第一讲 数的开方,实数培优竞赛辅导含答案

第一讲 数的开方，实数培优竞赛辅导
知识要点：
1、 平方根
①定义：若x 2
=a,则_____叫做_____的一个平方根。

记作：x=______（a ≥0）. 其中_______叫a 的算术平方根。

②平方根的性质：一个正数的平方根有______个，它们互为_______；0的平方根是 ；负数 平方根；一个非负数的算术平方根是一个_____数。

2、立方根
①定义：若x 3
=a ，则______叫做_______的立方根，记x=______，
②立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为_______。

3、 实数：
无限不循环小数叫做无理数
，有理数和无理数统称实数．
______与数轴上的点一一对应．
任何有理数都可以表示为分数
p
q
（
p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 注意：
1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。

2、相关公式：
（）； 2
a = ；
；
；。

3、三个非负数： ， ，（a ≥0）。

4、 平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 算术平方根等于本身的数是 二、基础夯实
一．选择题
下列给出的“25的平方根是±5”的表达式中，正确的是（ ）
．
=±5
B ．
=﹣5
C ． ±
=±5
D ．
=5
A ．一个数的立方根有两个
B ．一个非零数与它的立方根同号
C ．若一个数有立方根，则它就有平方根
D ．一个数的立方根是非负数 3、下列说法正确的是（ ）
A ．数轴上任一点表示唯一的有理数
B ．数轴上任一点表示唯一的无理数
C ．两个无理数之和一定是无理数
D ．数轴上任意两点之间都有无数个点 4、下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③无理数都是无限小数．④无限小数是无理数⑤
的立方根是2．⑥（﹣2）2
的算术平方根是2．⑦﹣125的立方根
是±5．⑧有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
0==2
______=0a ≥3
_______=3
_______=___=0a ≥20a ≥0≥
A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
B ．若a ＞｜b ｜，则a 2＞b 2
C ．若｜a ｜＞b ，则a 2＞b 2
D ．若a 3＞b 3，则a 2＞b 2 6、一个数的平方是4，这个数的立方是（ ）
7、4的算术平方根与2的相反数的倒数的积是（ ）
A.﹣1
B.±1
C.-1
D.2
2-
8、一个立方体的体积是9，则它的棱长是（ ） ． 3
C 9、如图,数轴上A,B 两点表示的数分别为和5.1,则A,B 两点之间表示整数的
点共有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
10、如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1
点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－3
D ．211、在实数
、0、、3.1415、、、2.123122312223…,
2
3，，
中，
无理数的个数为（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
12、一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −5，则x 值为( )
A ． 2
B ．－3
C ．9
D ． -9 13、估算
的值是在（ ）
，y ﹣27=0，则x+y 的值是（ ）
16、使为最大的负整数，则a 的值为（ ）
A ．－b 3＝a
B ．－b ＝a 3
C ．b ＝a 3
D ．b 3＝a
18、两个无理数的和，差，积，商一定是（ ）
19、若3,b a b +a ，则的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2 20、实数的平方根为（ ）
． ±
D ． ±
二．填空题
1
、81的平方根是_______，的算术平方根是 ，
的立方根是_______，的平方根为_____。

2、互为相反数，则y x =______。

3互为相反数。

则x+y=_______。

4、设x 、y 为实数，且
104254-+-+=x x y ，则y x -的值是______
5的两个正方形拼成一个正方形的边长为 6、比较大小：-23-
7、若,141233+=-x x 则x ＝______．
8、若（x ﹣15）2
=169，（y ﹣1）3
=﹣0.125，则x-y=_________． 9、
的平方根与﹣的立方根的积为 _________ ．
三．解答题 1、计算：﹣
+
+
．
2、已知x 是 的整数部分，y 是 的小数部分，求
的平方根．
()196--()
2
5-3x y +-32
a 培优 竞赛精例
【例1】、实数a,b,c 在数轴上的位置如图，
【变式题组】
已知，化简：
()()2
2
x 1-
4--x
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++
=，则
a ＋
b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2
【变式题组】
1、已知a a a =-+-21202020，求22020-a 的值。

2、x ，y ，m 适合不等式y x y x m y x m y x +-+--=-++--+5532343，试求11m +的平方根。

||b c -14x <
<
【例3】若a 2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【变式题组】
1、若3a ，3b ，则a ＋b 的值为____．
2的整数部分为a ，小数部分为b a ）--b ＝____． 3、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2
2
37-≤
x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．
【例4】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -=+．求a ＋b 的平方根．．
【变式题组】
设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋21−a ＋b ＝____．
（西安市竞赛题）已知m 、n 2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．
数的开方培优竞赛检测
1、若，则
的值为（ ）
A.
B. C. D.
2
、设a =b ＝ －2
，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b
3、若为实数，在下列式子中，能使成立的是（ ） A.
B.
C.
D.
4、下列判断中正确的是（ ）.
（A
）若b a b a ==，则
（B ）若b a b a ==，则22 （C ）若b a b a ==，则2)( （D ）若b a b a ==，则33 5、若a a =-2)3(-3，则a 的取值范围是( ).
（A ） a ＞3 （B ） a ≥3 （C ） a ＜3 （D ） a ≤3
6、当 _______时，
+3有最大值，最大值是________
7、如图，直径为2的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1，如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．
8、若b 3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求m ，n ．
9、已知a ，b 是有理数，并且满足等式，求a ，b 的值
a b -++=a b
+,x y x y =x y
====x =23
第一讲 数的开方，实数辅导答案
知识要点：
5、 平方根
①定义：若x 2
=a,则___x__叫做____a_的一个平方根。

记作：x=_a ±
_____（a ≥0）.
其中___a ____叫a 的算术平方根。

②平方根的性质：一个正数的平方根有_两_____个，它们互为___相反数____；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根；一个非负数的算术平方根是一个非负数。

6、立方根
①定义：若x 3
=a ，则_x_____叫做___a____的立方根，记x=__3a ____，
②立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为__0_____。

7、 实数：
无限不循环小数叫做无理数，有
理数和无理数统称实数． _实数_____与数轴上的点一一对应． 任何有理数都可以表示为分数
p
q
（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）
的形式． 注意：1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。

2、相关公式：
a ；（）； 2a = a
；
a ； -a ；； a ；。

3、三个非负数： ， ，（a ≥0）。

8、 平方根等于本身的数是 0 立方根等于本身的数是 0，1± 算术平方根等于本身的数是 0，1
二、基础夯实
一．选择题
1、下列给出的“25的平方根是±5”的表达式中，正确的是（ C ）
．
=±5
B ．
=﹣5
C ． ±
=±5
D ．
=5
A ．一个数的立方根有两个
B ．一个非零数与它的立方根同号
C ．若一个数有立方根，则它就有平方根
D ．一个数的立方根是非负数 3、下列说法正确的是（ D ）
A ．数轴上任一点表示唯一的有理数
B ．数轴上任一点表示唯一的无理数
C ．两个无理数之和一定是无理数
D ．数轴上任意两点之间都有无数个点
0==2
______
=0a ≥3
_______
=3
_______=___=0a ≥20a ≥0≥
4、下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③无理数都是无限小数．④无限小数是无理数⑤
的立方根是2．⑥（﹣2）2
的算术平方根是2．⑦﹣125的立方根
是±5．⑧有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ B ）
A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
B ．若a ＞｜b ｜，则a 2＞b 2
C ．若｜a ｜＞b ，则a 2＞b 2
D ．若a 3＞b 3，则a 2＞b 2
8、4的算术平方根与2的相反数的倒数的积是（ C ）
A.﹣1
B.±1
C.-1
D.2
2-
8、一个立方体的体积是9，则它的棱长是（ D ） ． 3
C 9、如图,数轴上A,B 两点表示的数分别为和5.1,则A,B 两点之间表示整数的
点共有( C )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
10、如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1
点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( B )
A ．－3
B ．－2
C ．－3
D ．211、在实数
、0、、3.1415、、、2.123122312223…,
2
3，，
中，
无理数的个数为（ B ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
12、一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −5，则x 值为( C )
A ． 2
B ．－3
C ．9
D ． -9 13、估算
的值是在（ C ）
，y ﹣27=0，则x+y 的值是（ C ）
16、使
为最大的负整数，则a 的值为（ A ）
17、如果－b 是a 的立方根，则下列结论正确的是（ ）
A ．－b 3＝a
B ．－b ＝a 3
C ．b ＝a 3
D ．b 3＝a
19、若3,b a b +a ，则的值为（ B ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2 20、实数的平方根为（ D ）
． ±
D ． ±
二．填空题
1、81的平方根是__3±_____，的算术平方根是 14 ，
的立方根是_325______，
的平方根为_2±____。

2、互为相反数，则y x =__1____。

3互为相反数。

则x+y=____1___。

4、设x 、y 为实数，且104254-+
-+=x x y ，则y x -的值是_2
3
__
5的两个正方形拼成一个正方形的边长为 2 6、比较大小：3-22-，-23-
7、若,141233+=-x x 则x ＝_-1_____．
8、若（x ﹣15）2
=169，（y ﹣1）3
=﹣0.125，则x-y=_27.5或1.5________． 9、
的平方根与﹣的立方根的积为 _1±________ ．
三．解答题 1、计算：﹣
+
+
．
答案：9
2、已知x 是 的整数部分，y 是 的小数部分，求
的平方根．
答案：9
()196--()25-3x y +-
a
培优 竞赛精例
【例1】、实数a,b,c 在数轴上的位置如图，
答案：
a
-c -b a -c -b -a +=解：原式
0a 0c -b 0,a -c 0b -a ，，
原式=a
【变式题组】 已知，化简：
()
()
2
2
x 1-
4--x
答案：5-2x
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++
=，则
a ＋
b 等于( C ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2
【变式题组】
2、已知a a a =-+-21202020，求22020-a 的值。

解： a-2021≥0 ∴a-2020+2021-a =a
所以2021-a =2020 ∴a-2021=20202
∴22020-a =2020
2、x ，y ，m 适合不等式y x y x m y x m y x +-+--=-++--+5532343，试求11m +的平方根。

5y -x 0y -x -50
5-y -x =⎩⎨
⎧≥≥解之解：由题可知
5m 5y -x 0m -3y 2x 0
m -3-4y 3x =⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=+解之，11m +的平方根为2±
||b c -14x <
<
【例3】若a
2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值． 解：由题可得a=2，b-1=±3所以a=2，b=4或-2
因为a b b a -=-b a ≤所以所以a=2，b=4
所以a+b=6
【变式题组】
1、若3
a ，3
b ，则a ＋b 的值为__1__．
2
的整数部分为a ，小数部分为b
a ）--
b ＝_1__．
3、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2
237-≤
x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 解：M=2,N=2所以M ＋N 的平方根为2±。

【例4】若a 、b
都为有理效，且满足1a b -=+．求a ＋b 的平方根．．
解：任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0
）不一定是无理数．∵1a b -=+
∴
1a b -=⎧⎪=
1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，
a ＋
b ＝12 ＋13＝25．
∴a ＋b
的平方根为：5=±．
【变式题组】
设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋
21−
a ＋
b ＝_1或-11___． （西安市竞赛题）已知m 、n
2）m ＋(3－
n ＋7＝0求m 、n ．
解：由题可得⎩⎨⎧==⎩
⎨⎧=++=-1n -2m 073n 2m 0n -m 解之
数的开方培优竞赛检测
1、若
，则的值为（ B ） A. B. C. D.
2
、设a =b ＝ －2
，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( C ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b
3、若为实数，在下列式子中，能使成立的是（ C ）
A. B.
C.
D.
4、下列判断中正确的是（ D ）.
（
A ）若
b a b a ==，则
（B
）若b a b a ==，则22
（C ）若b a b a ==，则2)( （D ）若b a b a ==，则33
5、若a a =-2)3(-3，则a 的取值范围是( B ).
（A ） a ＞3 （B ） a ≥3 （C ） a ＜3 （D ） a ≤3 6、当 ___0____时，+3有最大值，最大值是____6____
7、如图，直径为2的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1，如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点
P ′所表示的数是_2_π__．
8、若b 3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求m ，n ．
答案：m=4，n=5
9、已知a ，b 是有理数，并且满足等式，求a ，b 的值
答案：a=32-
，b=613
0a b -++=a b +,x y x y =x y ====x =23。