【中考数学】2023-2024学年湖北省宜昌市质量检测仿真模拟试卷2套(含解析)

2023-2024学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1.2-的值等于（）A.2
B.12
-
C.
12
D.﹣22.已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm ，用科学记数法表示这个数为（）
A.8.9×10﹣5
B.8.9×10﹣4
C.8.9×10﹣3
D.8.9×10﹣2
3.化简（﹣a ）2a 3所得的结果是（）
A.a 5
B.﹣a 5
C.a 6
D.﹣a 6
4.如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是－1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则点E 表示的实数是（
）
A.
＋1
B.
－1
C.
D.15.已知函数y=ax﹣x﹣a +1（a 为常数），则其函数图象一定过象限（）
A.一、二
B.二、三
C.三、四
D.一、四
6.如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2．当∠B 时，BC 的长是（
）
A.1
B.5
C.
D.
7.一元二次方程22310x x ++=的根的情况是（）A.有两个没有相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根
D.无法确定
8.已知a≠0，下列计算正确的是（
）
A.a 2+a 3＝a 5
B.a 2•a 3＝a 6
C.a 3÷a 2＝a
D.（a 2）3＝a 5
9.如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D 的旋转路径为 DG
，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（
）
A.
23
π
+ B.12
π+
C.
2
π D.
13
π+10.如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为（a ，b ）、（3，1）、（﹣a ，b ），则点D 的坐标为（
）
A.（1，3）
B.（3，﹣1）
C.（﹣1，﹣3）
D.（﹣3，1）
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11.分解因式：2242a a ++=_________．
12.已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
13.若关于x 的方程x 2
＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
14.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =50°，则∠CAD =________．
15.如图，在□ABCD 中，E、F 分别是AD、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为________．
16.如图，A（a，b）
、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝k
x
（x＞0）图像上两点，过A、B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD 交于点G．则四边形ACDG 的面积随着a 的增大而_________．
（填“减小”、“没有变”或“增大”）
17.二次函数y=a （x ﹣b ）2+c （a ＜0）的图象点（1，1）和（3，3）
，则b 的取值范围是________．18.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP 的最小值为_________
．
三、解答题（共10小题）
19.计算:0
2
1
1
20172(3)(4
-----.
20.解没有等式组513(1)
215113
2x x x x -<+⎧⎪
-+⎨-⎪⎩，并把它们的解集表示在数轴上．
21.先化简，再求值：(
b b a b a b ++-)÷2
2
a a
b -．其中2017,2a b ==22.一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
23.某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为°；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF．
（1）求证：ABE AD F'
△≌△；
（2）连接CF，判断四边形AECF是没有是平行四边形？证明你的结论．
25.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k
x的图象交于点
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=k
x的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐
标．
26.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且CD·BC ＝AC·CE ，以E 为圆心，DE 长为半径作圆，⊙E 点B ，与AB ，BC 分别交于点F ，G ．（1）求证：AC 是⊙E 的切线；（2）若AF ＝4，CG ＝5，①求⊙E 的半径；
②若Rt △ABC 的内切圆圆心为I ，则IE ＝
．
27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）
、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的值及此时点P 的坐标．
28.如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
2023-2024学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1.2-的值等于（）A.2
B.12
-
C.
12
D.﹣2
【正确答案】A
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以22-=，故选A ．
2.已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm ，用科学记数法表示这个数为（）
A.8.9×10﹣5
B.8.9×10﹣4
C.8.9×10﹣3
D.8.9×10﹣2
【正确答案】C
【详解】试题解析：0.0089=8.9×10-3.故选C.
考点：科学记数法—表示较小的数.3.化简（﹣a ）2a 3所得的结果是（）
A.a 5
B.﹣a 5
C.a 6
D.﹣a 6
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.【详解】原式235.a a a =⋅=故选A.
本题主要考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键.
4.如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是－1，以A 点为圆
心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（）
A.＋1
B.－1
C.
D.1
【正确答案】B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC==
∵A点表示−1，
∴E，
故选B．
5.已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（）
A.一、二
B.二、三
C.三、四
D.一、四【正确答案】D
【详解】分析：根据函数的图形与性质，由函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.
详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了函数的图像与性质，利用函数的图像与性质的关系判断即可.
函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四
象限，y 随x 增大而减小.
6.如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2．当∠B 时，BC 的长是（
）
A.1
B.5
C.
13
D.
5
【正确答案】D
【详解】如图，以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，当点C 在⊙A 上移动时，∠B 的大小在发生变化，观察可得当BC 和⊙A 相切时，∠B ，此时∠ACB=90°，∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，∴BC=22325-=.
故选D
.
7.一元二次方程22310x x ++=的根的情况是（）A.有两个没有相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定
【正确答案】A
【分析】根据根的判别式大于0，方程有两个实数根；等于0，有两个相等的实数根；小于0，方程无实数根．
【详解】解：∵△=2342110-⨯⨯=>，∴方程有两个没有相等的实数根．故选A ．
本题考查了根的判别式，解题的关键是算出判别式的大小．8.已知a≠0，下列计算正确的是（
）
A.a 2+a 3＝a 5
B.a 2•a 3＝a 6
C.a 3÷a 2＝a
D.（a 2）3＝a 5
【正确答案】C
【分析】选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．【详解】A 、a 2和a 3没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；B 、a 2•a 3＝a 5，原式计算错误，故本选项错误；C 、a 3÷a 2＝a ，计算正确，故本选项正确；D 、（a 2）3＝a 6，原式计算错误，故本选项错误．故选：C ．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
9.如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D 的旋转路径为 DG
，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（
）
A.
23
π
+ B.12
π+
C.
2
π D.
13
π+【正确答案】A
【详解】
由旋转得:AG=AD,AE=AB,∠AEF=∠B,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=2∠B=90°,∴∠AEF=90°∴AH=AG=2
∴AH=2AE
∴∠=
,
∵四边形AEFG 是矩形,
∴EF ∥AG,
∴∠GAH=∠AHE=30°
∴23021=+13602
S π⨯⨯阴影3=+32
π故选A
点睛;没有规则图形面积的求法一般用割补法或转化法来求，这道题就是把阴影部分分成一个扇形和一个规则三角形，利用相应的面积公式即可求解.
10.如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为（a ，b ）、（3，1）、（﹣a ，b ），则点D 的坐标为（）
A.（1，3）
B.（3，﹣1）
C.（﹣1，﹣3）
D.（﹣3，1）
【正确答案】D 【详解】∵A （a ，b ）,E （－a ，b ）,
∴A,E 关于y 轴对称
∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴y 轴过C,F
∴B,D 关于y 轴对称
∵B （3，1）
∴D （－3，1）
故选D.
解决点的坐标问题关键在于利用数形思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，
请把结果填在题中横线上．
11.分解因式：2242a a ++=_________．
【正确答案】2（a+1）2
【分析】
【详解】2242a a ++=2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12.已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
【正确答案】4
【详解】把数据从小到大排列为:2,2,4,5,6
中间的数是4,
∴中位数是4
故答案为:4
13.若关于x 的方程x 2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
【正确答案】5
【详解】∵关于x 的方程x 2＋mx ＋5＝0有一个根为1,
∴设另一根为m,
可得:15m ⨯=,
解得:m=5.
故答案为:5.
14.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =50°，则∠CAD =________．
【正确答案】40°
【详解】连接CD
，
则∠ADC =∠ABC =50°，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD =90°，
∴∠CAD +∠ADC =90°，
∴∠CAD =90°-∠ADC =90°-50°=40°，
故40°.
15.如图，在□ABCD 中，E、F 分别是AD、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为________
．
【正确答案】16
【详解】延长EF 交BC 的延长线与
H,
在平行四边形ABCD 中,
∵AD=BC,AD ∥BC
∴△DEF ∽△CHF,△DEM ∽△BHM ∴DE DF CH CF =,2()DEM BMH
S DE S BH ∆∆=∵F 是CD 的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E 是AD 中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵1
DEM S ∆=∴211()3
BMH S ∆=∴9
BMH S ∆=∴9
CFH BCFM S S ∆+=四边形∴9
DEF BCFM S S ∆+=四边形∴9
DME DFM BCFM S S S ∆∆++=四边形∴19
BCD S ∆+=∴8
BCD S ∆=∵四边形ABCD 是平行四边形
∴2816
ABCD S =⨯=四边形故答案为:16.
16.如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝k x
（x＞0）图像上两点，过A、B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD 交于点G．则四边形ACDG 的面积随着a 的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
【正确答案】增大
【详解】DC=a −1，AC=b，
则ACDG S 四边形=AC ⋅DC=(a −1)b=ab −b.
∵B(1,4)、A(a,b)在函数y=
k x
(x>0)的图象上，∴ab=k=4(常数).
∴ACDG S 四边形=AC ⋅DC=4−n，
∵当a>1时，b 随a 的增大而减小，
∴ACDG S 四边形=4−a 随a 的增大而增大.
17.二次函数y=a （x ﹣b ）2+c （a ＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是________．
【正确答案】b＞2【详解】∵二次函数y ＝a(x －b)2＋c （a ＜0）的图像点（1，1）和（3，3）
∴2(1)1
a b c -+=2(3)3
a b c -+=∴22(3)(1)2
a b b ⎡⎤---=⎣⎦2(42)2
a b -=(42)1
a b -=∵a<0
∴4-2b<0
b>2
18.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP 的最小值为_________．
－1
【详解】如图所示：
在△ABC 中，=90C ∠︒，AC=BC=1
45CAB CBA ∴∠=∠=︒
又∵∠PAB=∠PBC
45PAB PBA ∴∠+∠=︒
∴∠APB=135°
∴点P 在以AB 为弦的⊙O 上,
∵∠APB=135°
∴∠AOB=90°
45OAB OBA ∴∠=∠=︒
90CAO ∴∠=︒
∴四边形ACBO 为矩形
OA OB
= ∴四边形AOBC 为正方形
1
OA OB ∴==12
OP OC ∴==，当点O 、P 、C 在一条直线上时，PC 有最小值
∴PC 的最小值2-1．2-1．
三、解答题（共10小题）
19.计算:021
1
20172(3)(4-----.
【正确答案】-2
【详解】分析：利用零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，依次计算即可.详解：
1
01201724-⎛⎫--+
- ⎪⎝⎭=1-2+3-4=-2
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是熟记零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，灵活计算即可.
20.解没有等式组513(1)2151132x x x x -<+⎧⎪-+⎨-⎪⎩，并把它们的解集表示在数轴上．【正确答案】12x -≤<，数轴见解析
【分析】分别求出两个没有等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
【详解】解：()5131215113
2x x x x ⎧-<+⎪⎨-+-⎪⎩①②，解没有等式①得，2x <
，解没有等式②得，1x -，
在数轴上表示如下：
所以没有等式组的解集为：12x -<．
本题主要考查了一元没有等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求解．求没有等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到（无解）．
21.先化简，再求值：(
b b a b a b ++-)÷22
a a b
-．其中2017,a b ==
【详解】分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号内的式子通分后再加减，然后再算除法，化简后再代入求值.
详解：原式＝()()()()b a b a b b a b a b a b a a b a
+-+-⋅++-22
()()b a b b a b a a
ab b ab b a -+=
+-++=＝2b
当2017,a b ==
.
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22.一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
【正确答案】（1）12；（2）1
6
【详解】试题分析：（1）直接根据概率的概念求解；
（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．
试题解析：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为A)的结果有2种，
所以P(A)＝24＝12
．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为B)的结果只有1种，所以P(B)＝16
．点睛:用列举法计算概率时,要注意求出发生情况的数目及其中一个发生的数目,而且每一种情况发生的可能性都相同,需要操作即可完成的,用概率公式来求解;需要两次或两次以上的操作完成的,先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况,再利用概率计算公式求解.
23.某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为°；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
【正确答案】（1）4；（2）36；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）125%4
÷=
（2）
0.8
125%20%25%10%
4
----=，10%36036
⨯︒=︒
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；补全条形统计图如图：
答：C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF．
△≌△；
（1）求证：ABE AD F'
（2）连接CF，判断四边形AECF是没有是平行四边形？证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则
∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断
△ABE≌△AD′F；
（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，∵AD ∥BC ，∴∠AFE=∠CEF ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AE=AF ，∴AF=CE ，∴AD-AF=BC-CE ，∴DF=BE ，∴BE=FD′，
在△ABE 和△AD′F 中，
===AB AD AE AF BE D F ⎧''⎪
⎨⎪⎩
，∴△ABE ≌△AD′F （SSS ）；（2）四边形AECF 是平行四边形．证明：由折叠可知：AE=EC ，∠4=∠5．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE ．∵AE=EC ，∴AF=EC ．又∵AF ∥EC ，
∴四边形AECF
是平行四边形．
此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．
25.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k
x的图象交于点
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=k
x的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐
标．
【正确答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣1
2
）、（4，
1
2
）、（﹣
2，﹣1）或（2，1）
【详解】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性，点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设
出点C的坐标为（n，2
n），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率
之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.
详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O对称，且，∴
设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2=
2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=k
x中得：2=1
k
，解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，2 n），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，
2
2
22
111
n
n
--
--
⋅
----
=﹣1，即n2+5n+4，
解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣12）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，
22
22
111
n
n
-
--
⋅
---
=﹣1，即n2﹣5n+4=0，
解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，12）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，
22
22
11
n n
n n
---
⋅
---
=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐
标为（﹣4，﹣1
2
）、（4，
1
2
）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
点睛：此题考查了正比列函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E 为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E 的半径为20；②IE 130
【分析】（1）证明△CDE ∽△CAB ，得∠EDC=∠A=90°，所以AC 是⊙E 的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED ，设⊙E 的半径为r ，表示BH 和EC 的长，证明△BHE ∽△EDC ，
列比例式代入r 可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME ，分别求IM 和ME 的值，利用勾股定理可求IE 的长．【详解】（1）∵CD•BC=AC•CE ，∴
=CD CE
AC CB
，∵∠DCE=∠ACB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴∠EDC=∠A=90°，∴ED ⊥AC ，∵点D 在⊙E 上，∴AC 是⊙E 的切线；
（2）①如图1，过E 作EH ⊥AB 于H ，
∴BH=FH ，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，∴四边形AHED 是矩形，
∴ED=AH ，ED ∥AB ，∴∠B=∠DEC ，
设⊙E 的半径为r ，则EB=ED=EG=r ，∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，EC=EG+CG=r+5，在△BHE 和△EDC 中，
∵∠B=∠DEC ，∠BHE=∠EDC=90°，∴△BHE ∽△EDC ，∴
BH BE ED EC ＝，即4=5
r r
r r -+，∴r=20，
∴⊙E 的半径为20；
②如图2，过I 作IM ⊥BC 于M ，过I 作IJ ⊥AB 于J ，
由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36，BC=2r+5=2×20+5=45，
∴，∵I 是Rt △ABC 的内心，∴IM=
+-36+27-45
22
AB AC BC ==9，
∴AJ=IM=9，∴BJ=BM=36-9=27，∴EM=27-20=7，
在Rt △IME 中，由勾股定理得：27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
4y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于
A （﹣2，0）、
B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的值及此时点P 的坐标．【正确答案】（1）213442y x x =
--；（2）E 的坐标为85-5-（0，﹣4）、1125
4
-；（3）28924
，173161
36-．【详解】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC 的解析式为142y x =-，则可设E （m ，1
42
m -），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD 的面积BOC PFD S S S S ∆∆=--梯形即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴4240{64840a b a b --=+-=，解得：14{32
a b =
=-
，∴该二次函数的解析式为213442
y x x =--；
（2）由二次函数213
442
y x x =
--可知对称轴x=3，∴D （3，0），∵C （8，0），∴CD=5，由二次函数213
442
y x x =--可知B （0，﹣4），设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴80{4k b b +==-，
解得：1{24
k b ==-，∴直线BC 的解析式为142y x =-，设E （m ，1
42
m -）
，当DC=CE 时，2
2
221
(8)(4)2
ED m m CD =-+-=，即2
22
1(8)(4)52
m m -+-=
，解得18m =-
，28m =+（舍去）
，∴
E 8
-；当DC=DE 时，22221(3)(4)2ED m m CD =-+-=，即222
1(3)(4)52
m m -+-=，解得30m =，
48m =（舍去），∴E （0，﹣4）；
当EC=DE 时，2
2
2
2
1
1(8)(4)(3)(4)22m m m m -+-=-+-，解得5m =
112，∴E
1125
4
-．综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E
的坐标为8
-（0，﹣4）、
1125
4
-；（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P
点的纵坐标为：
，
∵△PBD 的面积BOD PFD S S S S ∆∆=--梯形=
221131131[4(4)](3)[(4)]342422422m m m m m m ---------⨯⨯=231784m m -+=2317289()8
324
m --+，∴当m=
173时，△PBD 的面积为289
24
，∴点P 的坐标为17316136-．
考点：二次函数综合题．
28.如图，A （-5，0），B （-3，0），点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO =45°，CD ∥AB ．∠CDA =90°．点P 从点Q （4，0）出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t 秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【正确答案】（1）C(0,3)；（2）t的值为33（3）t的值为1或4或5.6.
【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP 求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且
PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【详解】（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO t
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=CO3
此时，t3
∴t的值为33
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
2023-2024学年湖北省宜昌市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.﹣2的相反数是（）
C.﹣2
D.以上都没A.2 B.1
2
有对
2.在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，
小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（）
A.黑桃Q
B.梅花2
C.梅花6
D.方块9
3.用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是
（）
A. B. C. D.
4.地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）
A.0.51×109
B.5.1×108
C.5.1×109
D.51×107
5.如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交
于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（）
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
6.下列运算，结果正确的是（）
A.a3a2=a6
B.（2a2）2=24
C.（x3）3=x6
D.（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
7.某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A.八（2）班的总分高于八（1）班
B.八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C.八（2）班的成绩集中在中上游
D.两个班的分在八（2）班
8.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（）
A.当m=-3时，函数图象的顶点坐标是1 3 8 3
B.当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2
C.当m≠0时，函数图象同一个点
D.当m<0时，函数在x>1
4时，y随x的增大而减小
9.没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是()
A.4
9 B.
5
9 C.
1
2
D.
2
3
10.如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11.随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
12.关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13.如图，在 ABCD中，AM=
1
3AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
14.如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
15.如图，在菱形ABCD中，10
AB=，16
AC=，点M是对角线AC上的一个动点，过点M 作PQ AC
⊥交AB于点P，交AD于点Q，将APQ
沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当BCE
是等腰三角形时，AP的长为________．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16.先化简，再求值：
（22
3x y
x y +-﹣222x x y -）÷22x y x y xy +-，其中2+1，2﹣1．17.全民健身运动已成为一种时尚，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，运动形式A
B
C
D
E
人数
1230
m
549
请你根据以上信息，回答下列问题:
()1接受问卷的共有
人，图表中的m =
，
n =
.
()2统计图中，A 类所对应的扇形的圆心角的度数是
度.
()3揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有1500人，
请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
18.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：AD=AF ；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是矩形．并说明理由．
19.如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
20.如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
21.某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购。