【历年高考经典】2008年文科数学试题及答案-天津卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A B ，互斥，那么 ·球的表面积公式2
4πS R =
()()()P A B P A P B +=+
球的体积公式34π3
V R =
·如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，则()U
S
T =ð（ ）
A ．{}124，，
B ．{}123457，，，，，
C ．{}12，
D ．{}124568，，，，，
2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥，
≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3
．函数14)y x =≤≤的反函数是（ ）
A ．2
(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2
(1)(04)y x x =-≤≤ C ．2
1(13)y x x =-≤≤
D ．2
1(04)y x x =-≤≤
4．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
5．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）
A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，
B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥
C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥
D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，
6．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， 7．设椭圆22
221(00)x y m n m n
+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，
则此椭圆的方程为（ ）
A ．
22
11216
x y += B ．
22
11612x y += C ．
22
14864x y += D ．
22
16448
x y += 8．已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨
-+>⎩，≤，
，，
则不等式2()f x x ≥的解集为（ ）
A ．[]11-，
B ．[]22-，
C ．[]21-，
D ．[]12-，
9．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<
D ．b a c <<
10．设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2
y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，
这时a 的取值的集合为（ ） A ．{}
12a a <≤
B ．{}
2a a ≥
C ．{}
23a a ≤≤
D ．{}23，
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．
12．5
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中3
x 的系数为 （用数字作答）．
13．若一个球的体积为，则它的表面积为 ．
14．已知平面向量(24)=，
a ，(12)=-，
b ，若()=-
c a a b b ，则=c ． 15．已知圆C 的圆心与点(21)
P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．
16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡
片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2
()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2
π
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 18．（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1
2
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
116
． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =
，
PD =60PAB =∠．
（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． （Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*
N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 21．（本小题满分14分）
设函数4
3
2
()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当10
3
a =-
时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 22．（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，
20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的
A
B
C
D
P
81 2，求k的取值范围．
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．10
12．10
13．12π
14．15．22(1)18x y ++=
16．432
三、解答题
17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数
sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：1cos 2()2sin 212
x
f x x ωω+=++
sin 2cos 22x x ωω=++
sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=
++⎪⎭
224x ωπ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭．
由题设，函数()f x 的最小正周期是
2π，可得
222
ωππ
=，所以2ω=．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()424f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭．
当4242x k ππ+
=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，所以函数
()f x 的最大值是2x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，．
18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得
221
(1())(1)16
P B p -=-=
， 解得34p =
或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34
． 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得
1()()16P B P B =
， 于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3
1()4
p P B =-=．
所以乙投球的命中率为3
4
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1
()2
P A =．
故甲投球2次至少命中1次的概率为3
1()4
P A A -=．
解法二：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1
()2P A =．
故甲投球2次至少命中1次的概率为1
23
C ()()()()4
P A P A P A P A +=
． （Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1
()4
P B =．
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2
次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为
11
223
C ()()C ()()16
P A P A P B P B =
， 1()()64P A A P B B =
， 9
()()64P A A P B B =．
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
3191116646432
++=． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在
PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =可得222
PA AD PD +=，
于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又P A A B A =，所以AD ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线
PC 与AD 所成的
角．
在PAB △中，由余弦定理得
PB =
由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，
所以AD PB ⊥，因而
BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形， 故tan PB
PCB BC =
= 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为． A B
C
D
P H E
（Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．
因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又A D A B A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从
而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，
sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，
2BH AB AH =-
=
，BD ==
13
AD HE BH BD =
=
． 于是在
Rt PHE △中，tan PH PEH HE =
=
所以二面角
P BD A --的大小为arctan
4
． 20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得
11()n n n n a a q a a +--=-，
即
12n n b qb n -=，≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），
211a a -=， 32a a q -=，
……
21(2)n n n a a q n ---=≥．
将以上各式相加，得2
11(2)n n a a q q
n --=+++…≥．所以当2n ≥时，
1
1111 1.
n n q q a q
n q -⎧-+
≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得
3611q q -=-， ①
整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是
q =
另一方面，
21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，
151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--==---．
由①可得
36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．
所以对任意的n ∈*
N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知
识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：3
2
2
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． 当10
3
a =-
时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．
令()0f x '=，解得10x =，21
2
x =
，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
x
(0)-∞，
0 102⎛⎫
⎪⎝⎭
， 12 122⎛⎫
⎪⎝⎭
， 2
(2)+，∞
()f x ' -
+
-
+
()f x
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以()f x 在102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内是减函数．
（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须2
4340x ax ++≥恒成立，即有2
9640a ∆=-≤． 解此不等式，得8
833
a -≤≤．这时，(0)f
b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，．
（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知2
9640a ∆=-<，从而2
4340x ax ++>恒成立．
当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当
(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨
-+⎩
≤，
≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．
所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．
22．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b -=>>，，由题设得
229a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组
2
2
1.45
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩，
① ②
将①式代入②式，得22
()145
x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．
此方程有两个不等实根，于是2
540k -≠，且 222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得
22540m k +->． ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足
12024254x x km x k +=
=-，002
554m y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭
． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫
⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542
km m k k =--． 整理得
222
(54)k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540k k k
-+->， 整理得
22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．
解得02
k <<或54k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞．
笔记卡。