人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数1

算术平均数与几何平均数

教学目标

学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；

理解定理的几何意义；

能够简单应用定理证明不等式.

教学重点

均值定理证明

教学难点

等号成立条件

教学方法

引导式

教具准备

幻灯片

教学过程

Ⅰ.复习回顾

师：上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. 生：（答略）

师：由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.

Ⅱ.讲授新课

重要不等式：

如果

)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 证明：222)(2b a ab b a -=-+

当

,0)(,,0)(,22=-=-≠b a b a b a b a 时当时 所以，

0)(2≥-b a 即

.2)(22ab b a ≥+ 由上面的结论，我们又可得到

定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵

,2)()(22ab b a ≥+

ab b a 2≥+∴ 即ab b a ≥+2 显然，当且仅当

ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，

此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab

b a ab b a ≥+≥+2222和

成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，

而后者要求a,b 都是正数.

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.

以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b.过点C 作垂直

于直径AB 的弦DD ′,那么

CB CA CD ⋅=2 即ab CD =

这个圆的半径为2b

a +，显然，它不小于CD ，即

ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，

等号成立.

师：在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.

题讲解：

例1 已知x,y 都是正数，求证：

（1）如果积xy 是定值P,那么当x=y 时，和x+y 有最小值;2P

（2）如果和x+y 是定值S,那么当x=y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都

是正数，所以

xy y x ≥+2

（1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2

P y x 2≥+∴

上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值P 2.

（2）和x+y 为定值S 时，有

2

41,2

S xy S xy ≤∴≤

上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值241S .

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在.

师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.

Ⅲ.课堂练习

要求：学生板演，老师讲评.

课堂小结

师：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件. 课后作业