《点集拓扑学》第5章§5.3Lindeloff空间

《点集拓扑学》第5章§5.3Lindeloff空间
§5.3Lindeloff空间
本节重点:
掌握Lindeloff空间的定义；
掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；
掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．
我们先引进一些术语．
定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B
的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．
设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．
包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．
定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是
Lindeloff空间．
证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．
设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且
这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于
是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且
所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A
有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．
推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．
例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．
考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．
定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．
证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．
对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从
而开集族
是一个可数族．以下证明它是X的一个基．
x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由
于是X的一个覆盖，
根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．
例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，
T是一个可数集}
容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）
拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见
是A的一个可数子覆盖．
另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．
此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．
尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：
定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是
{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中
，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是
一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．
特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．
证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在
a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．
我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表
作业:
P149 1．
本章总结：
（1），Lindeloff空间是重点．
（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．
（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．
（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．。