新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习8.1函数与方程思想(含答案解析)

第一部分 知识复习专题
专题八 思想方法专题 第一讲 函数与方程思想
一、选择题
1. (2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x ＜π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )
A.12
B.32 C ．0 D ．－1
2
解析：由题意，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋
sin
5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝1
2.故选A. 答案：A
2．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )
A ．{a|1＜a≤2}
B ．{a|a ≥2}
C ．{a|2≤a ≤3}
D ．{2，3}
解析：依题意得y ＝a 3x ，当x ∈[a ，2a]时，y ＝a 3x ∈⎣⎡⎦⎤12a 2，a 2 [a ，a 2]，因此有12a 2≥a ，又a ＞1，由此解得a≥2.故选B.
答案：B
3．对任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是( )
A.{}x |1＜x ＜3
B.{}x |x ＜1或x ＞3
C.{}x |1＜x ＜2
D.{}x |x ＜1或x ＞2
解析：由f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0得 a(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.
令g(a)＝a(x －2)＋x 2－4x ＋4，由不等式f (x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立．
∴有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （1）>0，即⎩
⎪⎨⎪⎧－（x －2）＋x 2
－4x ＋4>0，（x －2）＋x 2
－4x ＋4>0. 解得x<1或x>3. 答案：B
4．椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其一
交点为P ，则|PF 2|＝( )
A.32
B. 3
C.7
2
D ．4 解析：
如图，令|F 1P|＝r 1，|F 2P|＝r 2，
那么⎩⎪⎨⎪
⎧r 1＋r 2＝2a ＝4，r 22－r 21＝（2c ）2
＝12
⎩
⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝3 r 2＝7
2
.
答案：C
5．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f (－x)＝－f(x), 又因为f(x ＋2)是偶函数，则f(－x ＋2)＝f(x ＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3
＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故选D.
答案：D
6．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x 2＋e x －1
2(x ＜0)与g(x)＝x 2＋ln(x ＋a)图象上存在关于
y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫
－∞，1e B.()－∞，e C.⎝⎛⎭⎫ －
1e ，e D.⎝
⎛⎭⎫－e ，1e
解析：由题可得存在x 0∈(－∞，0)满足f(x 0)＝g(－x 0) x 2
0＋ex 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0
＋a) ex 0－ln(－x 0＋a)－12＝0，令h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－1
2，因为函数y ＝e x 和y ＝－ln(－
x ＋a)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－1
2在定义域内是单调递
增的，又因为x 趋近于－∞时，函数h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)＝e 0－ln(0＋a)－1
2
＞0 ln a ＜ln e a ＜ e.故选B.
答案：B
二、填空题
7．若关于x 的方程(2－2－|x －2|
)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．
解析：令f(x)＝(2－2－|x －2|
)2，
∵－|x －2|≤0，∴0<2
－|x －2|
≤1.
∴f(x)∈[1，4)．∵方程有实根， ∴1≤2＋a<4，解得－1≤a<2. 答案：[－1，2)
8. (2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
解析：由4a ＝2得a ＝12，所以lg x ＝1
2，解得x ＝10.
答案：10
三、解答题
9．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝
2bx
ax－1
，a≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x成立的实数x只
有一个，求函数f(x)的表达式．
解析：∵f(x)＝
2bx
ax－1
，f(1)＝1，
∴
2b
a－1
＝1.∴a＝2b＋1.
又f(x)＝2x，即
2bx
ax－1
＝2x只有一个解，
也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解．
∴Δ＝[－2(1＋b)]2－4×2a×0＝0，即(1＋b)2＝0.
得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝2x
x＋1
.
10．某地区要在如图
所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2OA＝4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．
解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝2py，
由C(2，4)代入得：p＝1 2，
所以曲线段OC的方程为：y＝x2(x∈[0，2])．
A(－2，0)，B(－2，4)，设P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，过P作PQ⊥AB于Q，PN ⊥BC于N，
故PQ ＝2＋x ，PN ＝4－x 2， 则矩形商业楼区的面积 S ＝(2＋x)(4－x 2)(x ∈[0，2])．
S ＝－x 3－2x 2＋4x ＋8，令S′＝－3x 2－4x ＋4＝0得x ＝2
3或x ＝－2(舍去)，
当x ∈⎣⎡⎦⎤0，2
3时，S ′＞0，S 是x 的增函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数， 所以当x ＝2
3时，S 取得最大值，
此时PQ ＝2＋x ＝83，PN ＝4－x 2＝32
9，
S max ＝83×329＝256
27(km 2)．
故该矩形商业楼区规划成长为329 km ，宽为83 km 时，用地面积最大为256
27
km 2.
11．进入2007年以来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？
解析：设该养殖户投入资金为y 元，易知猪舍的长为
200
x
米， ∵y ＝200×10＋200×15＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×20＋4x ×10＝80⎝⎛⎭⎫x ＋100
x ＋5 000(5≤x≤a)， ∵函数f(x)＝x ＋
100
x
在[5，10]上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增， ∴当a≥10时，y min ＝6 600，此时x ＝10；
当5≤a ＜10时，y min ＝80⎝
⎛⎭⎫a ＋100
a ＋5 000，此时x ＝a. ∴若a≥10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5≤a ＜10
米，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是[80⎝
⎛⎭⎫a ＋100
a ＋5 000]元．
12．直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A ，B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，
x 2－y 2
＝1(x≤－1)消去y ， 得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.①
(联立方程是解决交点问题的一般方法)
因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．
所以⎩⎨
⎧Δ＝4k 2＋8（1－k 2）＞0，
x 1
＋x 2
＝2k 1－k 2
＜0，
x 1
·x 2
＝－2
1－k
2
＞0，解得1＜k ＜ 2.
设M(x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0
＝x 1＋x 2
2＝k
1－k
2，y 0
＝kx 0
＋1＝1
1－k 2
.
由P(－2，0)，M ⎝⎛⎭
⎫k 1－k 2，1
1－k 2，Q(0，b)三点共线，得出b ＝
2
－2k 2
＋k ＋2
，……(构
造出b 和k 的函数关系式)
设f(k)＝－2k 2
＋k ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫k －142
＋17
8
，…(使函数更加清晰) 则f(k)在(1，2)上为减函数， ∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b ＜－2－2或b ＞2.
∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．
13．若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．
解析：解法一 令2x ＝t(t ＞0)，则原方程可化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*)
问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a 的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式 ⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝a 2
－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0
⎩⎪⎨⎪
⎧a≤2－22或a≥2＋22，a ＜0，a ＞－1，
即－1＜a≤2－22，
②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时， 令f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知满足条件的a 的取值范围为 (－∞，2－22]． 解法二 令t ＝2x (t ＞0)， 则原方程可化为t 2＋at ＋a ＋1＝0. 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－（t 2－1）＋21＋t
＝－⎣⎡⎦
⎤（t －1）＋2
t ＋1
＝－⎣
⎡⎦
⎤（t ＋1）＋2
t ＋1－2≤－(22－2)＝2－2 2.
当且仅当t ＝2－1时取等号． 所以a 的取值范围是(－∞，2－22)．。