ）2＋12（当且仅当a ＋b 时取等号）. （2）1a ＋2b ＋(1a ＋2b )（a ＋b ）＋3＋2ab ＋ba ≥3＋2√2ab ×ba ＋3＋2√2＋（1＋√2）2＋当且仅当2ab ＋ba ，即a ＋√2－1，b ＋2－√2时等号成立＋，所以√1a ＋2b ≥1＋√2.15.解：（1）由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v，所以y ＋1 000v＋14v 2＋a ＋＋1 000＋14v ＋av＋，定义域为（0，80].（2）y ＋1 000＋14v ＋av ＋≥1 000×2√a4＋1 000√a （元），当14v ＋av 时，得v ＋2√a ，因为0＜v ≤80，所以当0＜a ≤1 600时，货车以v ＋2√a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，函数y ＋1 000＋14v ＋av ＋在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小.。

第04讲基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)

G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋

− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式

2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；

b a

2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；

当且仅当a＝b

2

a＋b

3ab≤
时等号成立
a，b∈R；

2

2
2

2

a ＋b
a＋b

4
a，b∈R.
≤
2

2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
⁠
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8

4

8

4

解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝

湘教版高考数学一轮总复习课后习题课时规范练4 基本不等式

课时规范练4 基本不等式基础巩固练1.(贵州黔西检测)函数y=x+4x-1在区间(0,+∞)内的最小值是( ) A.-2 B.1C.2D.32.若a>0,b>0,a+b=2,则a+bab的最小值为( )A.√22B.√2C.1D.23.已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为( )A.14B.12C.1D.24.已知a,b∈R,且a-3b=4,则2a+18b的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.165.(湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则yx +1y的最小值为( )A.√2+1B.2√2+1C.2D.526.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是( )A.15B.14C.13D.127.某商品计划提价两次,有甲、乙两种方案,甲方案是第一次提价p%,第二%,其中p>q>0,假设甲、乙次提价q%;乙方案是第一次和第二次都提价p+q2两种方案提价后商品的价格分别为M,N,则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.以上说法均不正确8.已知θ∈(0,π),则1-cos2θ的最小值为.2sin2θ9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.10.(河北石家庄模拟)若a>0,b>0,c>0,且(a+b)(a+c)=4-2√3,则2a+b+c的最小值为.综合提升练11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2√2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为( )A.√2B.1C.2D.612.已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是( )A.5B.9C.13D.1813.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2ab-32,则( )A.a>34B.a+b≥3C.ab≥94D.1a+1b≥4314.已知x,y为正实数,则yx +4xx+y的最小值为.创新应用练15.若a>0,b>0,则ba2+4b+a2的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.416.设x>-1,y>0且x+2y=1,则1x+1+1y的最小值为.课时规范练4 基本不等式1.D 解析因为x ∈(0,+∞),所以y=x+4x-1≥2√x ·4x-1=3,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,所以y=x+4x-1在区间(0,+∞)上的最小值是3,故选D.2.D 解析由已知可得a+b ab=2ab,因为a>0,b>0,由基本不等式知√ab ≤a+b 2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以0<ab≤1,所以1ab≥1,所以a+b ab=2ab≥2,故a+b ab的最小值为2.3.A 解析因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14,故选A.4.C 解析2a +18b≥2√2a ·18b =2√2a -3b =8,当且仅当2a =18b 即a=3,b=-1时等号成立,故选C. 5.A 解析由x+2y=2,得x+2y 2=1,所以y x+1y=y x+x+2y 2y=yx+x2y +1≥2√yx ·x2y +1=√2+1,当且仅当{x 2=2y 2,x +2y =2,即x=2√2-2,y=2-√2时,等号成立,所以yx +1y的最小值为√2+1,故选A.6.D 解析设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积为V=13×3×(ab+√ab ·4ab +4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4√ab =12,当且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.7.B 解析设商品提价前的价格为1,按照甲方案,M=(1+p)(1+q),按照乙方案,N=1+p+q22=[(p+1)+(q+1)]24≥4(p+1)(q+1)4=M,因为p≠q,所以取不到等号,所以M<N,故选B.8.√2-1 解析θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2θ-cos2θ=12sin2θ+sin2θ-1≥2√12sin2θ·sin2θ-1=√2-1,当且仅当12sin2θ=sin2θ,即sinθ=2-14时,等号成立,所以12sin2θ-cos2θ的最小值为√2-1.9.2√2解析由ab=a-b+3,得b=a+3a+1=1+2a+1,则a+b=a+1+2a+1≥2√2,当且仅当a=√2-1,b=√2+1时,等号成立,故a+b的最小值为2√2.10.2√3-2 解析由a>0,b>0,c>0及(a+b)(a+c)=4-2√3,可得4-2√3=(a+b)(a+c)≤a+c+a+b22,当且仅当b=c时,等号成立,所以(2a+b+c)2≥4(√3-1)2,即2a+b+c≥2(√3-1),所以2a+b+c的最小值为2√3-2.11.C 解析设斜边c=2√2,直角边分别为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则这个直角三角形周长取最大值,此时面积为12×2×2=2,故选C.12.D 解析由题意,正实数a,b 满足lga+lgb=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以2a+1b =1,故4a+2b=(4a+2b)2a+1b=10+4b a+4a b≥10+2√4b a·4ab=18,当且仅当4b a=4a b,结合2a+1b=1,即a=b=3时,等号成立,即4a+2b 的最小值是18,故选D.13.BCD 解析对于A,取a=34,b=92,满足a+b=2ab-32,但不满足a>34,A 错误;对于B,因为a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(a+b )22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=32时,等号成立,B 正确;对于C,a+b=2ab-32≥2√ab ,令√ab =t(t>0),所以4t 2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t ≥32,即√ab ≥32,所以ab ≥94,当且仅当a=b=32时,等号成立,C 正确;对于D,1a+1b=a+b ab=2ab -32ab=2-32ab,令ab=m,由C 选项可知,m ≥94,而函数y=2-32m在区间94,+∞上单调递增,所以2-32m≥43,当且仅当m=94,即a=b=32时,等号成立,所以1a+1b≥43,即D 正确,故选BCD. 14.3 解析yx +4x x+y=y+x -x x+4x x+y=y+x x+4x x+y-1≥2√y+x x·4x x+y-1=3,当且仅当y+x x=4x x+y,即y=x 时,等号成立.15.C 解析因为a>0,b>0,所以b a2+4b+a 2≥2√b a2·4b+a 2=4a+a2≥2√2,当且仅当2a=b=4√2,即a=2√2,b=4√2时,等号成立,所以b a2+4b+a2的最小值为2√2,故选C.16.3+2√22解析因为x>-1,y>0,所以x+1>0,2yx+1>0,x+1y >0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以1x+1+1y=121x+1+1y(x+1+2y)=123+2y x+1+x+1y≥12(3+2√2),当且仅当2y x+1=x+1y,即x=2√2-3,y=2-√2时取得最小值.。

2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用【课件】

4 3．(角度 3)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是__5______．
【解析】解法一：由 5x2y2＋y4＝1，可得 x2＝1－ 5y2y4，由 x2≥0，可得 y2∈(0,1]，则
x2＋y2＝1－ 5y2y4＋y2＝1＋5y42y4＝15
4y2＋y12
≥1·2 5
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
2．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( C )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.故选 C.
3．若 x>0，则 2x＋3x的最小值为__2___6___．【解析】 ∵x>0，∴2x＋3x≥2 2x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝ 32时等号成立
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
第四节基本不等式及其应用
课前双基巩固
——整合知识夯实基础
『知识聚焦』 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等．

2025版高考数学一轮总复习1-4基本不等式

3.基本不等式求最值
2
（1）设,为正数，若积等于定值，那么当 = 时，和 + 有最小值_____
（简记为:积定和最小）.
（2）设,为正数，若和 + 等于定值,那么当 =
（简记为：和定积最大）.
1 2

时，积有最大值_____
4
常用结论
1.常用推论
（1） +
≥ 2 + 2 2,
命题角度3 换元法求最值
例3 【多选题】（2022年新课标Ⅱ卷）若，满足 2 + 2 − = 1，则(
A. + ≤ 1
B. + ≥ −2
√
C. 2 + 2 ≤ 2
√
D. 2 + 2 ≥ 1
)
解：由 2 + 2 − = 1，得 +
2
+

等式，其中，____叫做正数，的算术平均数，_____叫做正数,的几何平均数.基
2
不小于
本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
2.几个重要不等式
重要不等式
2
2
−2

2 +2
2
使用前提
等号成立条件
> 0
_______
= −
________
−
≤ −2
− ⋅
当 = −1时等号成立，故B正确.
对于D，显然存在 = 4，使得 +
1

5
2
= < 2 2,故D错误.故选B.
1
−
= −2，当且仅
2.（2020年上海卷）下列不等式恒成立的是 (

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 4 基本不等式

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．若0<a<12，则a(1－2a)的最大值是()A．18B．14C．12D．1答案 A解析由0<a<12，得1－2a>0，则a(1－2a)＝12·2a(1－2a)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a＋（1－2a）22＝18，当且仅当a＝14时取等号．故选A.2．已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则14m＋2n的最小值为()A．4 B．22C．92D．16答案 C解析由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32 答案 A解析由于x >0，则y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A.4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为( )A ．9B ．12C ．16D ．20 答案 A解析因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1b ≥n 2a ＋b⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥n ，(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2b a ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1b≥n2a ＋b恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A. 5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．2 D ．2 2解析∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x＋2y＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝13，y＝12时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A.6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为()A．14B．12C．1 D．2答案 B解析因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2．又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.7．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a2＋b2的最小值为()A．2 B．22C．4 D．4 2 答案 C解析∵a>0，b>0，∴1a ＋1b＝ab≥21ab，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．综上，a2＋b2的最小值为4.故选C.8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则1a＋4b的最小值为()A．92B．9 C．18 D．36解析函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以1a ＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)×12＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋ba＋4ab≥12×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2ba·4ab＝92，当且仅当a＝23，b＝43时取等号，故1a＋4b的最小值为92.故选A.9．(多选)设x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是()A．若P＝1，则S有最小值2 B．若S＋P＝3，则P有最大值1C．若S＝2P，则S有最小值4 D．若S＋P＝3，则S有最大值2答案AB解析对于A，若xy＝1，则S＝x＋y≥2xy＝2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故A 正确；对于B，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，解得0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故B正确；对于C，若x＋y＝2xy，则x＋y＝2xy≤（x＋y）22，可得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故C错误；对于D，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≤x＋y＋（x＋y）24，解得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故D错误．10．(多选)下列说法正确的是()A．x＋1x(x＞0)的最小值是2 B．x2＋2x2＋2的最小值是 2C．x2＋5x2＋4的最小值是2 D．2－3x－4x的最大值是2－4 3解析当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，A 正确；∵x 2≥0，∴x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确；x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，令t ＝x 2＋4，则t ∈[2，＋∞)，∵y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥2＋12＝52，即x 2＋5x 2＋4≥52，C 错误；当x ＜0时，2－3x －4x 无最大值，D 错误．故选AB.11．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.12．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则m ＋n ＝________，1m ＋9n 的最小值是________．答案 4 4解析由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去).由a m a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n (m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时，1m ＋9n取得最小值4.二、高考小题13．(2022·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋4 |sin x|C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋4 ln x答案 C解析对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且y min＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sin x|＋4|sin x|≥2|sin x|·4|sin x|＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝4|sin x|，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x ≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以y min＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋4ln x<0，所以D不符合题意．14．(2022·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinα，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cosα均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α＋cos2β2，sinβcos γ≤sin2β＋cos2γ2，sinγcosα≤sin 2γ＋cos 2α2.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤32，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＜32，所以这三个值不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sin π6cos π3＝12×12＝14＜12，sin π3cos π4＝32×22＝64＞24＝12，sin π4cos π6＝22×32＝64＞12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15．(2022·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a 2＋b 2≤－2ab 答案 B解析显然当a <0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤2ab 不成立，故A 错误；∵(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2＋2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，故B 正确；显然当a <0，b <0时，不等式a ＋b ≥2|ab |不成立，故C 错误；显然当a >0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤－2ab 不成立，故D 错误．故选B.16．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.17．(2022·天津高考)若a >0，b >0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 三、模拟小题18．(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，则(a ＋1)(b ＋9)的最小值是( )A ．8B ．16C ．32D ．36 答案 B解析因为正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，所以6＝1a ＋9b ≥29ab ，即ab ≥1，当且仅当1a ＝9b 时，即a ＝13，b ＝3时取等号．因为1a ＋9b ＝6，所以b ＋9a ＝6ab ，所以(a ＋1)(b ＋9)＝9a ＋b ＋ab ＋9＝7ab ＋9≥7＋9＝16.故(a ＋1)(b ＋9)的最小值是16.故选B.19．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，若不等式1a ＋1b >m 恒成立，m ∈N *，则m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 ∵不等式1a ＋1b >m 恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min >m ，又a ＋b ＝1，a >0，b >0∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min＝4，∴m <4，又m ∈N *，∴m ＝3.故选A.20．(2022·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0，y >0，且x ＋4y －xy ＝0，若不等式a ≤x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，7]C ．(－∞，8]D ．(－∞，9] 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋4y －xy ＝0，∴4x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x .∵x y＋4yx≥2x y ·4y x ＝4(当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y ＝6时取等号)，∴x ＋y ≥5＋4＝9.又不等式a ≤x ＋y 恒成立，∴a ≤9.21．(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )＝|x －m ＋1|－2，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b )＝m ，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．85B ．8＋435 C ．835D ．2105 答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|－x －m ＋1|－2＝|x －m ＋1|－2，即(－x －m ＋1)2＝(x －m ＋1)2，整理得2(m －1)x ＝－2(m －1)x ，∴m ＝1，∴f (x )＝|x |－2.∴f (a )＋f (2b )＝a －2＋2b －2＝1，即a ＋2b ＝5.∴2a ＋3b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (a ＋2b )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4b a ＋3a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋24b a ·3a b ＝8＋435(当且仅当4b a ＝3a b ，即2b ＝3a 时取等号)，∴2a ＋3b 的最小值为8＋435.故选B.22．(多选)(2022·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a ＜v ＜ abB ．v ＝abC ．ab ＜v <a ＋b 2D ．v ＝2ab a ＋b答案 AD解析设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b .∵b ＞a ＞0，∴v ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ；另一方面，v ＝2ab a ＋b ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b＝a ＋b 2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ，则a ＜v ＜ab .故选AD. 23．(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A ．x 2＋1x 2≥2B ．x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2 C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b 2≥3＋2 2 D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥4 答案 AC解析对于A ，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A 正确；对于B ，x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；对于C ，1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C 正确；对于D ，当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥4，但当a ＋b ＝1时，不一定有a ＞0，b ＞0，故D 错误．故选AC.24．(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中，最小值为9的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x B ．y ＝1sin 2x ＋4cos 2xC ．y ＝lg x ＋4lg x －5D ．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2答案 AB解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＝5＋x 2＋4x 2≥5＋24＝9，当且仅当x 2＝2时，等号成立．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ≥5＋24＝9，当且仅当tan 2x ＝12时，等号成立．当lg x －5小于0时，y ＝lg x ＋4lg x －5无最小值．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2＝4（2x 2＋1）（x 2＋2）（x 2＋1）2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x 2＋1）＋（x 2＋2）22（x 2＋1）2＝9，当且仅当x 2＝1时，等号成立，则y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2的最大值为9.故选AB. 25．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x ＋lg y ＝0，则4x ＋9y 的最小值为________．答案 12解析因为lg x ＋lg y ＝0，所以xy ＝1(x >0，y >0)，所以4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12.等号成立的条件为4x ＝9y ，即x ＝32，y ＝23时取得最小值．26．(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ，y >0，且1x ＋3＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为________．答案 5解析x ＋y ＝2[(x ＋3)＋y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3＋1y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋3＋x ＋3y －3≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋3·x ＋3y －3＝5，当且仅当y x ＋3＝x ＋3y ，即x ＝1，y ＝4时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为5.一、高考大题1．(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34.证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2). 由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0.∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝（b ＋c ）2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.2．(2022·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc ＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.二、模拟大题3．(2022·福建龙岩高三检测)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求1x ＋1y 的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y ).又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0<x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4．(2022·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元．(1)求k 的值；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用．解 (1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400×3600400＝3600(元)，每批购入的电视机的总价值为400×2000＝800000(元)，所以保管费为k·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以3600＋k·800000＝43600，解得k＝0.05.(2)设每批进货x台，则运费为400×3600x ＝1440000x，保管费为0.05×2000x＝100x.所以支付运费与保管费的和为1440000x＋100x，因为1440000x ＋100x≥21440000x×100x＝24000，当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元．5.(2022·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10，20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式；(3)如何选取|AM |，才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10，20]，由x (30－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝225，可知当x ＝15时，S 取得最大值，为2253，当x ＝10或20时，S 取得最小值，为2003，∴2003≤S ≤2253，即S 的取值范围为[2003，2253].(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为12×30×303＝4503，∴草坪造价T 2＝12k S(4503－S ). ∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S＝2163，S即S＝2163时等号成立，此时3x(30－x)＝2163，解得x＝12或x＝18.∴选取|AM|为12米或18米时，能使总造价T最低．。

2025版新教材高考数学全程一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式学生用书

第四节基本不等式【课标标准】 1.驾驭基本不等式≤ (a>0，b>0).2.结合详细实例，能用基本不等式解决简洁的最大值或最小值问题．必备学问·夯实双基学问梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．2．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤________(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).(2)a＋b≥________(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)假如积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值__________．(简记：积定和最小).(2)假如和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).[常用结论]1.＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．2．应用基本不等式求最值要留意“一正、二定、三相等”，忽视某个条件，就会出错．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．( )(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.( )(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( )2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )A．B．C．D．3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋B．1＋C．3 D．45．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为________.关键实力·题型突破题型一利用基本不等式求最值角度一拼凑法求最值例 1(1)(多选)下列说法正确的是( )A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是2D．2－3x－的最大值是2－4(2)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．题后师说拼凑法求最值的策略巩固训练1[2024·辽宁沈阳三十一中月考]下列函数中，最小值为4的是( )A．y＝x＋B．y＝x＋＋4(x>－2)C．y＝cos2x＋D．y＝x2＋2x＋4角度二常值代换法求最值例 2 [2024·河南信阳模拟]设a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最大值为( )A．B．C．D．题后师说常数代换法求最值的一般步骤巩固训练2(1)[2024·辽宁鞍山模拟]已知正实数a、b满意a＋b＝2，则的最小值是( )A． B． C．5 D．9(2)a>0，b>0，a＋b＝4ab，则a＋b的最小值为________.角度三消元法求最值例 3[2024·安徽合肥八中模拟]已知x>0，y>0，满意x2＋2xy－1＝0，则3x＋2y的最小值是( )A． B． C．2 D．2题后师说当已知条件是含有两个变量的等式时，可以采纳把其中一个量用另一个量表示，代入所求代数式中再结合基本不等式求解．巩固训练3已知正实数a，b满意ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．题型二利用基本不等式证明不等式例 4[2024·安徽寿县一中模拟]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2.(1)求a2＋b＋c的取值范围；(2)求证：≥18.题后师说利用基本不等式证明不等式，先视察题中是否有符合基本不等式的条件．若有，则可以干脆利用基本不等式证明；若没有，则对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到运用基本不等式的条件．巩固训练4[2024·江西金溪一中模拟]已知正实数m，n满意m2＋n2＝4m2n2.证明：(1)mn≥；(2)≥8.题型三基本不等式的实际应用例 5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度肯定，池的四周墙壁建立单价为每米400元，中间一条隔壁建立单价为每米100元，池底建立单价每平方米60元(池壁厚忽视不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)假如受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．题后师说利用基本不等式解实际应用问题的技巧巩固训练5[2024·江西吉安模拟]春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车平安，在某高速马路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满意的函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时，车流量为1万辆/小时．(1)求该车型的平均车长l；(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？1.[2024·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是( )A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sin x|＋C．y＝2x＋22－xD．y＝ln x＋2．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则( )A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥13．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )A．a2＋b2≥B．2a－b>C．log2a＋log2b≥－2D．第四节基本不等式必备学问·夯实双基学问梳理1．(2)a＝b(3)2．(1)(2)23．(1)x＝y2(2)x＝y S2夯实双基1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.答案：B3．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max＝25.答案：254．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.答案：C5．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋＝2－，又－x－≥2 ＝2，∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2，当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．答案：2－2关键实力·题型突破例1 解析：(1)对于A，由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x ＝1时取等号，故A正确；对于B，＝，当x＝0时取得等号，故B正确；对于C，＝＝，令＝t，则t≥2，因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；对于D，2－在x<0时，没有最大值，故D错误．故选AB.(2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝”时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.答案：(1)AB (2)巩固训练1 解析：对于A：当x<0时y＝x＋<0，明显最小值不为4，解除；对于B：由x＋2>0，则y＝(x＋2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝－1时等号成立，满意；对于C：由题意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋在(0，1]上递减，故t＝1时函数最小值为5，不满意；对于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时最小值为3，不满意．故选B.答案：B例2 解析：∵a＋b＝1，＝，＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴.故选B.答案：B巩固训练2 解析：(1)＝(a＋b)＝(4＋5)＝，当且仅当＝时等号成立．故选B.(2)∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除以ab得＝4，∴a＋b＝(a＋b)·＝≥×2＝＝1.当且仅当＝即a＝b＝时取等号．答案：(1)B (2)1例3 解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝，而x>0，y>0，则有0<x<1，因此3x＋2y＝3x＋＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”，所以3x＋2y的最小值为2.故选D.答案：D巩固训练3 解析：∵正实数a，b满意ab－b＋1＝0，∴a＝>0，即b>1，∴＋4b＝＋4b＝＋4b＝1＋＋4(b－1)＋4＝5＋＋4(b－1)≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝，a＝时取等号，故＋4b的最小值是9.答案：9例4 解析：(1)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝2，则b＋c＝2－a，a2＋b＋c＝a2＋2－a ＝＋，又0<a<2，故≤a2＋b＋c<＋＝4，故a2＋b＋c的取值范围为.(2)证明：∵a>0，b>0，c>0，＝(a＋b＋c)＝≥＝×(14＋4＋6＋12)＝18，当且仅当，即a＝，b＝，c＝1时等号成立．故≥18.巩固训练4 证明：(1)由m2＋n2＝4m2n2，得＝4，又，所以mn≥，当且仅当m＝n＝时等号成立．(2)＝－＝16－≥16－＝8，当且仅当m＝n＝时等号成立．故≥8.例5 解析：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价为f(x)元，则f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g(x)＝x＋(0<x≤14.5)，明显g(x)是减函数，所以当x＝14.5时，g(x)有最小值，相应总造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．巩固训练5 解析：(1)由题意：当v＝100时，y＝1，∴1＝，∴l＝5.∴该车型的平均车长为5米．(2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0<v≤120)．∵v>0，∴y＝＝＝.当且仅当v＝，即v＝80时取等号．故当汽车的平均速度为80千米/小时时车流量y达到最大值．真题展台——知道高考考什么？1．解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x＝－1，y＝－5，D不符合题意．故选C.答案：C2．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1.令则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC3．解析：对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2(a－)2＋，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.答案：ABD。

基本不等式及其应用(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)

已知
，求
+
的最小值；解答过程：
≠
0
+
①

② 求函数 =
2 +5
2 +4
A．0个
2
即
−1
B．1个
≥2
的最小值；解答过程：可化得 =
③ 设 > 1，求 = +
当且仅当 =

2
的最小值；解答过程：
−1
×

= 2；
2 + 4 +
=+
= 2 时等号成立，把 = 2代入 2
【答案】B
【解析】由 + 2 − 2 = 0，得 =
2
，所以 4
+2
+=
8
+2
+=
4 2 − 2，
当且仅当 =
故选：B．
2
8
,
+2 +2
= + 2，即 =
2
2
, = 2 2 − 2 取等号．
8
��
+2
+ ( + 2) − 2 ⩾ 2
8
+2
⋅ ( + 2) − 2 =
=

++
模型四： ( − ) =
=时等号成立． Nhomakorabea ≤

(
+
(−)

≤

⋅
> , > )，当且仅当 =
+−
（

2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是()A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－232．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有()A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．若对x >0，y >0，有(x ＋2y m 恒成立，则m 的取值范围是()A ．m ≤4B ．m >4C ．m <0D ．m ≤84．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为()A ．2B ．3C ．4D ．85．已知a ，b ，c 满足a >b >c 时，不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0恒成立，则λ的取值范围是()A ．λ≤0B ．λ<1C ．λ<4D ．λ>46．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是()A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D.127．已知x >0，y >0，x ＋2y ＝1.若2x ＋1y >m 2＋3m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－1,4)8．设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为()A.43B.23C.13D ．1二、填空题9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是.10．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是.三、解答题11．已知正常数a ，b 和正实数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．13．(多选题)下列结论正确的是()A ．当x >0时，x ＋1x≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx≥214．已知0<a <1,0<b <1，不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，则11－a ＋21－b 的最小值为()A.1023B ．4＋423C ．4＋2D ．4215．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为：F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时．16．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是(D )A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－23解析：∵x >0，∴3x ＋1x ≥23x ·1x＝23，当且仅当x ＝33时取x －23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有(D )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：y ＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12(x －2)＋1x －2≥1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，故y 有最小值1，故选D.3．若对x >0，y >0，有(x ＋2y m 恒成立，则m 的取值范围是(D )A ．m ≤4B ．m >4C ．m <0D ．m ≤8解析：由x >0，y >0，得(x ＋2y2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·x y＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8，故选D.4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(B )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n＋8n≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N *，分别把n ＝2,3代入y ＝n ＋8n ，易知n ＝3时，y 最小，故最适宜的教室应在3楼．5．已知a ，b ，c 满足a >b >c 时，不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a >0恒成立，则λ的取值范围是(C )A ．λ≤0B ．λ<1C ．λ<4D ．λ>4解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a －c[(a －b )＋(b －c )]1＋a －b b －c ＋b －c a －b ＋1，而1＋a －b b －c ＋b －ca －b ＋1≥4(当且仅当(a －b )2＝(b －c )2时等号成立)，则λ<4.故选C.6．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是(A )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D.12解析：由0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，易知a 1a 2＋b 1b 2＝12.又a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1＋(a 2－a 1)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)>0，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.注意到1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，所以a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知a 1b 1＋a 2b 2最大．7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＝1.若2x ＋1y >m 2＋3m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围是(C )A ．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－1,4)1x ＋2y )＝4＋4y x ＋xy ≥8，即m 2＋3m ＋4<8恒成立，m 2＋3m －4<0的解集为(－4,1)．故选C.8．设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为(A )A.43 B.23C.13D ．1解析：由题意，得(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(x 2＋z 2)＝3(x 2＋y 2＋z 2)，即x 2＋y 2＋z 2≥(x ＋y ＋z )23＝43(当且仅当x ＝y ＝z ＝23时取等号)，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为43，故选A.二、填空题9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是a ≥15.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.10．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是233.解析：注意到消元有难度，而目标式为x ＋y ，且条件可以构造出x ＋y 的平方，于是1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时取最大值233.三、解答题11．已知正常数a ，b 和正实数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立，所以x＋y的最小值为(a＋b)2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝k2x＋5(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)(1)求y2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝k5，∴k＝30.故y1＝302x＋5，y2＝4x＋302x＋5·15＋10＝4x＋4502x＋5＋10(0≤x≤10)．(2)y2＝4x＋4502x＋5＋10＝(4x＋10)＋4502x＋5＝2(2x＋5)＋4502x＋5≥22(2x＋5)·4502x＋5＝60，当且仅当2(2x＋5)＝4502x＋5，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．13．(多选题)下列结论正确的是(AD )A ．当x >0时，x ＋1x ≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx≥2解析：在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2取不到1，因此x ＋1x 的最小值不是2，结论错误；在C 中，因为x <54，所以5－4x >0，则y ＝4x －2＋14x －5＝－5－4x ＋15－4x 3≤－2×(5－4x )·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，结论错误；显然D 正确，故选AD.14．已知0<a <1,0<b <1，不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，则11－a ＋21－b 的最小值为(B )A.1023B ．4＋423C ．4＋2D ．42解析：因为不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab ≤0，即4ab ≥1.又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，所以Δ2＝1－4ab ≥0，即4ab ≤1，所以4ab ＝1，即b ＝14a (1<4a <4)．所以11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝44－4a ＋24a －1＋2＝44－4a(4－4a ＋4a －1)×13＋24a －1(4－4a ＋4a －1)×13＋2＝2＋134(4a －1)4－4a ＋2(4－4a )4a －1＋2≥4＋13×28＝4＋423(当且仅当4(4a －1)4－4a ＝2(4－4a )4a －1时，等号成立)．所以11－a ＋21－b 的最小值为4＋423.15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为：F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为1_900辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76000v ＋20×6.05v＋18≤760002121＋18＝1900，当且仅当v ＝20×6.05v ，即v ＝11时等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76000v ＋20×5v＋18≤760002100＋182000，当且仅当v ＝20×5v ，即v ＝10时等号成立，2000－1900＝100(辆/时)．16．设a ，b 为正实数，且1＋1＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．解：(1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22≥21ab(a ＝b 时等号成立)．即ab ≥12(a ＝b 时等号成立)．∵a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(a ＝b 时等号成立)．∴a 2＋b 2的最小值为1.(2)∵1a ＋1b ＝22，∴a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2≥4(ab )3，∴(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3.即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，∵a ，b 为正实数，∴ab ＝1.。

高考数学一轮复习第一篇集合与不等式专题1.4 基本不等式及其应用练习(含解析)-人教版高三全册

专题1.4 基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81【答案】 A【解析】因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.【真题体验】4.(2019·某某镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.(2018·某某一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号. 6.(2018·某某卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a＋18b 的最小值为14. 【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·某某一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·某某联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号).又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】见解析【解析】(1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值X 围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·某某八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·某某卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. (2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 法二以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·某某模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值X 围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防X 】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·某某调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x ≥2B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 C【解析】对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·某某诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200. 4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1 ≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·某某模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·某某中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【答案】 8 【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【答案】 6【解析】因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 2【解析】因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n≥1＋2n 2m ·m 2n＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·某某师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 31b有( )A.最大值log 312B.最小值log 32C.最大值log 1312D.最小值0【答案】 B【解析】由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13a ＋log 31b ＝log 13a ＋log 13b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2，故log 13a ＋log 31b有最小值为log 3 2. 14.(2019·某某师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】 D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2. 15.(2017·某某卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值X 围是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 【解析】对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值X 围为________，1x ＋x y的最小值为________. 【答案】 (－1，1) 3【解析】 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1，∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值X 围为(－1，1). 1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋x y 的最小值为3.。

高中数学新高考复习试卷讲义第1章 §1.4 基本不等式

1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则lg a ＋lg b 的最大值为( )A ．0 B.13 C.12D ．1 3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．64．(2023·太原模拟)已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1b ＋2的最小值为( ) A.23 B.56 C.12D ．4 5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a ＝log 23，b ＝log 243，则下列关系正确的是( ) A ．ab >a ＋b 2 B ．ab <a ＋b 2 C.a ＋b 2>b a D ．ab >b a 6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14B.1a ＋1b ≥1 C ．log 2a ＋log 2b <2 D.1a 2＋b 2≤187．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 8．(2023·娄底质检)已知a ，b 为正实数，且2a ＋b ＝1，则2a ＋a 2b的最小值为________．9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2＋100x ，0<x <40，701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出今年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan 2β＝0，则tan α的最大值为( )A.24B.23C.22D.2 12．(2022·天津模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab的最小值为________．13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≤ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b (a >0，b >0) D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0) 14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则( )A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1。

新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价4不等式的性质与基本不等式

课时质量评价(四)A组　全考点巩固练1．下列不等式恒成立的是( )A．a2＋b2≤2abB．a2＋b2≥－2abC．a＋b≥2D．a＋b≤－2B　解析：对于选项A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2≥2ab，故A错误．对于选项B，因为a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，当且仅当a＝－b时，等号成立，所以a2＋b2≥－2ab，故B正确．对于选项C，令a＝－1，b＝2，则a＋b＝－1＋2＝1,2＝2＝2．因为1＜2，所以a＋b＜2，故C错误．对于选项D，令a＝1，b＝0，则a＋b＝1，－2＝－2＝0．因为1>0，所以a＋b>－2，故D错误．2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )A．x＝y B．x＝2yC．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1C　解析：因为x>0，y>0，所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时，等号成立．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )A．10B．12 C．16D．9D　解析：由已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m≤(a＋b)恒成立，转化成求y＝(a＋b)的最小值．y＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以m≤9．故选D．4．(多选题)已知<<0，则下列结论正确的有　( )A．a<b B．a＋b<abC．|a|>|b|D．ab<b2BD　解析：由<<0，得b<a<0，所以a＋b<0<ab，|b|>|a|，b2>ab．因此BD正确，AC不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是( )A．≥(a＞0，b＞0)B．≥(a＞0，b＞0)C．≥(a＞0，b＞0)D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)A　解析：连接DB，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，中线OD＝＝．由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab．所以CD＝．在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝．由CD≥DE得≥．6．(2021·枣庄高三统考)函数f(x)＝(x＞1)的最小值是________．2　解析：由于x＞1，故x－1＞0，故f(x)＝2(x－1)＋≥2＝2，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，函数取得最小值2．7．(2021·天津卷)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．2　解析：因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，所以＋＋b的最小值为2．8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．3　解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3．9．(2022·唐山模拟)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1．(1)求证：a＋b≤2；(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3＋1，当且仅当a＝b时，等号成立．解得(a＋b)2≤4．又a>0，b>0，所以a＋b≤2．(2)解：不能成立．理由：a>0，b>0，c>0，d>0，由基本不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．因为a＋b≤2，所以＋≤1＋．因为c>0，d>0，cd>1，所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，故＋＝c＋d不能成立．10．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)．又每件产品的销售价格为1.5×，所以2021年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1即m＝3时，y max＝21．故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．B组　新高考培优练11．已知正实数a，b满足a＋b＝3，则＋的最小值为( )A．1 B． C． D．2C　解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以＋＝[(1＋a)＋(4＋b)]·＝≥×(5＋4)＝，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝，b＝时等号成立．12．已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A．ab>ac B．(a－b)c<0C．a2c<b2c D．ac(a－c)<0C　解析：因为a>b>c，且ac<0，所以a>0，c<0，b－c>0．对A，a(b－c)>0显然成立，所以ab>ac，故A正确；对B，因为a－b>0，c<0，所以(a－b)c<0，故B正确；对C，因为c<0，所以a2c<b2c⇔a2>b2，若c＝－5，a＝3，b＝－4，此时a2>b2不成立，若c＝－5，a＝3，b＝－1，此时a2>b2成立，故C不一定成立；对D，因为ac<0，a－c>0，所以ac(a－c)<0成立，故D正确．13．(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－cD．若a＞b，c＞d＞0，则＞BC　解析：若a＞0＞b,0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，故D错误．故选BC．14．(2021·南京模拟)若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为( ) A．7B．8C．9D．10C　解析：将不等式化为＋≥m，只需当x∈时，m≤min即可．由＋＝(4x＋1－4x)＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x＝时，等号成立，故m≤9．故m的最大值为9．故选C．15．(2021·淮安联考)拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，若△O1O2O3的面积为，则△ABC的周长的取值范围为________．[3＋2，4]　解析：易知A，O1，O3共线，由△O1O2O3的面积为，可得O1O3＝2．设AO1＝x，AO3＝y，则x，y>0，且x＋y＝2，易知AB＝x，AC＝y，所以AB＋AC＝(x＋y)＝2．由余弦定理，得BC2＝3x2＋3y2＋3xy＝3(x＋y)2－3xy＝12－3xy，又x＋y＝2≥2，所以xy≤1，即BC2∈[9,12)，即BC∈[3,2)，所以AB＋AC＋BC∈[3＋2，4)．16．(2021·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2．(1)求xy的最小值；(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3．(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3．17．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是R(x)＝－x2＋500x(单位：元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？求P(x)的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．解：(1)依题意，总利润为－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40 000，所以P(x)＝＝－x－＋400≤－200＋400＝200．当且仅当x＝，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b＝a＋λ(c－a)得λ＝．因为b－a是c－b，c－a的比例中项，所以(b－a)2＝(c－b)(c－a)，两边除以(b－a)2，得1＝·＝·，所以1＝·，解得λ＝．(3)由(1)知，当x＝400时，厂家平均利润最大，所以a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b－a＝λ(c－a)＝100(－1)，所以b＝100(＋3)，所以a＝400，b＝100(＋3)．。

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课时跟踪检测（四）基本不等式[A 级基础题——基稳才能楼高]1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( ) A.25B.12C.22D ．1解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时取等号，f (x )max ＝12.2，若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b|2≥|ab|B.b a ＋ab≥2 C.a2＋b22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22D ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4 解析：选C 由于a ，b ∈R ，所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C 项．∵a2＋b22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝＋－＋2ab ＋4＝a2－2ab ＋b24＝－4≥0，∴a2＋b22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×yx＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.4．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，所以x ＋y＋4x ＋y≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是( )A ．24B ．28C ．25D ．26解析：选C 因为x ，y 均为正数，所以由基本不等式得3x y ＋12yx ＋13≥23x y ·12yx＋13＝25，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故3x y ＋12yx＋13的最小值是25，故选C.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a·lg b，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q解析：选C ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a·lg b，即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q ，∴P <Q <R .2．(2019·湖北稳派教育联考)若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1解析：选C ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件，故选C.3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 2，则2m ＋12n 的最小值为( )A ．1B.12C.34D.32解析：选C 由题意知a m a n ＝a 212m ＋n －2＝4a 2122＝a 2124，∴m ＋n ＝6，则2m ＋12n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋12n (m ＋n )＝1652＋2n m ＋m 2n ≥16×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2＝34，当且仅当m ＝2n 时取等号， ∴2m ＋12n 的最小值为34，故选C. 4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为( )A ．6B ．4C ．2 3D ．3 2解析：选A 因为4a ＋b ＋1a －b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b ＋1a －b ·[]＋＋－＝12a⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋a ＋b a －b ＋－a ＋b≥12a(5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号)，所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b≥2a ＋92a ≥6(当且仅当a ＝32时后一个不等式取等号)，故选A.5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A.53B.83 C ．8D ．24解析：选 C 因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y的最小值为8，故选C.6．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2D ．2 6解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴a ＋b ＋c ≤2 6.7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝＋S4＝S 4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选D ∵O 为AB 的中点，∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→，从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→＝－2|PO ―→|·|PC ―→|. 又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12AB ＝2≥2|PO ―→|·|PC ―→|，∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1， ∴－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2， ∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1，即P 为OC 的中点时，(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→取得最小值－2，故选D.9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中，若a 2＋b 2＝2c 2，则内角C 的最大值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选C ∵a 2＋b 2＝2c 2，∴由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab ≥a2＋b2－c2a2＋b2＝2c2－c22c2＝12，当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角，∴角C 的最大值为π3，故选C.10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：∵x >0，y >0，x ＋2y ＝3，∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ·x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9，y ＝6－33时等号成立，∴y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋2311．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．解析：由2m ＋n ＋6＝mn ，m >0，n >0，得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ，令2mn ＝t (t >0)，则2t ＋6≤t22，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍)或t ≥6，即2mn ≥6，mn ≥18，则mn的最小值是18.答案：1812．(2019·张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．解析：∵a >0，b >1，a ＋b ＝2， ∴3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1(a ＋b －1) ＝3＋－a ＋a b －1＋1 ＝4＋－a ＋a b －1≥4＋23，当－a＝a b －1，即a ＝3－32，b ＝3＋12时取等号，故最小值为4＋2 3.答案：4＋2 313．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2aa －3>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋2a a －3＝a －3＋6a －3＋5≥5＋2－6a －3＝5＋26，当且仅当a －3＝6a －3，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 614．(2018·唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0，所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2.因为c >0，d >0，cd >1，。