初中数学《平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质证明题》专训40题含答案解析

八年级下学期【（特殊的）平行四边形的判定与性质30题专训】一．解答题（共40小题）
1．（2023春•岳麓区校级月考）如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD 上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）在△ABC中，若AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，求BC边上的高AG．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，再得出AF＝EC，即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出AB的长，然后根据等积法求出BC边上的高AG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴AF∥EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴，
∵，
∴．
2．（2022春•琼海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF （ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF ＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
3．（2022春•吉林期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，延长EC至点F，使FC＝CE，过点D作DG∥BC（点G位于点D右侧），且DG＝2CF，连接FG．
（1）求证：四边形DEFG 为平行四边形；
（2）若AB ＝8，求FG 的长．
【分析】（1）先证明DG ＝EF ，又DG ∥BC 即可得到结论；
（2）先证明DE 是△ABC 的中位线，得到
，由四边形DEFG 为平行四边形，
即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵FC ＝CE ，DG ＝2CF ，
∴DG ＝EF ，
∵DG ∥BC ，
∴四边形DEFG 为平行四边形．
（2）解：∵D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴，∵四边形DEFG 为平行四边形，
∴FG ＝DE ＝4．
4．（2022春•云梦县期中）如图：△ABD ，△APE 和△BPC 均为直线AB 同侧的等边三角形，点P 在△ABD 内．
（1）求证：四边形PEDC 为平行四边形；
（2）当点P 同时满足条件：①PA ＝PB 和②∠APB ＝150°时，猜想四边形PEDC 是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB 中，253===PB PA AB ，，，求四边形PEDC 的面积．
【分析】（1）证明DE ＝PC ，PE ＝CD 即可；
（2）根据正方形的判定解决问题即可；
（3）过C 作CH 垂直EP 的延长线于H ，依据ED ＝CP ，EP ＝DC ，即可得出四边形PCDE 是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得∠APB ＝90°，求出∠EPC ＝150°，再由
30°的直角三角形性质求出CH的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∵PC＝PB，
∴DE＝PC，
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形；
（2）解：此时四边形PEDC为正方形．
理由：当PA＝PB时，
∵PE＝PA，PC＝PB，
∴PE＝PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
又∵四边形PEDC是菱形，
∴四边形PEDC是正方形．
（3）解；如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，
∵AB＝3，PA＝，PB＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴CH＝CP＝PB＝1，
又PE＝PA＝，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝．
5．（2022春•灌南县期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE＝5，BE＝4，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝CE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ACE＝90°，则平行四边形ACED是矩形，再由勾股定理得AC＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝AE，BC＝CE＝BE＝2，
∴AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴矩形ACED的面积＝AC×CE＝＝2．
6．（2022春•唐河县期中）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE＝DF，AC交BD 于点O，AD∥BC，AE∥FC．
（1）求证：AC与BD互相平分；
（2）若AE⊥AC，AE＝BE，BD＝16，EF＝10，求AC的长．
【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，再证BF＝DE，得到△ADE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是平行四边形，由此得证；
（2）由AC与BD互相平分，得到OE与AE的长，结合AE⊥AC，即可算出AO，由此得到AC的长．
【解答】（1）证明：连接AB，CD，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE∥FC，
∴∠AED＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分；
（2）解：∵AC与BD互相平分，
∴，
∵BE＝DF，
∴，
∴AE＝BE＝3，
∵AE⊥AC，
∴根据勾股定理得：，
∴AC＝2AO＝8．。