离散数学课件11半群与群-3

立。 正确的理解：对h∈H，存在h1∈H，使ah＝h1a。 说明 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}，
都是G的正规子群。 如果G是阿贝尔群，G的所有子群都是正规子群。
正规子群的实例
例11.18 设A＝{1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的双射函数。其中 f1＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2＝{<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3＝{<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4＝{<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6＝{<1,3>,<2,1>,<3,2>} 令G＝{f1,f2,…,f6}，则G关于函数的复合运算构成群。G的 全体子群是：
(x+1)＝(x1)＝(x)(1) ＝(ix)mod n i＝(ix+i)mod n ＝(i(x+1))mod n
最后有 (0)＝((n-1) 1)＝(n-1) (1) ＝(i(n-1)mod n i＝(in)mod n ＝0＝(i·0)mod n
例11.25
例11.25 设G为群，a∈G。令 ：G→G, (x)＝axa-1， x∈G
H1＝{f1},
H2＝{f1,f2},
H3＝{f1,f3}
H4={f1,f4},
H5＝{f1,f5,f6}, H6＝G
不难验证，H1,H5和H6是G的正规子群，而H2,H3和H4不是正规 子群。
定理11.14
定理11.14 设N是群G的子群，N是G的正规子群当且仅当 g∈G，有 gNg-1＝N。
(a-1)(a)＝ (a-1a)＝ (e1)＝ e2 (a)(a-1)＝ (aa-1)＝ (e1)＝ e2 可知(a-1)是(a)的逆元。 根据逆元的唯一性得 (a-1)＝ (a)-1。
例11.26
例11.26 设G1＝<Q,+>是有理数加群，G2＝<Q*,·>是非零有 理数乘法群。证明不存在G2到G1的同构。
由于p有n种取值，不同的p确定了不同的映射， 所以存在n个G的自同态。
例11.24
下面证明任何G的自同态都是上述n个自同态中的一个。 设是G的自同态，且(1)＝i，i∈Zn。 我们将证明x∈Zn，有(x)＝(ix)mod n。
(1)＝i＝(i·1)mod n 假设对一切x∈{1,2,…,n-2}，有 (x)＝(ix)mod n成立，则
群的同态映射
定义11.11 设G1,G2是群，：G1→G2，若任意a,b∈G1都有 (ab)＝(a)(b)
则称是群G1到G2的同态映射，简称同态。
典型同态映射的实例 (1)G1＝<Z,+>是整数加群，G2＝<Zn,>是模n的整数加群。令
：Z→Zn, (x)＝(x)mod n 则是G1到G2的同态。
举例
如果G是阿贝尔群，对于上面的内自同构必有 (x)＝axa-1＝aa-1x＝x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个，就是恒等映射。 考虑模3整数加群<Z3,>，根据例11.24，Z3有3个自同态， 即 p＝(px)mod 3，p＝0,1,2。
p＝0，0 : 0→0, 1→0, 2→0 p＝1，1 : 0→0, 1→1, 2→2 p＝2，2 : 0→0, 1→2, 2→1 在这三个自同态中，1和2 是 Z3的自同构, 其中1是内自同构。0是零同态。
G1的同态像，记作G1～G2。 (2) 若：G1→G2是单射的，则称为单同态。 (3) 若：G1→G2是双射的，则称为同构，记作G1≌G2。 (4) 若G1＝G2，则称是群G的自同态。 举例： (1)中的同态是满同态，这时也可以说模n整数加群是整数加
群的同态像。 (2)中的同态是单同态。由于ran ＝R+，同态像是<R+,·>。 这两个同态都不是同构。
成立。所以上述的1, 2,…, 6是G上的全体自同构。
同态映射的性质
定理11.16 设是群G1到G2的同态，H是G1的子群，则 (1)(H)是G2的子群。 (2)若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群。 说明：同态映射保持子群的对应性。 证明 (1) 由e2＝(e1)∈(H)可知(H)非空。
是唯一的。 因为运算是涉及到类的运算，必须证明该运算与类的代表元素
的选择无关。 换句话说，若 Na＝Nx,Nb＝Ny, 则有 NaNb＝NxNy。
商群
任取a,b,x,y∈G，则有 Na＝Nx∧Nb＝Ny
n1n2(a＝n1x∧b＝n2y) Nab＝Nn1xn2y＝Nn1n2´xy（由于N是正规的） Nab＝Nxy NaNb＝NxNy 易见G/N关于运算是封闭的。
例11.24
例11.24 设G＝<Zn,>是模n整数加群，证明恰含有n个G的自同 态。
证明：先证存在着n个G的自同态。令 ：Zn→Zn ， (x)＝(px)mod n，p=0,1,…,n-1
则是G的自同态，因为任意的x,y∈Zn有 (xy) ＝ (p(xy))mod n ＝ (px)mod n (py)mod n ＝ (x) (y)
例11.21
例11.21 设N是群G的子群，若[G:N]＝2，则N是G的正规子群。 证明 由[G:N]＝2可知N存在两个右陪集，即
G＝N∪Ng，gN 同理可知， G＝N∪gN，gN 任取g∈G，若g∈N，则有gN＝N＝Ng。 若 gN，则有gN＝G-N＝Ng。 从而证明了N是G 例11.20和例11.21可作为判别正规子群的充分条件来使用。 考虑例11.18中的群G。H1、H5和H6都是G的唯一的1阶、3阶和6 阶子群。所以它们都是正规的。对于H5,由于[G:H5]＝2，根据 例11.19的结论也可以判别的它的正规性。
商群
由群G和G的正规子群N可以构造一个新的群，就是G的商群G/N。 设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的全体右陪集（或
左陪集）构成的集合，即 G/N＝{Ng|g∈G}
在G/N上定义二元运算如下： Na,Nb∈G/N， NaNb＝Nab
可以证明G/N关于运算构成一个群。 首先验证运算是良定义的，即N的任意两个陪集Na、Nb的乘积
group)。
例11.22
设<Z,+>是整数加群，令
3Z＝{3z|z∈Z}
_
_
_
0
1
2
则3Z是Z的正规子群。Z关于3Z的商群
_
_
_
_
___
0
0
1
2
Z/3Z＝{0,1,2}
_
_
_
_
其中 _
1
1
2
0
i＝[i]＝{3z+i|z∈Z} i＝0,1,2
_ 2
_ 2
_ 0
_ 1
且Z/3Z中的运算如右表所示。
本节内容及学习要求
证明 假设是G2到G1的同构，那么有 ：G2→G1, (1)＝0
于是有 (-1)＋(-1)
＝((-1)(-1)) ＝(1) ＝0 从而得(-1)＝0，这与的单射性矛盾。
例11.27
例11.27 设G＝{e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。 解答 设是G的自同构,则(e)＝e，且是双射。
因此满足这些条件的映射只有以下六个： 1：e→e，a→a，b→b，c→c 2：e→e，a→a，b→c，c→b 3：e→e，a→b，b→c，c→a 4：e→e，a→b，b→a，c→c 5：e→e，a→c，b→b，c→a 6：e→e，a→c，b→a，c→b
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有 i(xy)＝i(x)i(y)，i＝1,2,…,6
商群
再证明运算是可结合的。 任取a,b,c∈G， (NaNb)Nc＝NabNc＝N(ab)c＝Nabc Na(NbNc)＝NaNbc＝Na(bc)＝Nabc 所以有(NaNb)Nc＝Na(NbNc)。 Ne＝N是G/N中关于运算的单位元。 Na∈G/N，Na-1是Na的逆元。 综上所述,G/N关于运算构成群。称为G的商群(quotient
任取x∈(H)，y∈G2， 则存在a∈H，使得(a)＝x。
又由于的满射性，必存在g∈G1使得(g)＝y。所以
yxy-1 ＝ (g)(a)(g)-1
＝ (gag-1)
(由于同态)
因为H是G1的正规子群，gag-1∈H。 这就推出 yxy-1∈(H)。 从而证明了 (H) ≤| G2。
同态的核
定义11.13 设是群G1到G2的同态，令 ker ＝{x|x∈G1 ∧ (x)＝e2}
则是G的自同构，称为G的内自同构。 证明：x,y∈G，有
(xy) ＝a(xy)a-1 ＝(axa-1)(aya-1) ＝(x)(y) 所以是G的自同态。 任取 y∈G，则存在 a-1ya∈G，且满足
(a-1ya) ＝a(a-1ya)a-1 ＝y
所以是满射的。 任取x,y∈G，假若(x)＝(y)， 即axa-1＝aya-1， 由G中的消去律必有x＝y。 从而证明了是单射的。 综合上述, 是G的自同构。
因为x,y∈Z有
(x+y) ＝(x+y)mod n ＝(x)mod n (y)mod n ＝(x)(y)
典型同态映射的实例
(2)普设通G1乘＝法<R构,+成>是的实群数。加令群，G2＝<R*,·>是非零实数关于
：R→R*, (x)＝ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
(x+y)＝ex+y＝ex ·ey＝(x)·(y)
其中e2为G2的单位元。称ker 为同态的核。 举例：考虑例11.23的几个同态。
(1) ：Z→Zn, (x)＝(x) mod n， ker ＝{z|z∈Z∧n整除z}＝nZ
(2) ：R→R*, (x)＝ex， ker ＝{0}
(3) ：G1→G2，(a)＝e2，a∈G1，是零同态， ker ＝G1
主要内容 –正规子群的定义及实例。 –正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法。 –商群的定义及其实例。
学习要求 –掌握正规子群的概念及判别方法。 –给定群G和它的正规子群H，会求商群G/H。
11.6wk.baidu.com群的同态与同构
和半群的同态类似,也可以定义群的同态。 群的同态映射和同构映射，以及相关的概念。 群同态的性质。
同态映射的性质
定理位1元1.，5 则设是群G1到G2的同态映射，e1和e2分别为G1和G2的单 (1) (e1)＝e2 (2) (a-1)＝(a)-1，a∈G1
说明：同态映射保持元素的对应性。 证明 (1) (e1)(e1) ＝ (e1e1) ＝(e1) ＝(e1)e2。
由G2的消去律得 (e1)＝e2。 (2) 任取a∈G1，由
证明 任取g∈G有 gNg-1＝N (gNg-1)g＝Ng gN＝Ng
由正规子群定义，定理得证。
例11.20
例11.20 设N是群G的子群，若G的其他子群都不与N等势，则N是 G的正规子群。
证明 任取g∈G，则gNg-1是G的子群。 容易证明 N≈gNg-1。令 f:N→gNg-1，f(n)＝gng-1，n∈N 则f是N到gNg-1的映射。 假若f(n1)＝f(n2),则有gn1g-1=gn2g-1， 从而推出 n1＝n2，即f是单射。 任取gng-1∈gNg-1，则有n∈N且f(n)＝gng-1， 这就证明f是满射。从而N≈gNg-1。 根据已知条件，必有gNg-1＝N。 所以N是G的正规子群。
11.5 正规子群与商群
正规子群的定义及实例 正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法 商群的定义及其实例。
正规子群的定义及实例
定义11.10 设H是群G的子群。如果a∈G都有Ha＝aH,则称H是G 的正规子群(normal subgroup)或不变子群，记作H≤|G。
注意 条件Ha＝aH仅仅表示两个集合aH和Ha相等。 错误的理解：由aH＝Ha可推出ah＝ha对H中所有的元素h都成
任取x,y∈(H)， 则存在a,b∈H， 使得(a)＝x，(b)＝y。 由于是同态，所以
xy-1 ＝(a)(b)-1 ＝(a)(b-1) ＝(ab-1) 又由于H是G1的子群，ab-1∈H， 因此xy-1∈(H)。 从而证明了(H)是G2的子群。
定理11.16
(2)若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群。 只需证明(H)是正规的。
(3)设G1,G2是群，e2是G2的单位元。令
：G1→G2, (a)＝e2，a∈G1 则是G1到G2的同态，称为零同态。
因为a,b∈G1有
(ab)＝e2 ＝e2e2 ＝(a)(b)
同态的分类
定义11.12 设：G1→G2是群G1到G2的同态。 (1) 若：G1→G2是满射的，则称为满同态，这时也称G2是