八省八校(T8联考)2022届高三下学期3月第二次联考试题+++数学+Word版含答案

2022届高三第二次T8联考
数学试题
试卷满分150分 考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z ＝i ＋1
i
，则z ＝
A.0
B.2i
C.－2i
D.－1＋i 2.设集合A ＝{x|log 2(x －1)<2}，B ＝{x|x<5}，则 A.A ＝B B.B ⊆A C.A ⊆B D.A ∩B ＝∅
3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 1<0，S 3＝S 9。

则当S n 取得最小值时，n 的值为 A.3 B.6 C.9 D.12
4.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ，AD 向外分别作正方形ABEF ，ADMN ，其中AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝
4
π
，则AC FN ⋅＝
A.－2 2 C.0 D.－1 5.若将函数f(x)＝2sin(2x －
3π)的图象分别向左平移3
π
个单位长度与向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则φ的最小值为 A.
23π B.2
π
C.53π
D.π 6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F
两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的
1
3
，则EF 的最小值为
A.
22 B.32 C.13
D.33 7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用。

黎曼函数定义在[0，1]上，其解析式为
R(x)＝1
q q x (p q )p p p 0x 01[01]⎧=⎪
⎨⎪=⎩
，当，都是正整数，是既约真分数，当，或，上的无理数。

若函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有f(2＋x)＋f(x)＝0，当x ∈[0，1]时，
f(x)＝R(x)，则f(－ln2)－f(
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5
)＝ A.15 B.25 C.－25 D.－15
8.已知椭圆Γ：22
143
x y +=，过其左焦点F 1作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B 。

若G 点为△PAB 的外心，则1
PA GF ＝
A.2
B.3
C.4
D.以上都不对
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题正确的是
A.若事件A 与B 相互独立，且0<P(A)，P(B)<1，则P(A|B)＝P(A)
B.设随机变量X 服从正态分布N(0，1)，则P(|X|<
12)＝1－2P(X<1
2
) C.在回归分析中，对一组给定的样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，当样本相关系数|r|越接近1时，样本数据的线性相关程度越强
D.在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3＋y3－3axy＝0。

某同学对a＝1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是
A.曲线不经过第三象限
B.曲线关于直线y＝x对称
C.曲线与直线x＋y＝－1有公共点
D.曲线与直线x＋y＝－1没有公共点
11.已知a，b∈R，满足e a＋e b＝1，则
A.a＋b≤－2ln2
B.e a＋b<0
C.ab≥1
D.2(e2a＋e2b)≥1
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是
A.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD
C.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q－A1PD的体积最大
D.若D1Q 6
Q
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在二项式(x＋a
x
)8的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a＝。

14.若在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＝2与直线x－y＝4分别截圆x2＋y2＝r2(r>0)所得弦长之比为3：1，则r＝。

15.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动。

现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为。

16.已知f(x)＝x
x 0x 1e x 1
<<⎧⎨
≥⎩，，，若存在x 2>x 1>0，使得f(x 2)＝ef(x 1)，则x 1·f(x 2)的取值范围
为 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
如图，在直角△ABC 中，角C 为直角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosB ＝
c a
2a
-。

(1)求角B 的大小；
(2)若c ＝3，D 点为AB 边上一点，且AD ＝1，求sin ∠BCD 。

18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝2BC ＝2AB ＝2，E ，F 分别为线段BB 1，A 1C 的中点。

(1)证明：EF ⊥平面AA 1C 1C ； (2)若二面角C －A 1E －A 的大小为3
π
，求AA 1的长。

19.(本小题满分12分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＋1＝3a n (n ∈N *)。

(1)求S n ；
(2)证明：当n ≥2时，2S n ＋n
3
a ≥9。

20.(本小题满分12分)
2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象。

主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖。

已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于
．．．．．某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品。

公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品。

设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90<x≤120，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立。

用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率。

(1)若x＝100，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E(X)；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元)，当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望E(Y)达到最大值？
21.(本小题满分12分)
已知双曲线Γ：
22
22
1
x y
a b
-=(a>0，b>0)过点P(3，6)，且Γ的渐近线方程为y＝±3x。

(1)求Γ的方程；
(2)如图，过原点O作互相垂直的直线l1，l2分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧。

请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分。

①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由。

22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－ax)lnx＋x(a∈R，a>0)。

(1)若1是函数f(x)的极值点，求a的值；
(2)若0<a≤1，试问f(x)是否存在零点。

若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由。

(3)若f(x)有两个零点，求满足题意的a的最小整数值。

(参考数据：ln2≈0.693 1.649)
附加几何思维判断题（填“√”或“×”）
（）1.若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行。

（）2.若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行。

（）3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线。

（）4.两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行。

（）5.若两平面与同一直线等角，则这两个平面平行。

（）6.若一条直线平行于一个平面，则该直线与平面内所有直线都平行。

（）7.若一条直线与平面中无数条直线都平行，则该直线平行于该平面。

（）8.AB为平面外的线段，若点A、点B到平面的距离相等，则AB平行于平面。

（）9.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等。

（）10.若直线a平行于直线b，则a平行于过b的所有平面。