云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A. {x|x＞-2}B. {x|0＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|-2＜x＜1}2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. -1B. 1C. iD. -i3.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A. 8πcm2B. 12πcm2C. 16πcm2D. 20πcm24.已知，则sin2x的值为（）A. B. C. D.5.二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x3项的系数为10，则n=（）A. 8B. 6C. 5D. 106.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A. B. C. D.7.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.B.C.D.9.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 4810.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A.B.C.D.11.已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.12.已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（）A. B.C. （1，+∞）D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不共线向量、，=t-（t∈R），=2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．15.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为______．16.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为____.三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，x∈[1，5]．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1，2）的红包个数为X，求X的分布列和期望．19.如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M-AC-D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=ln x，g（x）=x-1．（1）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）≤g（x）；（3）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．22.如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．24.设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：A．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.【答案】A【解析】解：===-i．∴复数的虚部是-1．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算，求得=-i．由此能求出复数的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】B【解析】【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．4.【答案】D【解析】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选：D．解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：由二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式的通项T r+1=x n-r得：令n-r=3，得r=n-3，所以==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，故选：C．由二项式定理得：==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．6.【答案】C【解析】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25-2×（5-2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．7.【答案】D【解析】解：由于函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+），当x=时，f（x）=0，故该函数图象关于点（，0）对称，故选：D．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23-×22×1=．故选：B．由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．9.【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选：C．首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题.模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S 的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1；不满足条件n＞5，S=1+，n=2；不满足条件n＞5，S=1++，n=3；不满足条件n＞5，S=1+++，n=4；不满足条件n＞5，S=1++++，n=5；不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6；满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．11.【答案】C【解析】解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，两边平方得x2＞（2x-1）2，即3x2-4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，把不等式f（x）＞f（2x-1）转化为|x|＞|2x-1|，求出解集即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用向量共线定理、向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=t-（t∈R），=2+3，A、B、C三点共线，∴存在实数k使得，t-=k（2+3），化为（t-2k）+（-1-3k）=，∵向量、不共线，∴，解得t=-．故答案为：-．14.【答案】9【解析】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x-y有最大值9．首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x-z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x-z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x-y中即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．15.【答案】【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得：9=4+c2-2c，即c2-2c-5=0，∴解得：c=1+，或1-（舍去）．故答案为：．由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2-2c-5=0，解方程即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．16.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．17.【答案】解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n=4n-1，n∈N*．（2）∵a n=4log2b n+3=4n-1，∴b n=2n-1．∴，n∈N*．∴，①①×2得：，②∴．故．【解析】（1）根据a n=解出；（2）求出b n，使用错位相减法求和．本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．18.【答案】解：（I）由频率分布直方图可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，∴X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴E（X）=3×=．【解析】（I）由频率分布直方图的性质可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得分布列，进而定点数学期望．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，∴cos∠ABM=，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．【解析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC 所成的角的正弦值．本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．20.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2-12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=-1，所以•k=-1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx-2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵，∴f'（1）=1．又由f（1）=0，得所求切线l：y-f（1）=f'（1）（x-1），即所求切线为y=x-1．（2）设h（x）=f（x）-g（x）=ln x-x+1，则，令h'（x）=0，得x=1，得下表：（），即（）（）．max（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．（ⅰ）当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；（ⅱ）当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，令φ'（x）=0，得．得下表：）（增函数极大值减函数∴．即不满足不等式．综上，a≥1．【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，然后求解函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）求出函数的导数，求解f（x）的最大值，函数g（x）的最小值即可；（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．通过（ⅰ）当a≥1时，（ⅱ）当a≤0时，判断是否满足题意；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，利用函数的导数的符号判断函数的单调性求解函数的极值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．【解析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x-y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．【解析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．24.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x+2|-|x-2|=，当x＜-1时，不等式f（x）＞2，即-x-4＞2，求得x＜-6，∴x＜-6;当-1≤x＜2时，不等式f（x）＞2，即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2;当x≥2时，不等式f（x）＞2，即x+4＞2，求得x＞-2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜-6}；（2）由f（x）的单调性可得f（x）的最小值为f（-1）=-3，若∀x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，只要-3≥t2-t，即2t2-7t+6≤0，∴求得≤t≤2．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）求出函数f（x）的分段函数，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（2）由f（x）的单调性求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，再根据f（-1）≥t2-t，求得实数t的取值范围．。