2020年高考数学一轮复习：第64课通项与求和

第64课 通项与求和(1)
1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通
项.
2. 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.
1. 阅读：必修5第37～39页、第51～53页.
2. 解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.
3. 践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.
基础诊断
1. 已知等差数列{a n }的公差为d ，则a n －a m ＝ (n －m)d . 解析：因为数列{a n }是等差数列，且公差为d ，所以a n －a m ＝a 1＋(n －1)d －[a 1＋(m －1)d]＝(n －m)d.
2. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝n n ＋1，则a n ＝ 1
n
.
解析：当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1
＝1×12×23×3
4×…×n －1n ＝1n ；当n ＝1
时也成立，故a n ＝1
n
.
3. 若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n ＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n （n ＋1）
2
. 解析：由a n ＝n ＋a n －1可变形为a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，由此可写出以下各式：a n
－a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 2－a 1＝2，将以上等式两边分别相加，得a n －a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2，所以a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）
2
. 4. 在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项a n ，a n ＋1，a n ＋2的关系是 a n ＋2＝a n ＋a n ＋1 .
范例导航
考向❶ 利用“累乘、累加”法求通项
例1 已知数列{a n }满足a 1＝1
2，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，
b n ＋1＝2b n .求数列{a n }，{b n }的通项公式.
解析：因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，
所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，
所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1
n ＋1
.
又a 1＝1
2，
所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1
×…×24×13×12＝
1
n （n ＋1）
.
当n ＝1时，上式成立，故a n ＝
1
n （n ＋1）
.
因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，
所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n .
已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1
n ，求数列{a n }的通项公式. 解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ， 所以a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln n
n －1(n ≥2)，
所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln
n n －1＋ln n －1n －2
＋…＋ln 3
2＋ln2＋2
＝2＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫n n －1×n －1n －2×…×32×2 ＝2＋ln n (n ≥2).
又a 1＝2满足上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *).
【注】 (1) 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2) 形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1
a n
＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2
·…·a 2
a 1·a 1代入求出通项.
(3) 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应
注意配凑变形法. 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明. 考向❷ 构造等差、等比数列求通项
例2 (1) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式；
(2) 已知数列{a n }满足a 1＝2， a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1，求数列{a n }的通项公式. 解析：(1) 因为a n ＋1＝3a n ＋2， 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1). 又a 1＝1，所以a 1＋1＝2，
故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以a n ＋1＝2×3n －
1，
故a n ＝2×3n －
1－1.
(2) 因为a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1，所以a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1.
又a 1
2
＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以a n
2
n ＝n ，即a n ＝n·2n .
已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n
2
，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式. 解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝
a n 2
， 所以2a 2
n ＋1＝a n ，且a n >0，
两边取对数，得lg 2＋2lg a n ＋1＝lg a n ，
即lg a n ＋1＋lg 2＝1
2(lg a n ＋lg 2).
因为lg a 1＋lg 2＝2lg 2，
所以数列{lg a n ＋lg 2}是以2lg 2为首项，1
2为公比的等比数列，
所以lg a n ＋lg 2＝2×⎝⎛⎭
⎫
12n －1
×lg 2，
所以a n ＝222－
n －1.
【注】 (1) 此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y ＝a x 中转化为等比数列.
(2) 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为a n ＋1＋x ＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 考向❸ 由a n 与S n 的递推关系求通项
例3 记数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，求S n .
解析：方法一：当n ＝2时，S 2＝2(a 1＋a 2)， 从而得a 2＝－a 1＝－1.
当n ≥3时，S n －1＝2(a 1＋a n －1)，
所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 又a 2≠2a 1，
所以数列{a n }是从第二项起以a 2＝－1为首项，2为公比的等比数列，
所以当n ≥2时，S n ＝1＋（－1）×（1－2n －
1）1－2
＝2－2n －
1.
又S 1＝a 1＝1＝2－20，满足上式，
所以S n ＝2－2n －
1.
方法二：当n ＝2时，S 2＝2(a 1＋a 2)， 从而a 2＝－a 1＝－1.
当n ≥3时，a n ＝S n －S n －1，
所以S n ＝2(1＋S n －S n －1)，即S n ＝2S n －1－2， 所以S n －2＝2(S n －1－2).
因为S 2－2＝－2，S 1－2＝－1， 所以S 2－2＝2(S 1－2)，
所以数列{S n －2}是以－1为首项，2为公比的等比数列，
所以S n －2＝(－1)·2n －1，即S n ＝2－2n －
1.
已知数列{a n }共有2k 项(k ≥2，k ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n ＋1
＝(p －1)·S n ＋2(n ＝1，2，…，2k －1)，其中常数p >1.
(1) 求证：数列{a n }是等比数列；
(2) 已知p ＝2
22k －1
，数列{b n }满足：b n ＝1
n
log 2(a 1a 2…a n )(n ＝1，2，…，2k )，求数列{b n }
的通项公式.
解析：(1) 因为a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(n ＝1，2，…，2k －1)， 所以a n ＝(p －1)S n －1＋2(n ＝2，3，…，2k )， 两式相减得a n ＋1－a n ＝(p －1)(S n －S n －1)， 即a n ＋1－a n ＝(p －1)a n ，
所以a n ＋1＝pa n (n ＝2，3，…，2k －1). 令n ＝1，得a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1，
所以a n ＋1
a n ＝p ≠0(n ＝1，2，…，2k －1)，
所以{a n }是等比数列.
(2) 由(1)得a n ＝a 1p n －
1，且a 1＝2， 所以b n ＝1
n log 2(a 1a 2…a n )
＝1n log 2(a 1·a 1p ·a 1p 2·…·a 1p n －1) ＝1n log 2(a n 1·p 1＋2＋…＋n －1) ＝log 2(a 1·p
n －1
2
)＝1＋n －12log 2p ＝1＋n －12·22k －1＝1＋n －12k －1
.
【注】 一种思考方法是先求出数列{a n }的通项公式，再求它的前n 项和，所以将S n 转
化为a n ，通过研究a n 来求和；另一种思考方法是直接研究数列{S n }，所以将a n 转化为S n 后再求它的通项.这是研究S n 与a n 的关系问题时常用的两种解法，解题时要合理选择.
自测反馈 1. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则a 100＝ 2
101 .
解析：因为a n ＋1＝
2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝12
.又因为1
a 1＝1，所以
数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋12(n －1)＝1＋n 2，所以a n ＝2
1＋n ，
所以a 100＝
2
101
.
2. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1＋1(n ≥2，n ∈N *
)，则a n 解析：因为a n ＝a 2n －1＋1，所以a n >0，且a 2n ＝a 2n －1＋1，即a 2n －a 2n －1＝1，所以数列{a 2
n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a 2n ＝n ，故a n ＝n .
3. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则a n ＝ 2n －
1 .
解析：因为S n ＝2a n －1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n
－1
－1)，即2a n －1＝a n ，所以
a n
a n －1
＝2.因为a 1＝S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n －
1，当n ＝1时，也满足上式，所以a n ＝2n －
1.
4. 数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n ＋1)·(n ＋2)(n ∈N *)，则a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2＋2n
， n ≥2. 解析：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n ＋1)(n ＋2) ①，当n ＝1时，a 1＝(1＋1)×(1＋2)＝6；当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝n (n ＋1) ②，①－②得na n ＝(n ＋1)(n ＋2)－n (n ＋1)＝2n ＋2，所以a n ＝2n ＋2n ＝2＋2n (n ≥2).当n ＝1时，a 1＝6，不满足上式，所以
a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧6， n ＝1，2＋2n
，n ≥2.
1. 注意数列条件限制，如正项数列、等比数列中任意一项均不为0.要分清第n ＋1项与第n 项表达式之间的关系.
2. 已知S n 求a n ，要注意对n ＝1情况的讨论.
3. 你还有那些体悟，写下来：。