2021届河南省三门峡市高三第一次大练习考试 数学(文)

绝密★启用前
2020－2021学年度上学期高三第一次大练习
数学(文科)
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}。

若A∩B＝{1}，则B＝
A.{1，－3}
B.{1，0}
C.{1，3}
D.{1，5}
2.若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于
A.
17
2525
i
-+ B.
17
2525
i
-- C.
17
55
i
-+ D.
17
55
i
--
3.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米。

当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以,阿基里斯永远追不上乌龟。

按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为
A.
4
101
900
-
B.
4
101
90
-
C.
5
109
90
-
D.
5
101
900
-
4.如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7＝
A.20
B.24
C.28
D.32
6.函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且f(x＋2)关于x＝－2对称,若f(－2)＝1,则f(x－2)≤1的x的取值范围是
A.[－2,2]
B.(－∞,－2]∪[2,＋∞)
C.(－∞,0]∪[4,＋∞)
D.[0,4]
7.已知OA OB OA OB2
⋅=-=，当△OAB的周长为6时，它的面积为
A.3
B.2
C.23
D.43
8.函数f(x)＝e x－x2－2x的图象大致为
9.已知拋物线y＝ax2的准线与圆x2＋y2－6y－7＝0相切，则a的值为
A.1
4
B.
1
28
- C.
1
8
D.
1
4
或
1
28
-
10.已知正实数a，b，c满足：(1
2
)a＝log2a，(
1
3
)b＝log2b，c＝
1
2
log c，则
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<b<a
D.c<a<b 7
11.已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象关于直线x＝3
4
π
对称，且f(x)在[0，
4
π
]上为单调
函数，下述四个结论:①满足条件的ω取值有2个;②(32π,0)为函数f(x)的一个对称中心;③f(x)在[－8
π，0]上单调递增;④f(x)在(0,π)上有一个极大值点和一个极小值点。

其中所有正确结论的编号是
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①②③
12.已知函数y ＝13x ＋2
m x 2＋(m ＋n)x ＋1的两个极值点分别为x 1,x 2且x 1∈(0,1)，x 2∈(1,＋∞)，记分别以m,n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a>1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为
A.(1,3]
B.(1,3)
C.(3，＋∞)
D.[3，＋∞)
第II 卷(非选择题)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB PC 2PA 0++=,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 。

14.设函数f(x)＝()2
x x
22x a e e x a -++-+，已知f(2)＝6,则f(－2)＝ 。

15.2020年4月，某品牌手机厂商进行新品发布会.现调查得到该系列手机上市时间x 和市场占有率y(单位:%)的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的x ＝1,2,3,4，5,…，分别代表2020年的4月份，5月份，6月份，7月份,8月份，…。

据此数据得出y 关于x 的回归方程为y 0.042x a =+,用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势,最早在2021年的 月份市场占有率超过0.5%。

16.设F 1，F 2是双曲线C:22
221x y a b
-=(a>0,b>0)的左右焦点，过F 1的直线与曲线C 的左支，交于点A ，B,若|AF 2|＝|F 1F 2|,且113AF FB =,则双曲线C 的渐近线方程为 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA。

(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S△ABC，且a＝5，求sinB＋sinC。

18.(本小题满分12分)
近年来某市空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下表:
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位:元),PM2.5指数为x。

当x在区间[0,100]内时对企业没有造成经济损失;当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元);当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元。

(1)试写出S(x)的表达式;
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率;
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表,并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关。

附：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 。

19.(本小题满分12分)
已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝l ，n n 1n 1n n 1n 1
4a 3a b 44b 3b a 4----=++⎧⎨=++⎩。

(1)令c n ＝a n ＋b n ，d n ＝a n －b n ，证明:{c n }是等差数列，{d n }是等比数列;
(2)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
(3)求数列{a n 2－b n 2
}的前项和S n 。

20.(本小题满分12分) 设椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2
的距离为2
，△AF 1F 2为等腰直角三角形。

(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明:直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标。

21.(本小题满分12分)
已知f(x)＝e x (x 2
＋mx ＋1－2m)，其中m ∈R 。

(1)当m ＝1时，求函数y ＝f(x)单调递增区间;
(2)求证:对任意m ∈R ，函数y ＝f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线恒过定点;
(3)是否存在实数m 的值，使得y ＝f(x)在(－∞,＋∞)上有最大值或最小值，若存在，求出实数m 的取值范围;若不存在，请说明理由。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分12分)选修4－4：极坐标与参数方程 已知直线l 的参数方程
为122122
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为
2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩(α为参数)。

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，3π)。

(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标；
(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积。

23.(本小题满分12分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x －1|－|x －a|，a ≤0。

(1)当a ＝0时，求不等式f(x)<1的解集；
(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32
，求a 的取值范围。