精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题测试题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ） A ．sinx B ．－sinx
C ．cos x
D ．－cosx （2005湖南
理)
2．已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-;则()y f x =的图像大致为
（2012新课标理）
3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,
()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题
（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
x
y
O
(2,0)P
()y f x =
()y f x '=
1 （第10题
（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
二、填空题
4．函数2
(0)y x x =>的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a + ,k 为正整
数，116a =，则135a a a ++= . 5．函数2|32|y x x =-+的极大值为 ．
6．曲线y ＝e x
在点A(0,1)处的切线斜率为________．
7．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－1
3x ，那么点P 的坐标为_________ 8． 已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．
9． 若直线y x b =-+为函数1y x =的一条切线，则实数b = ▲ ．
10．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ．
11．已知函数3
2
()23125f x x x x =--+在区间[0,3]上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .
12．已知函数y = f (x )，x ∈[0，2π]的导函数y = f ' (x )的图象， 如图所示，则y = f (x ) 的单调增区间为 ▲ ．
13．已知函数3
()3f x x x =-,求函数()f x 在3[3,]2
-上的最大值和最小值.
14． 函数2
31()23
f x x x =-在区间[]1,5-上的最大值是 323
15．若曲线2
1
x y x -=
+在1x =处的切线与直线10ax y ++=平行，则实数a 等于
16．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________________0<b <1
17．已知x R ∈，奇函数3
2
()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是__________．
三、解答题
18．已知函数()ln f x x x =-， ()ln a
g x x x
=+，（0a >）． （1）求函数()g x 的极值；
（2）已知10x >，函数11
()()
()f x f x h x x x -=-， 1(,)x x ∈+∞，判断并证明()h x 的单调
性；
（3）设120x x <<，试比较12(
)2x x f +与121
[()()]2
f x f x +，并加以证明． 19．已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R . （1）当2=a 时，求函数()f x 的单调区间；
（2) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值. （本题满分16分）
20． 已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在0x =处取得极大值2，其图象在1x =处的切线与直线320x y -+=垂直.（1）求()f x 的解析式；（2
）当(]x ∈-∞时，不等式
'2()69xf x m x x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.
21．如图，在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。

公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A 、B 两点)，然后乘同一艘游轮前往C 岛。

据统计，每批游客A 处需发车2辆，
B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。

设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到
C 岛所需运输成本S 元。

⑵
出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？(本小题满分14分)
22．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为x x )2(+
万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不
考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
【求导参考公式：1='x ；x x 2)(2
='；211x x -='⎪⎭
⎫ ⎝⎛；
()x x 21='】
（1）设需要新建n 个桥墩， 则m x n =+)1(,1-=
x
m
n ---------------------------------------------------4分 所以x x n n y )2)(1(265+++=
2652265-++=
m x m x
m
(x ＞0)------------------------------7分 （2）21
221265-+-='mx x m y )512(223
2-=x x
m
令0)512(2
3
=-x ,即64=x -----------------------------------------------10分
当0＜x ＜64时，0<'y ，y 在区间（0,64）上为减函数， 当64＜x ＜640时，0>'y ，y 在区间（64,640）上为增函数， 所以当x =64时y 最小，这时9164
640
=-=
n --------------------------15分 答：当m =640米时，需新建9个桥墩才能使y 最小．----------------16分 1
23．已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-()a R ∈. （1）1=a 时，求函数)(x f 的极大值。

（2）讨论()f x 的单调性； （3）设2
()2 4.g x x b x =-+当1
4
a =
时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.
24．在等边ABC ∆中,AB =6cm ，长为1cm 的线段DE 两端点,D E 都在边AB 上，且由点
A 向点
B 运动（运动前点D 与点A 重合），FD AB ⊥,点F 在边A
C 或边BC 上；GE AB ⊥,点G 在边AC 或边BC 上，设A
D xcm =。

.
（1）若ADF ∆面积为1()S f x =,由,,,DE EG GF FD 围成的平面图形面积为2()S g x =，分别求出函数(),()f x g x 的表达式；
（2）若四边形DEGF 为矩形时0x x =，求当0x x ≥时, 设()
()()
f x F x
g x =，求函数()F x 的取值范围。

25．函数(),()ln ln ,x
f x ae
g x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 （1）、求函数()y g x =的解析式
（2）、若关于x 的不等式()
x m
g x ->m 的取值范围。

26．已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11
|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
27．设函数(
)()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； ⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；
⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.
28．已知a
是实数，函数())f x x a =-.⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区
间[]2,0上的最小值.
（i ）写出g(a)的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g .
29．已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝
2
1ax 2
＋b x ，a ≠0 （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行
30．已知a R ∈，函数()()
()2,x f x x ax e x R e =-+∈为自然数的底数， （1） 当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2） 若函数()f x 在()1,1-上单调递增，求a 的取值范围；
（3） 函数()f x 是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围，若不是，请说明理由。