课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
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① ②
5．解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b.因为 b＋c 3 7 ＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理 c2 ＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos C，解得 cos C＝－ 1 2π 2，所以 C＝ 3 . 答案：A
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2．解：(1)∵cos 2C＋2 2cos C＋2＝0， ∴2cos2C＋2 2cos C＋1＝0， 2 即( 2cos C＋1) ＝0，∴cos C＝－ . 2 3π 又 C∈(0，π)，∴C＝ . 4
2
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2， ∴c＝ 5a，即 sin C＝ 5sin A，∴sin A＝ 1 10 sin C＝ . 10 5
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4．解析：由 c2＝(a－b)2＋6 可得 a2＋b2－c2＝2ab－6. π 由余弦定理及 C＝3可得 a2＋b2－c2＝ab. 所以由①②得 2ab－6＝ab，即 ab＝6. 1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC＝2absin3＝2×6× 2 ＝ 2 . |＝24，
∴BC＝4，AB＝6， ∴AC＝ BC2＋AB2－2BC· AB· cos B ＝
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9 16＋36－2×4×6×16＝5.
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B 卷：增分提能 1．解：(1)证明：∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 a2＋c2－b2 a2＋c2－ac 2ac－ac 1 cos B＝ 2ac ＝ ≥ 2ac ＝2， 2ac 当且仅当 a＝c 时等号成立． 1 ∴cos B 的最小值为2.
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ， 因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1， 又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A <B ，则sin A <sin B ；②若sin A <sin B ，则A <B ；③若A >B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A <B ，则cos 2A >cos 2B ；⑤若A <B ，则tan A 2<tan B 2.其中正确命题的序号是__________．解析：在△ABC 中，A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ⇔sin 2A <sin 2B ⇔cos 2A >cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°， 可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ， 得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ， 又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ， 即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。
山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测23正弦定理和余弦定理 Word版含解析
课时限时检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．1【解析】 由a cos A ＝b sin B 得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 【答案】 D2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【解析】 由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则cos A ≥12.因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3.【答案】 C3．若△ABC 中，6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516D.1116【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝32a，c＝2a.所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋(2a)2－⎝⎛⎭⎪⎫32a22a×(2a)＝1116.【答案】 D4．(2013·课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1【解析】∵B＝π6，C＝π4，∴A＝π－B－C＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理bsin B＝csin C，得2sinπ6＝csinπ4，即212＝c22，∴c＝2 2.∴S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22sin7π12＝3＋1.故选B.【答案】 B5．(2014·潍坊模拟)在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若cos A cos B＝ba，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】法一∵cos Acos B＝ba＝sin Bsin A，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二 ∵cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ＝ba ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)． ∴a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4. 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.即△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 C6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5【解析】 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋ 36－2×b ×6×15， ∴b ＝5或b ＝－135. 又∵b ＞0，∴b ＝5. 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．【解析】 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ， 即sin B ＝b sin A a ＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6. ∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2. 【答案】 π28．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.【解析】 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3. 【答案】 2π39．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， 又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc . ∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．11．(12分)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．【解】 (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为： a 2＋b 2－c 2＝ab ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332， ∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.12．(13分)(2013·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．【解】 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A＝3c sin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝23，可得b＝ 6.(2)由cos B＝23，得sin B＝53，进而得cos 2B＝2cos2B－1＝－1 9，sin 2B＝2sin B cos B＝45 9，所以sin(2B－π3)＝sin 2B cosπ3－cos 2B sinπ3＝45＋318.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业23正弦定理和
[授课提示：对应学生用书第217页]
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝ ，a＝3，c＝4，则sinA＝()
A. B.
C. D.
解析：∵ ＝ ，即 ＝ ，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝ ，∴sinA＝ ，故选B.
答案：B
2．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝ ，BC＝1，B＝60°，则△ABC的面积为()
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解析：(1)由题设得 acsinB＝ ，即 csinB＝ .
由正弦定理得 sinCsinB＝ .
故sinBsinC＝ .
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－ ，
即cos(B＋C)＝－ .
又B＋C∈(0，π)
方法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，
∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝ .
又0<B<π，∴B＝ .
方法三：由余弦定理得2b· ＝a· ＋c· ，即b· ＝b，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝ ，又0<B<π，所以B＝ .
答案：
7．(2018·四川成都市第一次诊断检测)已知△ABC中，AC＝ ，BC＝ ，△ABC的面积为 .若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝ ，则CD＝________.
A. B.
C. D.
解析：由bsinB－asinA＝ asinC，且c＝2a，得b＝ a，∵cosB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ .
答案：A
5．(2018·太原五中检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝ ，a＝2，S△ABC＝ ，则b的值为()
高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。
限时集训(二十三) 正弦定理和余弦定理
限时集训(二十三) 正弦定理和余弦定理(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.323．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋3944．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－125．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.24256．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．8．(2013·佛山模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.9．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .11.(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 12．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．限时集训(二十三) 正弦定理和余弦定理答 案1．A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7．－24 8.145 9.3210．解：由B ＝π－(A ＋C )， 得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan [π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1， 所以A ＝π4.12．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56， cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.12ac sin B＝5 2.设△ABC的面积为S，则S＝。
课时跟踪检测(二十三)正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十三)正弦定理和余弦定理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°2．(2016·长春质检)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A.12B．1C. 3 D．23．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝()A.π4 B.π3C.π6 D.2π34．(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.5．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为________．二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B<c sin C，则△ABC 的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定3．(2015·郑州质量预测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°4．(2016·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝35，则b等于()A.53 B.107C.57 D.52145．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于()A.32 B.34C.36 D.386．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin 2Asin C＝________.7．(2016·南昌二中模拟)在△ABC中，如果cos(B＋A)＋2sin A sin B＝1，那么△ABC的形状是________．8．(2015·丰台一模)已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，sin C＝3cos C，则△ABC的面积为________．9．(2016·兰州双基测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝3 5.(1)求b的值；(2)求sin C的值．10．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tan C的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．。
高中数学同步课时跟踪检测《正弦定理和余弦定理》
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－125．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.9．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .11．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB ·AC 的值．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1. 12．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．。
课时作业3：正弦定理和余弦定理
4.6正弦定理和余弦定理A 级 基础达标1．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶8，则△ABC 一定为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形2．[2014·苏州模拟]已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan C ＝aba 2＋b 2－c 2，则角C 为( )A.π6B.π4C.π3D.3π43．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为( ) A. 32 B. 52 C.75D.1144．[2014·武汉调研]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，则C ＝( )A.π6或5π6B.π6C.π3或2π3D.π35．[2014·无锡模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，则b 的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．106．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ，b ，c 满足b 2＝a 2＋c 2－ac ，若AC ＝23，则△ABC 面积的最大值为( )A. 3 B ．23 C ．3 3D ．437．[2014·淮南质检]在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝(cos C,2a －c )，b ＝(b ，－cos B )且a ⊥b ，则B ＝________.8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，则△ABC 的形状为________．9．[2014·徐州模拟]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1，若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，则c 的值为________．10．[2014·正定模拟]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若2sin 2B 2＋2sin 2C2＝1，试判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．B 级 知能提升1．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π122．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为( )A. 2 B ．22 C. 3 D ．23．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝2，c ＝ 3. (1)若sin C ＝33，求sin A 的值； (2)设f (C )＝3sin C cos C －cos 2C ，求f (C )的取值范围．解析及答案05限时规范特训A 级 基础达标1．【解析】已知得a ∶b ∶c ＝4∶5∶8， 所以cos C ＝－2340<0，选D 项．【答案】D2．【解析】由已知及余弦定理，得sin C cos C ＝ab 2ab cos C ，所以sin C ＝12.因为C 为锐角，所以C ＝π6.【答案】A3．【解析】由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3，又0<C <π，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BCsin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12，因为AB >BC ，所以C >A ，所以A ＝π6，则B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，S △ABC ＝12×3×1＝32.【答案】A4．【解析】∵cos(A －C )＋cos B ＝1，∴cos(A －C )－cos(A ＋C )＝1,2sin A ·sin C ＝1.又由已知a ＝2c ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝π6或5π6.∵a >c ，∴A >C ，∴C ＝π6. 【答案】B5．【解析】由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b 2－2bc cos A ＝2b ，即b ＝2c cos A ＋2.由正弦定理及sin B ＝4cos A sin C ，得2cos A ＝sin B 2sin C ＝b 2c .∴b ＝b 2＋2，即b ＝4.【答案】A6．【解析】AC ＝23，即b ＝2 3.由b 2＝a 2＋c 2－ac ，得12＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，故ac ≤12，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，所以S △ABC ＝12×1－14ac ≤33，△ABC 面积的最大值为3 3.【答案】C7．【解析】由a ⊥b ，得a ·b ＝b cos C －(2a －c )cos B ＝0. 利用正弦定理，可得sin B cos C －(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin A cos B ＝0， 即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin A cos B . 因为sin A ≠0，故cos B ＝12，因此B ＝π3.【答案】π38．【解析】由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝sin2A . 2sin B cos A ＝2sin A cos A . ∴cos A ＝0或sin A ＝sin B . ∵0<A 、B <π，∴A ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 【答案】等腰或直角三角形9．【解析】由cos2A －3cos(B ＋C )＝1⇒2cos 2A ＋3cos A －2＝0，从而cos A ＝12⇒A ＝π3，由S ＝12bc sin A ＝12×5c ×32＝53，得c ＝4. 【答案】410．【解析】(1)∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，得A ＝π3.(2)∵2sin 2B 2＋2sin 2C2＝1，则1－cos B ＋1－cos C ＝1. ∴cos B ＋cos C ＝1，即cos B ＋cos(2π3－B )＝1，得到sin(B ＋π6)＝1.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6.∴B ＋π6＝π2，∴B ＝π3.∴△ABC 为等边三角形． 11．【解析】(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin Asin B， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B.即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝3sin A ， 因此sin Csin A ＝3.(2)由sin Csin A＝3得c ＝3a . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c >b a 2＋c 2<b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >10a 2＋c 2<100，所以52<a <10.故a 的取值范围为(52，10)．12．【解析】(1)∵0<A <π，cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， ∴tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝3，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.B 级 知能提升1．【解析】因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4. 【答案】A2．【解析】由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，又0<C <π，故C ＝π4，于是3sin A －cos(B ＋π4)＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)，又0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.【答案】D3．【解析】设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66. 【答案】664．【解析】(1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C， ∴sin A ＝a sin Cc ＝2×333＝23.(2)在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝b 2＋a 2－2ba cos C ，∴3＝b 2＋4－4b cos C ，即b 2－4cos C ·b ＋1＝0，由题知关于b 的一元二次方程应该有解， 令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≤－12(舍去)或cos C ≥12，∴0<C ≤π3.∴f (C )＝32sin2C －1＋cos2C 2＝sin(2C －π6)－12(－π6<2C －π6≤π2)， ∴－1<f (C )≤12.故f (C )的取值范围为(－1，12]．。
课时过关检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时过关检测（二十六）正弦定理和余弦定理A级——基础达标1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A．2 B．3 C．2 D．3解析：选D 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3(b＝－13舍去).2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A ＝( )A．3π4B．π3C．π4D．π6解析：选C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，所以A＝π4 .3．(2021·江西赣州月考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3.则S△ABC＝( )A．2B．3C．32D．2解析：选C 因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝12ac sin B＝32，故选C．4．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为( )A．32B．3C．23D．2解析：选B 因为S＝12AB·AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝3.所以BC＝3.5．(多选)(2021·唐山市高三模拟)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝33，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°解析：选BC 对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝b sin C c＝7×123＝76＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝c sin Bb＝4×225＝225＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝33，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝a sin Bb＝6×3233＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝b sin Aa＝30×1220＝34＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．6．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得bsin B＝csin C，∴sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．7．(2021·福州市适应性考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝2ac，则a＝. 解析：由题设及正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝2a sin C，所以sin(A＋B)＝2a sinC．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2a sin C，又sin C≠0，所以a＝1 2 .答案：1 28．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝.解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，∴b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴c2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c＝4.答案：49．(2021·福建省质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝2π3，a＝7.若△ABC的面积为1534，则其周长是．解析：由面积公式可得S△ABC＝12bc sin A＝34bc，又由题意知S△ABC＝1534，得bc＝15.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2＋bc，可得(b＋c)2－bc＝a2，由a＝7，bc＝15，解得(b＋c)2＝64，即b＋c＝8，所以周长为a＋b＋c＝15.答案：1510．在△ABC中，B＝π3，AC＝3，且cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin B sin C，则C＝，BC＝.解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin B sin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－2sin B sin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－2sin B sin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－2·AC·AB，所以cos A＝22，因为A∈(0，23π)，所以A＝π4，则C＝π－A－B＝5π12.由AC sin B＝BCsin A，解得BC＝2.答案：5π12 211．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2＋A )＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以(cos A －12)2＝0，cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin (2π3－B )＝33sin π3. 即12sin B －32cos B ＝12，sin (B －π3)＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．12．(2021·武邑宏达学校模拟)在△ABC 中，a ＝2，c ＝10， (补充条件)．(1)求△ABC 的面积； (2)求sin(A ＋B )． 从①b ＝4，②cos B ＝－55，③sin A ＝1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：选择①.(1)在△ABC中，因为a＝2，c＝10，b＝4，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝(2)2＋42－(10)22×2×4＝22，因为C∈(0，π)，所以sin C＝1－cos2C＝2 2，所以S＝12ab sin C＝12×2×4×22＝2.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C．所以sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .选择②.(1)因为cos B＝－55，B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝25 5，因为a＝2，c＝10，所以S＝12ac sin B＝12×2×10×255＝2.(2)因为a＝2，c＝10，cos B＝－5 5，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(2)2＋(10)2－2×2×10×(－55)＝16，解得b＝4，由bsin B＝csin C，解得sin C＝22，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .选择③.依题意，A为锐角，由sin A＝10 10，得cos A＝1－sin2A＝310 10，在△ABC中，因为a＝2，c＝10，cos A＝310 10，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得(2)2＝b2＋(10)2－2×10×31010b，解得b＝2或b＝4.(1)当b＝2时，S＝12bc sin A＝12×2×10×1010＝1.当b＝4时，S＝12bc sin A＝12×4×10×1010＝2.(2)由a＝2，c＝10，sin A＝1010，asin A＝csin C，得sin C＝2 2，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .B级——综合应用13．(2021·北京人大附中月考)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC＝5－12.根据这些信息，可得sin 1 314°＝( )A ．－3＋58B ．－4＋58C ．－25－14D ．－5＋14解析：选D 在△ABC ，由正弦定理可知BC AC ＝sin ∠BAC sin ∠ABC ＝sin 36°sin 72°＝sin 36°2sin 36°cos 36°＝12cos 36°＝5－12，∴cos 36°＝15－1＝5＋14，又∵sin 1 314°＝sin(3×360°＋234°) ＝sin 234°＝sin(180°＋54°)＝－sin 54° ＝－sin(90°－36°)＝－cos 36°＝－5＋14.故选D.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是．解析：由b 2＋c 2－3bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc ＝32， 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6，由bc ＝3a 2及正弦定理， 得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝34， 即4sin(π－C －A )sin C ＝3， 即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin (C ＋π6)sin C ＝3，整理得3cos 2C ＝sin 2C ，则tan 2C ＝3，又0＜2C ＜5π3，即2C＝π3或4π3，即C＝π6或2π3.答案：π6或23π15．(2021·沈阳市教学质量监测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cosB＋b cos A＝77ac，sin 2A＝sin A．(1)求A及a；(2)若b－c＝2，求BC边上的高．解：(1)∵a cos B＋b cos A＝77 ac，∴由正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝77a sin C，∴sin(A＋B)＝77a sin C，又A＋B＝π－C，∴sin C＝77a sin C，又sin C＞0，∴a＝7.∵sin 2A＝sin A，∴2sin A cos A＝sin A，又sin A＞0，∴cos A＝1 2，∵A∈(0，π)，∴A＝π3 .(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝7.将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)，∴b＝3.∵asin A＝csin C，∴sin C＝c sin Aa＝2114，设BC边上的高为h，则h＝b sin C＝321 14.C级——迁移创新16．(2021·山东省高三一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．(1)求角C；(2)若c＝210，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；条件②：cos B＝25 5.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)在△ABC中，由余弦定理知b2＋c2－a2＝2bc cos A，所以2b2＝2bc cos A(1－tan A)，所以b＝c(cos A－sin A)．又由正弦定理知bc＝sin Bsin C，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，即sin A cos C＋cos A sin C＝sin C cos A－sin C sin A，所以sin A cos C＝－sin C sin A．因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，所以tan C＝－1，又因为0<C<π，所以C＝3π4 .(2)选择条件①：△ABC的面积S＝4，且B>A．因为S△ABC＝12ab sin C，由(1)可得ab＝82，再由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以a2＋b2＝24，解方程组Error!解得Error!或Error!又因B>A，所以b>a，所以Error!所以CD＝BD＝2，在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD cos C＝16＋2－2×4×2×cos 34π＝26，所以AD＝26.选择条件②：cos B＝25 5.因为cos B＝255，所以sin B＝55.因为sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B＝10 10，由正弦定理知csin C＝asin A，所以a＝c sin Asin C＝22，所以CD＝BD＝2，在△ABD中，由余弦定理知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，解得AD＝26.。
课时作业21：正弦定理和余弦定理
第6节 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4， ∴112＝b 22，∴b ＝ 2. 答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6 解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.答案 D3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3C.2 3D.2 解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3.答案 B4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形.答案 B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( ) A.2512π B.2524π C.3＋32π D.3＋34π解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S 1＝12ab sin C ＝12×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2，S 2＝πR 2，∴S 1S 2＝3＋34π. 答案 D二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.答案 327.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.答案 9π8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________.解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b c ，解得b c ＝1. 答案 1三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5，∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )，∴sin A (3cos A －sin A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3， 4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3， 解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC， ∴CD ＝7×27732＝433. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32， 由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.所以S △ABC ＝34.答案 3413.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。
第三章 三角函数、解三角形 课时跟踪检测 (二十三) 正弦定理和余弦定理的应用 Word版含答案
课时跟踪检测 (二十三) 正弦定理和余弦定理的应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°．2．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6 mB ．15 3 mC ．5 2 mD ．15 6 m解析：选D 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°．由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，解得BC ＝152(m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．3．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( ) A ．1010 B ．31010 C ．55D ．255解析：选B 由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos∠DAC ， ∴cos ∠DAC ＝31010． 4．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km ．解析：由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°， 设BC ＝x km则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos 120°， ∵x >0，∴x ＝6－1． 答案：6－15．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km ．解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BSsin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 2二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0．6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B ．已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝62．3．(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选 C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C ．4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．5．(2017·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0．则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，∵0<A <π，∴0<A <π2．又a 为最大边，∴A >π3．因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2．6．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．答案：637．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m ．∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m ． ∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0．6 m/s ．答案：0．68．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________． 解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223．在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a ．①因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ， 所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3．在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79．答案：799．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．⎝⎛⎭⎪⎫sin 21.8°≈3314解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6．在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314， 即∠CAB ≈21．8°或∠CAB ≈158．2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为45°＋21．8°＝66．8°．所以舰艇以66．8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．10．(2016·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱在距地面1万米的P 点时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．(1)求B ，C 两救援中心间的距离； (2)求D 救援中心与着陆点A 间的距离．解：(1)由题意知PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，则△PAC ，△PAB 均为直角三角形． 在Rt △PAC 中，PA ＝1，∠PCA ＝60°，解得AC ＝33， 在Rt △PAB 中，PA ＝1，∠PBA ＝30°，解得AB ＝3， 又∠CAB ＝90°，BC ＝AC 2＋BC 2＝303万米． (2)sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝310，cos ∠ACD ＝－110，又∠CAD ＝30°，所以sin ∠ADC ＝sin(30°＋∠ACD )＝33－1210，在△ADC 中，由正弦定理，AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠ACD ，得AD ＝AC ·sin∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313万米．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s ．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1．4，3＝1．7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． ∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350． 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 6502．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形， ∴QM ＝1003．在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200． 在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200， ∴BQ ＝1005，cos θ＝55． 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2， ∴BA ＝1005．即两发射塔顶A ，B 之间的距离是1005米．。
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理一、题点全面练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B， ∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2C cos C＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，又3sin 2C cos C＝2sin A sin B ，由正弦定理可得3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2－4c 2＝0，则b 2＋c 2－bc ＋b 2－4c 2＝0. 又b ＝6，∴c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4(负值舍去)，故选C.3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，则c b sin B 的值为( ) A.12B.32 C ．2 D.233解析：选D 由b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则sin A ＝32. 由b 2＝ac ，得sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin C sin 2B ＝1sin A， ∴c b sin B ＝sin C sin B sin B ＝1sin A ＝233. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝a c， ∴a b ＝a c ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形． 5．(2019·四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( ) A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A 在△ABC 中，∠A ＝60°.∵2sin B ＝3sin C ，∴由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝7，∴a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ，则CD ＝________.解析：设BD ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ＝θ，则∠EDF＝2θ，DE ＝x ，∵tan θ＝23，∴tan 2θ＝125，∴在Rt △EFD 中，EF ＝x sin 2θ，DF ＝x cos 2θ，∵EF AC ＝DF AD ，∴x sin 2θ3＝x cos 2θ2－x ，∴tan 2θ＝32－x ＝125，解得x ＝34，∴AD ＝54，∴CD ＝134. 答案：1347．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A＝b cos B，则△ABC 的面积等于________． 解析：∵a cos A ＝b cos B ，由正弦定理可知sin A cos A ＝sin B cos B⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，∴△ABC为等腰三角形，∴A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－14＝1－2sin 2B ，解得sin B ＝104，cos B ＝64，tan B ＝153. ∵AB ＝c ＝3，∴C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝152，∴△ABC 的面积为12×AB ×h ＝3154. 答案：3154 8．(2019·菏泽模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则b c ＝________. 解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b ＞c ，所以bc ＝2.答案：29．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0，∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12， 又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3， ∴△ABC 的面积为 3.。
课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(重点高中)
课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°， 所以B ＝180°－C －A ＝30°， 由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BD CD ＝6.答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B2，即sin B ＝4(1－cos B)， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( ) A ．27 B ．2 3 C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cosB ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD＝CDsin A， 即sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝55. 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin A sin B ＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ， 又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32.6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5， 所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BDsin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°， 即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)， 故BC 边上的高为AB sin 60°＝332.4．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5， 因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：75．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23， 故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0， ∴cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C ＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B.2C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A， 所以cos A ＝32，A ＝30°. 由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32， 整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°， 不满足内角和定理，故c ＝2.4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝ (a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B.45° C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab＝6cos C ，∴b a ＋a b ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝32c 2， 则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝tan C ·sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B＝tan C sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2a 2＋b 2－c 22ab ·ab ＝4.答案：48．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________． 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°， 即BC sin A ＝ABsin C＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ， 又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3 ＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3 ＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3， 故△ABC 的周长的最大值为3 3. 答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D ∵A ＞B ＞C ，∴a ＞b ＞c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a ＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即3n 20(n ＋1)＝n 2＋(n －1)2－(n ＋1)22n (n －1)， 即3n20(n ＋1)＝n (n －4)2n (n －1)， 化简得7n 2－27n －40＝0，即(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5 ⎝⎛⎭⎫n ＝－87舍去. 又∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 2.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋PM 2－2×OP ×PM ×cos 45°， 得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°) ＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α)＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin (2α＋30°).因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°， 所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取得最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
通用版2019版高考数学三角函数解三角函数课时达标检测二十三正弦定理和余弦定理理4
通用版2019版高考数学三角函数解三角函数课时达标检测二十三正弦定理和余弦定理理 4课时达标检测（二十三） 正弦定理和余弦定理[ 小题对点练——点点落实]对点练 ( 一 )利用正、余弦定理解三角形71．(20182安徽合肥一模 ) △ ABC 的角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cos A ＝ 8， c－ ＝ 2， ＝ 3，则 ＝ ()abaA ． 25B.27C ． 3D. 271 b 2＋ c 2－ a 2分析：选 A 由题意可得 c ＝ a ＋ 2，b ＝3，cos A ＝8，由余弦定理，得 cos A ＝ 22 bc，7 9 a ＋ 2 2－a 2 a ＝ 2.代入数据，得 8＝233 a ＋ 2 ，解方程可得2．(20182湖北黄冈质检) 在△中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 a ＝5 ，ABCA B Ca b c2bA ＝ 2B ，则 cos B ＝ ()55A.B.3 4 55C. 5D. 65分析：选 B由正弦定理，得 sin A ＝ sin B ，又 A ＝ 2B ，所以 sin A ＝sin 2 B ＝ 2sin 25B cos B ，所以 cos B ＝ 4 .3．(20182包头学业水平测试) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 内角 A ， B ， C 的对边， sin 2B1a＝2sin A sinC ，且 a >c ， cos B ＝ 4，则 c ＝ ()3 A ． 2 B. 2 C ． 3D ． 422＋ 2－22＋ c 2 － 21acbaac分析：选 A 由正弦定理可得b ＝ 2ac ，故 cos B ＝2ac ＝ 2ac＝ 4，化简得a(2 a － c )( a － 2c ) ＝ 0，又 a >c ，故 a ＝ 2c ， c ＝ 2，应选 A.4．(20182湖南长郡中学模拟) 若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知a2b sin 2 A ＝a sin B ，且 c ＝ 2b ，则 b ＝ ()A ． 2B ． 3 C.2D. 3分析：选 A 由 2 sin 2 ＝ sin ，得 4 sin 2cos ＝ sin，由正弦定理得 4sin 2sinbA aB b A A aBB2cos ＝ sin2sin，∵ sin≠0，且 sin≠0，∴ cos12＝2＝ ，由余弦定理得a bAA A BABA 4＋ 4b 2－ b 2，∴ a 2＝ 4b 2，∴ a ＝2. 应选 A.b5．(20182兰州一模 ) △ ABC 中，内角 A ，B ，C 对应的边分别为 a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B－ sin＝ 1 sin，则 sin B 的值为 ( )aA 2aC2 23 A.3B. 471 C. 4D. 322122a 2＋ c 2－b 2分析：选 C 由正弦定理，得 b －a ＝ 2ac ，又 c ＝ 2a ，所以 b ＝ 2a ，所以 cos B ＝2ac37＝ 4，所以 sin B ＝ 4 .对点练 ( 二 )正、余弦定理的综合应用c1．(20182武汉调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，若 b <cos A ，则△ ABC 为()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形c sin C分析：选 A 依据正弦定理得 b ＝ sin B <cos A ，即 sin C <sin B cos A ，∵ A ＋ B ＋ C ＝ π ，∴ sin C ＝ sin( A ＋ B )<sin B cos A ，整理得 sinA cosB <0，又三角形中 sin A >0，∴ cos B <0， π2<B <π . ∴△ ABC 为钝角三角形．2．(20182湖南邵阳一模 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c . 已知三个向 量 m ＝ a ， cosA， n ＝ b ， cosB， p ＝ c ， cosC共线，则△ ABC 的形状为 ()2 2 2A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形分析：选A ∵向量 ＝ a ， cos A ， n ＝ b ，cosB共线，m22B ABA∴ a cos 2＝ b cos 2. 由正弦定理得 sin A cos 2＝ sin B cos2.∴ 2sinAABBBAABcos cos＝ 2sincos cos，∴ sin＝ sin .22222222A πB πA B∵ 0<2< 2 ， 0<2< 2 ，∴ 2＝2，∴ A ＝ B . 同理可得 B ＝ C ，∴△ ABC 为等边三角形．应选 A. 3．(20182福建八校联考) 我国南宋有名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ ABC 三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，面积为 S ，则“三12 2a 2＋ c 2－b 2 222 2斜求积”公式为 S ＝ 4 a c － 2. 若 a sin C ＝ 4sin A ， ( a ＋c ) ＝ 12＋ b ，则用“三斜求积”公式求得△ ABC 的面积为 ()A. 3 B ． 2 C ． 3D.6分析：选 A由正弦定理得 a 2c ＝ 4a ，所以 ac ＝4，且 a 2＋c 2－b 2＝ 12－ 2ac ＝ 4，代入面积公式得1 223.44. 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且知足 b ＝ c ，b 1－ cos B a＝cos A . 若点 O 是△ ABC 外一点，∠ AOB ＝ θ (0< θ <π ) ，OA ＝ 2，OB＝1，如下图，则四边形OACB 面积的最大值是 ()4＋ 5 38＋ 5 3A.B.44C ． 34＋ 5D.2b 1－ cos B分析：选 B由 a ＝cos A及正弦定理得 sin B cos A ＝ sin A － sin A cos B ，所以 sin( A＋B ) ＝ sin A ，所以 sin C ＝ sin A ，因为 A ， C ∈(0 ， π ) ，所以 C ＝A ，又 b ＝ c ，所以 A ＝ B ＝C ，△ ABC 为等边三角形． 设△ ABC 的边长为 k ，则 k 2＝ 12＋ 22－231323cos θ ＝ 5－ 4cos四边形 OACB1θ ＋ 3 23 π 5 3 θ，则 S3132sink＝ sin θ ＋(5 － 4cos θ ) ＝2sinθ －＋≤2＝243445 3 8＋ 5 3π π 5π时，四边形 OACB 的面积获得最大值，且＋ 4 ＝ 4 ，所以当 θ － 3 ＝ 2 ，即 θ ＝ 6 最大值为 8＋ 53 .435．(20182广东揭阳模拟) 已知△ ABC 中，角 A ，2B ， C 成等差数列，且△ ABC 的面积为1＋ 2，则 AC 边的长的最小值是 ________．分析：∵ A ，3B ，C 成等差数列，∴ A ＋ C ＝ 3B ，又 A ＋ B ＋ C ＝ π ，∴ B ＝π. 设角 A ， B ，C2 412所对的边分别为a ，b ，c ，由 S △ ABC ＝ 2ac sin B ＝ 1＋ 2 得 ac ＝2(2 ＋ 2) ，由余弦定理及a＋c 2≥2ac ，得 b 2 ≥(2 － 2) ac ，即 b 2≥(2 － 2)32(2 ＋ 2) ，∴ b ≥2( 当且仅当 a ＝ c 时等号建立 ) ，∴ AC 边的长的最小值为 2.答案： 26．已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若△ ABC 的面积 S ＝ a 2－ ( b － c ) 2，且 ＋ ＝ 8，则 S 的最大值为 ________．b c分析：由题意知 1sin ＝ 2－ 2＋ 2 －2，由余弦定理 2＝ 2＋c 2－ 2 cos ，得 1sin2bcA a bbc cabbcA2bcA － 2bc ＝－ 2bc cos A ，因为 bc ≠0，所以 sin A ＝ 4－ 4cos A ，则 1－ cos 2A ＝ 16(1 － cos A ) 2，158得 cos A ＝ 17， sin A ＝17， b ＋c ＝8≥2 bc ，当且仅当 b ＝c 时取等号，因此bc ≤16，那么S ＝ 21bc sinA ≤ 1764.64 答案：17对点练 ( 三 )解三角形应用举例1．(20182山西康杰中学月考) 海上有三个小岛 ， ， ，测得∠ ＝135°， ＝6，A B C BACAB AC ＝ 3 2，若在 B ，C 两岛的连线段之间建一座灯塔D ，使得灯塔 D 到 A ， B 两岛距离相等，则 B ， D 间的距离为 ()A ． 3 10 B. 10 C.13D ． 32分析：选 B由题意可知， D 为线段 AB 的垂直均分线与BC 的交点，设 BD ＝ t . 由余弦定理可得2＝ 62＋ (3 2) 2－236332cos ∠＝ 90，解得＝ 3 10. 由 cos ∠ ＝ 3＝BCBACBCABC t222610223633 10 ，解得 t ＝ 10. 应选 B.2．(20182河北唐山摸底) 一艘海监船在某海疆实行巡航监督，由 A 岛向正北方向行驶80 海里至 M 处，而后沿东偏南30°方向行驶 50 海里至 N 处，再沿南偏东 30°方向行驶 30 3海里至 B 岛，则 A ，B 两岛之间的距离是 ________海里．222分析：连结AN，则在△ AMN中，应用余弦定理可得50 ＋ 80－ ANcos 60 °＝，即 AN＝235038070.222应用余弦定理可得cos ∠＝ 50 ＋ 70－ 80＝1，ANM2350370743所以 sin ∠ANM＝7 .在△ ANB中，应用余弦定理可得32＋ 702－2cos ∠ANB＝cos ∠ANB＝3370AB，而233033cos(150 °－∠ANM)＝cos 150 °cos∠ANM＋sin 150 °sin ∠ANM＝14，3 33222＋ 70 －AB所以14＝23303370，解得 AB＝70.答案： 703．(20182贵州遵义第一次联考) 某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和 60°，量得看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为10 m，则旗杆的高是 ________m.AB分析：由题意得∠DEA＝45°，∠ ADE＝30°， AE＝cos 15°，AE sin 45°2A B所以AD＝sin 30 °＝cos 15 °，所以＝ sin 60 °＝23103sin 60 °＝ 10(3 － 3) ．CD AD cos答案： 10(3 － 3)[ 大题综合练 ]1．(20182湖北部分要点中学适应性训练) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A， B， C 的对边，且知足 cos( － ) ＝2sin sin .A B AB(1)判断△ ABC的形状；(2)若 a＝3， c＝6， CD为角 C的均分线，求 CD的长．解： (1) 由 cos( A－B) ＝ 2sin A sin B，得cos A cos B＋ sin A sin B＝2sin A sin B，∴ cos A cos B－sin A sin B＝0，∴cos( A＋B) ＝ 0，∴C＝90°.故△ ABC为直角三角形．(2)由 (1) 知C＝90°，又a＝ 3，c＝ 6，∴ b＝ c2－ a2＝3 3， A＝30°，∠ ADC＝180°－30°－45°＝105°.CD AC，由正弦定理得＝sin A sin∠ ADC3 3 3 3 1 92－ 36∴ CD＝sin 105°3sin 30°＝6＋2 3 2＝2.42．(20172云南昆明二模) 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，知足AD⊥AC，cos1∠BAC＝－3， AB＝32，BD＝ 3.(1)求 AD的长；(2)求△ ABC的面积．1解： (1) 因为AD⊥AC， cos∠BAC＝－3，2 2所以 sin ∠BAC＝3 .又 sin ∠＝ sin π＋∠ BAD＝cos∠＝22，BAC2BAD32222在△ ABD中， BD＝AB＋ AD－2AB2 AD2cos∠ BAD，即 AD－8AD＋15＝0，解得＝ 5 或＝ 3，AD AD因为 AB>AD，所以 AD＝3.(2) 在△ABD中，BD＝AB，sin ∠BAD sin∠ ADB又由 cos ∠＝22，得 sin ∠＝1，BAD3BAD 36所以 sin ∠ADB＝3，则 sin ∠ADC＝ sin(π －∠ ADB)＝sin∠ ADB＝6 3 .因为∠ ADB ＝∠ DAC ＋∠ C ＝π2 ＋∠ C ，6 所以 cos ∠ C ＝.36在 Rt △ADC 中， cos ∠ C ＝ 3 ，则 tan ∠ C ＝2 AD3＝＝，2 AC AC所以 AC ＝ 3 2.112 2则△ ABC 的面积 S ＝2AB 2AC 2sin ∠ BAC ＝ 233233 23 3 ＝ 6 2.3．(20182河南郑州模拟) 在△中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且知足ABCA B Ca b ccos 2 C － cos 2 A ＝ 2sin π＋ C 2sinπ－ C .33(1) 求角 A 的值；(2) 若 a ＝ 3 且 b ≥ a ，求 2b － c 的取值范围．解： (1) 由已知得223 2122sinA －2sin C ＝ 24cosC － sin C ，4化简得 sin＝±3，A2因为 A 为△ ABC 的内角，3所以 sin A ＝ 2 ，π2π故 A ＝ 3 或 3 .π(2) 因为 b ≥ a ，所以 A ＝ 3 .bca＝ 2，由正弦定理得＝＝sin B sin C sin A得 b ＝2sin B ，c ＝ 2sin C ，故 2b － c ＝ 4sin B － 2sin C2π＝ 4sin B － 2sin 3 － B＝ 3sin － 3cos＝ 2 3sin B －π.BB6π2π7则π6≤ B－π6<π2，π所以 2b－c＝ 2 3sin B－6∈ [3， 23) ．。
课时作业23：第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3. 7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2 答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，得 sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010. 二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则c sin C＝ . 答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°. 11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45， 所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B ＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。
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课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·泰州模拟)在△ABC 中，BC ＝3，B －A ＝π2，且cos B ＝－35，则AC ＝________. 解析：∵B －A ＝π2，∴cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－35，∴sin A ＝35，sin B ＝45. ∴由正弦定理，得AC ＝BC ·sin B sin A ＝3×4535＝4. 答案：42．(2018·姜堰中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋14c 2，则a cos B c ＝________. 解析：由已知及余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a ，所以a cos B c ＝58. 答案：583．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝________. 解析：b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝ 6. 答案： 64．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为________．解析：由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， 所以sin A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫122＝32，所以边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 答案：3325．(2019·如东调研)设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝23，c ＝3，C ＝2π3，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－ab ，即9＝12－ab ，故ab ＝3，则S △ABC ＝12ab sin C ＝334. 答案：3346．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m ＝sin (120°－α)sin α＝32·1tan α＋12＞32×3＋12＝2. 答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为________．解析：由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a ＝0， 所以cos A ＝－12，A ＝120°. 答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34. 答案：343．(2019·镇江调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝13，c ＝4，则b ＝________.解析：∵A ＝60°，a ＝13，c ＝4，∴由余弦定理，得13＝b 2＋16－8b cos 60°，即b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或3.答案：1或34．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为____．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 答案：30°5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：346．(2019·无锡调研)在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根，则AB ＝________.解析：∵a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根，∴a ＋b ＝13，ab ＝40，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝132－3×40＝49，则AB ＝7.答案：77．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝________.解析：因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 答案： 28．(2019·苏州一模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，则a b ＋c ＋c a ＋b的值为________．解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，故a b ＋c ＋ca ＋b ＝a (a ＋b )＋c (b ＋c )(b ＋c )(a ＋b )＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2b 2＋ac ＋bc ＋ab ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＋ab ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2＋bc ＋ab＝1. 答案：19．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6. (1)求c 的长；(2)求B 的大小．解：(1) 法一：在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，即a 2＋c 2－b 2＝6c . ① 由b cos A ＝1，得b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，即b 2＋c 2－a 2＝2c . ②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.法二：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c ， 代入上式得，c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos B b cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan A tan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 10．(2019·盐城期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22. (1)求角C 的大小；(2)若c ＝33且sin A ＝2sin B ，求△ABC 的面积．解：(1)由sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22， 得22(cos C －sin C )＋22(cos C ＋sin C )＝22， ∴cos C ＝12， 又0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)由c ＝33且sin A ＝2sin B ，可得a ＝2b ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4b 2＋b 2－4b 2×12＝3b 2＝27， ∴b ＝3，a ＝6，则△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×3×32＝932. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 解析：由sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝6sin A cos A ，所以cos A ＝0或sin B ＝3sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt △ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736； 若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334. 答案：334或7362．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理可得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，所以sin(A＋C )＝sin A cos C ＋sin C sin A ，化简可得sin A ＝cos A ，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理可得CD 2＝2＝b 2＋c 24－2b ·c 2·cos A ≥bc －22bc ，当且仅当b ＝c 2时取“＝”，所以bc ≤4＋22，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值是2＋1. 答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33， 所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13. 因为∠D ∈(0，π)， 所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin ∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠D ＝12，所以AC＝2 3.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B ＝ABsin(π－2∠B)＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠B cos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.。