地基中附加应力计算

§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
十. 影响土中应力分布的因素算
B
1. 非均匀性—成层地基
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中；
▪应力集中程度与土层刚度和厚度有关；
成层 H
均匀 E
1
▪ 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基
1 / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0
2.在某一水平面上，r=0, z 最大; r↑，a减小，σz减小
3.在r>0的竖直线上，z=0, σz=0； 随z↑，σz先增加后减小
4.σz
等值线－其空间曲面形状如泡状称为应力泡
P
P
0.1P
0.05 0.P02
总应力
Terzaghi （1923） 有效应力原理 固结理论
土力学成为独立的学科
30
有效应力（ σ’ ）：土粒间相互传递的力，是由土粒
间接触面承担；
孔隙水压力（u)：土体孔隙内的水和气体承担的力.
'u
31
有效应力（ σ’ ）：
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。 ②强度的成因
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
竖直 集中力
矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载 条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
主要讨论 竖直应力
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
竖直 矩形内积分 集中力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
P
0.01
5
工程应用
当基础底面形状不规则或荷载， 分布较复杂时，可将基底分为若 干个小面积，把小面积上的荷载 当成集中力，然后利用上述计算 附加应力公式，进行叠加，可求 出附加应力总和。
Pi
ri
z
P z2
z
如果小面积的最大边长小于计算应
力深度的1/3时，用此法所得的应 力值与正确应力之相比，误差不 超过5%。
凝聚力和摩擦—与σ’ 有关
孔隙水压力（u):
对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献，并且水不能承 受剪应力，因而孔隙水压力对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身受到等向压力， 由于颗粒本身压缩模量很大，故土粒本身压缩变形极小。 因而孔隙水压力对变形也没有直接的影响，土体不会因为 受到水压力的作用而变得密实。
3. 各向异性地基
Ex与Ez不相等，泊松比相等时
•当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 •当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
29
3.5饱和土的有效应力原理
孔隙流体
三相体系
土＝ 固体颗粒骨架 + 孔隙水 + 孔隙气体
受外荷载作用
总应力由土骨架和孔隙流体共同承受 对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？ 它们如何传递和相互转化？ 它们对土的变形和强度有何影响？
E2>E
1
B
▪ 中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散；
▪ 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关；
▪ 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
成层
H
均匀 E
1
(3)土的变形模量随深度增大的地基 —应力集中现象
E2<E
1
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
十. 影响土中应力分布的因素 算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP p0dxdy
dP p0
y
d z
3 p0
2
z3 R5
dxdy
BL
z 0 0 d z z ( p0, m, n)
x
L
B
z
z ks p0
M
m=L/B, n=z/B
ks
F(B, L, z)
F(L B
,
z) B
F(m, n)
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数
x y z xy yz zx u v w
3
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
3P 2
z3 R5
R2 r2 z2 x2 y2 z2
y
z
3P 2
z3 R5
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P z2
P
o
αr
小结
z
k
P z2
——竖直集中荷载作用下
z ks p0 ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下
z kt pt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下
z
k
s z
p0
——条形面积竖直均布荷载作用时
z
k
t z
pt
——条形面积三角形分布荷载作用时
z k0 p0 ——条形面积梯形分布荷载作用时
p z
z
查表3-2
8
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
z (kcA kcB kcC kcD ) p0
b.矩形面积外
32
饱和土的有效应力原理
（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’ 和u，并且
'u
通常,
总应力已知或易知 'u
孔隙水压测定或算定
（2）土的变形与强度都只取决于有效应力
有效应力
(3)在渗透固结过程中，伴随着u的逐渐扩散，有效应 力在逐渐增大，土的体积在逐渐减小，强度随之增高。
33
dP
p0
z kt pt
B
z
M
L
x
kt
F(B, L, z)
F(L B
,
z) B
F (m, n)
z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
查表33
15
16
17
18
19
20
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
根据 x , z BB
查表3.7
23
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
例题：某条形基础上作用着荷载F=300KN，基础宽度 b=2m,基础埋深1.2m,γ=19KN/m3 ， M=42KN.m,求基础 中点下的附加应力。
24
25
26
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
(3)土的变形模量随深度增大的地基—应力集中现象
地基土的另一种非均质性表现在变形模量E随深度逐渐增大，在砂 土地基中尤为显著。这是一种连续非均质现象，是由土体在沉积过程 中的受力条件决定的。在此情况下沿荷载对称轴上的附加应力较均质 体时增大，应力集中的程度与变形模量沿深度变化规律及泊松比有关。 1942年O.K Frohlich提出了在竖向集中力作用下垂直附加应力计算半 经验公式。
z
(kcbegh
k afgh c
k cegi c
k dfgi c
)
p0
例题3-2 P76
BA
CD
h
ig
a
df
b
ce 9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 d z z ( p0, m, n)
z
2pz3 (x2 z2 )2
x
2px2z (x2 z2 )2zxຫໍສະໝຸດ 2pxz2 (x2 z2 )2
p
x
z
y
xM
z
21
§3 土体中的应力计算 §3.4地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z
k
s z
p0
p0
x
k
s z
F ( B,
x,
z)
F( x B
,
z) B
F(m, n)
y
z
Bx
M
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
z
根据 x , z BB
查表3.5
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
P84 例题3.3
z
k
t z
pt
k
t z
F (B,
x,
z)
F( x B
,
z) B
F (m, n)
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
z
in i 1
ki
Pi z
Mi
6
二. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z c p0
c
F( r R
,
z) R
R
r
R--圆形面积的半径 R-计算点到z轴的距离
c 查表4-6
P69 例题4-5
z
z
Mi
7
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算