原子物理 第二章

第二章 原子的能级和辐射
一、学习要点：
1.氢原子光谱：线状谱、可分为若干线系，常见五个线系（记住名称、顺序）。

广义巴尔末公式)11(~22n
m R -=ν、光谱项()2n
R n T =、并合原则：)()(~n T m T -=ν 2.玻尔氢原子理论：
(1)玻尔三条基本假设的实验基础和内容（记熟）
实验基础：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧氢原子光谱爱因斯坦光量子光电效应普朗克能量子黑体辐射-- 三条假设：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=π
πνϕϕ2h n P 2h P 3E E h E E 2......E E 1j i ij j i 21的整数倍，即等于—电子的角动量—能轨道下列条件的轨道才是可，只有满足电子在绕原子核运动中、角动量量子化条件：系：射，其频率满足如下关子形式发射单色辐的另一定态时，才以光具有较低能量的定态跃迁到子从具有较高能量、频率条件：只有当原会发生辐射。

电子虽有加速度，也不，相对应，在这些定态下、这些定态各与一定能量定状态，存在一系列不连续的稳、定态假设：原子只能
(2)圆轨道理论（会推导）：氢原子中假设原子核静止，电子绕核作匀速率圆周运动
022002
0222
0A 529,04,Z Z 4≈===e m a n a n e m r e e n πεπε;
13714,Z Z 40202
≈===c e n c n c e n πεααπευ； ()n hcT n hc R n e m E e n -=-=-=∞22
224220Z 2Z )41( πε，
n ＝１.2.3……
(3)实验验证：
（a ）氢原子五个线系的形成
)11(Z ~,)4(222232042n m R c h e m R e -==∞∞νπεπ (会推导）
非量子化轨道跃迁 )(2
12n E E mv h -+=∞ν （b ）夫－赫实验：装置、.结果及分析；原子的电离电势、激发电势
3.类氢离子（+++Li ,He ,正电子偶素.-μ原子等）
(1) He +
光谱:毕克林系的发现、波数公式、与氢原子巴耳末系的异同等
(2)理论处理（会推导）：计及原子核的运动，电子和原子核绕共同质心作匀速率圆周运动
e
e m M m M +⋅=μ, 正负电荷中心之距Z e n r n 22204μπε =. 能量2242202Z )41(n e E
n μπε-=，里德伯常数变化M m R R e A +=∞11
重氢（氘）的发现
4.椭圆轨道理论
索末菲量子化条件
,q q pdq n h n =⎰ 为整数 a n n b n e
m a n e m E n p e n ϕϕϕπεπε==-==,Z 4,2Z )41(,2220224220 ，n n n ,,3,2,1;,3,2,1 ==ϕ
n 一定，n E 一定，长半轴一定，有n 个短半
轴，有n 个椭圆轨道（状态），即n
E 为n 度简并。

5空间量子化：(1)旧量子论中的三个量子
数n ,m n n =ψ
ϕ,的名称、取值范围、物理量表达式、几何参量表达式
(2)空间量子化（ϕP 空间取向）、电子的
轨道磁矩（旧量子论）、斯特恩—盖拉赫实验
6．玻尔对应原理及玻尔理论的地位
二、作业
1．褚
书P76--77 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
三、练习
1．选择题
(1)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：
A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2
D .n
(2)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：
A.R/4 和R/9
B.R 和R/4
C.4/R 和9/R
D.1/R 和4/R
(3)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：
A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e
(4)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：
A．13.6V和10.2V; B –13.6V和
-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V 和-3.4V
(5)由玻尔氢原子理论得出的第一玻尔
半径
a的数值是：
A.5.291010-⨯m
B.0.529×10-10m
C.
5.29×10-12m D.529×10-12m
(6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：
A.可能出现10条谱线，分别属四个线系
B.可能出现9条谱线，分别属3个线系
C.可能出现11条谱线，分别属5个线系
D.可能出现1条谱线，属赖曼系
(7)欲使处于基态的氢原子发出αH线，则至少需提供多少能量（eV）?
A.13.6
B.12.09
C.10.2
D.3.4
(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？
A.1
B.6
C.4
D.3
(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为:
A .0.66 eV B.12.09eV
C.10.2eV
D.12.57eV
(10)用能量为12.7eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）；
A.3
B.10
C.1
D.4
(11)有速度为1.875m/s
106
的自由电子被一质子俘获,放出一个光子而形成基态氢原子,则光子的频率（Hz）为:
A．3.3⨯1015； B.2.4⨯1015；
C.5.7⨯1015；
D.2.1⨯1016.
(12)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：
A.1/10倍
B.1/100倍 C .1/137倍
D.1/237倍
(13)玻尔磁子
μ为多少焦耳／特斯拉？
B
A．0.92719
⨯ C.
10-
10-
⨯ B.0.92721
0.92723
10-
10-
⨯
⨯ D .0.92725
（14）已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的―正电子素‖那么该―正电子素‖由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：
A．3
R/8 B.3∞R/4 C.8/3∞R
∞
D.4/3
R
∞
(15)象μ-子（带有一个单位负电荷）通
过物质时，有些在核附近的轨道上将被俘获而形成μ-原子，那么μ-原子基态轨道半径与相应的电子轨道半径之比为（μ-子的质量为m=206m e）
A.1/206
B.1/(206)2
C.206
D.2062
(16)电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：
A.-3.4eV
B.+3.4eV
C.+6.8eV
D.-6.8eV
(17)根据玻尔理论可知，氦离子H e+的第一轨道半径是：
A．20a B. 40a C. 0a/2
D. 0a/4
(18)一次电离的氦离子H e+处于第一激发态（n=2）时电子的轨道半径为：
A.0.53⨯10-10m
B.1.06⨯10-10m
C.2.12⨯10-10m
D.0.26⨯10-10m
(19)假设氦原子（Z=2）的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以eV为单位至少需提供的能量为：
A．54.4 B.-54.4 C.13.6 D.3.4
(20）在H e+离子中基态电子的结合能是：
A.27.2eV
B.54.4eV
C.19.77eV
D.24.17eV
(21)夫—赫实验的结果表明：
A电子自旋的存在；B原子能量量子化C原子具有磁性；D原子角动量量子化
(22）夫—赫实验使用的充气三极管是在：
A.相对阴极来说板极上加正向电压,栅
极上加负电压；
B.板极相对栅极是负电压,栅极相对阴极是正电压；
C.板极相对栅极是正电压,栅极相对阴极是负电压；
D.相对阴极来说板极加负电压,栅极加正电压
(23）处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后,其轨道半径增为原来的
A．4倍 B.3倍 C.9倍D.16倍
(24）氢原子处于基态吸收1 =1026Å的光子后电子的轨道磁矩为原来的（）倍：A．3； B. 2； C.不变； D.9
2．简答题
（1）19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？（1999长春光机所）
（2）用简要的语言叙述玻尔理论，并根据你的叙述导出氢原子基态能量表达式.（1998南开大学）
（3）写出下列物理量的符号及其推荐值（用国际单位制）：真空的光速、普朗克常数、玻尔半径、玻尔磁子、玻尔兹曼常数、万有引力恒量. （2000南开大学）
181099792458.2-⋅⨯=秒米c
秒焦耳⋅⨯=-34106262.6h
米10-010529.0a ⨯=
124B 1027.9--⋅⨯=特斯拉焦耳μ
1231038.1k --⋅⨯=开焦耳
22111067.6G --⋅⋅⨯=千克米牛顿
（4）解释下列概念：光谱项、定态、
简并、电子的轨道磁矩、对应原理.
（5）简述玻尔对原子结构的理论的贡献和玻尔理论的地位与不足.
3．计算题
(1)单色光照射使处于基态的氢原子激发,受激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出10条谱线.问:①入射光的能量为多少？②其中波长最长的一条谱线的波长为多少？（hc=12400eV·Å）
(2)已知一对正负电子绕共同质心转动会形成类似氢原子结构-正电子素.试求：
①正电子素处于基态时正负电子间的距离；
②n=5时正电子素的电离能（已知玻尔
半径
a=0.529Å）.
(3)不计电子自旋当电子在垂直于均匀磁场B
的平面内运动时,试用玻尔理论求电子动态轨道半径和能级（提示：
B v m E e n ⋅-=ϕμ221 ; n m e 2 =ϕμ n p =ϕ）
解：
2e e
e e e m m m m m =+=μ 20022n a a Z
m n r e n ==μ
A
a r 06.1201== 21n
hc R E A n -= 2
∞∞==R R m R e A μ
(4)氢原子巴尔末系的第一条谱线与He +
离子毕克林系的第二条谱线(6→4)两者之间的波长差是多少?(R H =1.09678×10-3 Å,
R He =1.09722×10-3 Å)
(5)设氢原子光谱的巴耳末系的第一条
谱线αH 的波长为α
λ,第二条谱线βH 的波长为βλ,试证明:帕邢系的第一条谱线的波长为
βαβαλλλλλ-=.(2000.上海大学)
λλλλλβαβα=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-22222222224131R 13121R 4121R 1412
1R 13121R 1412
1R 1
3121R 1 (6)一个光子电离处于基态的氢原子,被电离的自由电子又被氦原子核俘获,形成处于2=n 能级的氦离子He +
,同时放出波长为500nm 的光子,求原入射光子的能量和自由电子的动能,并用能级图表示整个过程.(1997北京师大)
eV h E ke 6.131-=ν
eV eV RhcZ E He 8.4036.132********=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=∆ eV
eV eV eV eV hc
E h E E He He ke 28.4348.28.405000124008.40212212=+=+=+∆=+∆=λν
eV eV E h ke 88.566.131=+=ν (7)在天文上可观察到氢原子高激发态之间的跃迁,如108=n 与109=n 之间,请计算此跃迁的波长和频率. (1997.中科院)
.089Hz
5148702392138579984
29979245821710967758c ~05823.010967758
217138579984~1138579984217)109
11081(~22=⨯⨯===⨯===-=νννλν米R R (8) He +
离子毕克林系的第一条谱线的波长与氢原子的巴耳末系αH 线相近. 为使基态的He +
离子激发并发出这条谱线,必须至少用多大的动能的电子去轰击它?(2001.中
科院)
222221hcZ )11(Z ~n
R E n m R He n He -=-=ν
He +
离子毕克林系的第一条谱线:n=6—m=4
eV eV hc R E He 89.15762046.13)361161(4=⨯⨯=-⨯=∆ (9)试用光谱的精细结构常数表示处于基态的氢原子中电子的速度、轨道半径、氢原子的电离电势和里德伯常数. (1999.中科院)
解:c v α=1, c m h r e απ21=, e c m V e 22α=∞, h
c m R e 2α= (10)计算氢原子中电子从量子数为n 的状态跃迁到1-n 的状态时所发出谱线的频率. (2001.中科院固体所) 解：2222)1n (n 12n Rc n 11)-(n 1Rc --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=ν
当1n >>时，3n
2Rc =ν
习题解答
2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。

根据量子化条件，
πφ2h
n mvr p ==
可得：频率 21211222ma h ma nh a v πππν===
赫兹
151058.6⨯=
速度：61110188.2/2⨯===ma h a v νπ米/秒 加速度：2
22122/10046.9//秒米⨯===a v r v w 2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基
态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级
公式2/n Rhc E n -=代入，得：Rhc hc R E H i =∞-=)11
1(2=13.60电子伏特。

电离电势：60.13==e E
V i
i
伏特 第一激发能：
20.1060.134343)2111(22=⨯==-=Rhc hc R E H i 电子
伏特 第一激发电势：20.101
1
==e E
V 伏特 2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？
解：把氢原子有基态激发到你
n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
)111(22n
hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特 2.10)211(6.1321=-⨯=E 电子伏特
1.12)31
1(6.1322=-
⨯=E 电子伏特 8.12)41
1(6.132
3=-
⨯=E 电子伏特
其中2
1
E E 和小于12.5电子伏特，3
E 大于12.5电
子伏特。

可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。

跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
ο
ο
ο
λλλλλλA
R R A R R A R R H
H H H H H 102598
)3111(
1121543)2
111(
1
656536/5)3
121(
1
32
23
22
22
1221
==-===-===-=
2.4 试估算一次电离的氦离子+
e
H 、二次
电离的锂离子+i
L 的第一玻尔轨道半径、电离
电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。

a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：
3
1,2132,1,10529177.0443,2,1,4410
2
22012
12
2220=
======⨯==⋯⋯===++++++
++-Li H H Li H H H He Z Z r r Z Z r r Z Li Z H Z H Z me
h a n Z n a mZe
n h r e
径之比是因此，玻尔第一轨道半；
，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππε
b) 氢和类氢离子的能量公式：
⋯⋯=⋅=-=3,2,1,)4(222
12
220242n n
Z E h n Z me E πεπ 其中
基态能量。

电子伏特，是氢原子的6.13)4(22
204
21-≈-=h
me E πεπ
电离能之比：
9
00,4002
222==
--==--+
++
++
H
Li H
Li H
He
H
He Z
Z E E Z Z E E
c) 第一激发能之比：
91
12113234112112222
2
1221221221121
22
2
1221221221121
2=--=--=--=--E E E E E E E E E E E E E E E E H H Li Li H H He He
d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：
)
11(~22
221n n R Z v -=，⋯⋯=⋯⋯++=3,2,111
1
2
)2(),1({n n n n
其中
3
204
2)4(2h me R πεπ=
是里德伯常数。

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
H H R v λ
1)2111(~221=-=
相应地，对类氢离子有：
++++++=-==-=Li Li He He R v R v 1
222112221
1)2111(3~1)2111(2~λλ
因此，
91
,41111
1==+
++H
Li H H e λλλλ
2.5 试问二次电离的锂离子+
+i
L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可
能使处于基态的一次电离的氦粒子+e
H 的电
子电离掉？
解：++i
L 由第一激发态向基态跃迁时发出
的光子的能量为：
+
e H 的电离能量为：
Li
He
He Li He Li He
He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1
1
1(42++⋅
===∞-=++++
由于Li
H e Li H e
M m M m M M
/1/1,+>+<所以，
从而有+
+
+>He Li hv hv
，所以能将+e
H 的电子电离掉。

2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。

试问其巴耳末系的第一条（α
H ）光谱线之间
的波长差λ∆有多大？已知氢的里德伯常数
1
7100967758.1-⨯=米H R ，氘的里德伯常数1
7100970742.1-⨯=米D
R。

解：)3
1
21(
1
22-=H H
R λ，H
H
R 5/36=λ
)3121(
1
2
2-=D D
R λ，D
D
R 5/36=λ
ο
λλλA
R R D
H D H 79.1)11(536=-=-=∆
2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的―正电子素‖。

试计算―正电子素‖由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少ο
A ？
解：R m
m
R R e e 8
34311)2
1
11(122=∙
+=-=∞-
+λ
ολA
R 243010973731
31
38=⨯==∞米
2.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率n
ν。

当n>>1
时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁
到n 轨道所发光子的波数为：])
1(11[1~2
2
+-==n n R v
n
n
λ
频率为：Rc n n n n n Rc c
v
n
2
222)1(12])1(11[
++=+-==
λ
当n>>时，有3
42
2
/2/2)
1(/)12(n n n n n n =≈++，所以
在n>>1时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的频率为：3
/2n Rc v
n
=。

设电子在第n 轨道上的转动频率为n
f ，则
3
222222n Rc mr P mr mvr r v f n =
==
πππ
因此，在n>>1时，有n
n
f v
=
由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

这说明，在n 很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。

2.9 Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
2
2)0401.0()5951.01(~--
+=n R
R v。

已知锂原子电离成+++Li 离子
需要203.44电子伏特的功。

问如把+
Li 离子电离成+
+Li 离子，需要多少电子伏特的功？
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。

锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p 能级向基态跃迁而产生的。

一次电离能对应于主线系的系限能量，所以
+
Li 离子电离成+
+Li 离子时，有
电子伏特35.5)
5951.01()5951.01(2
21=+≈∞-+=
∞hc R Rhc
Rhc E
+
+Li 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因
此+
+++
+→Li Li
时，电离能3
E 为：
电子伏特4.1221
22
23=≈=∞hc R Z Rhc Z E R。

设+
++
→Li Li
的电离能为2
E 。

而+
++→Li Li 需要的总能
量是E=203.44电子伏特，所以有电子伏特7.753
1
2
=--=E E E E
2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁
场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？
答：设原子的磁矩为μ，磁场沿Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z
μ，于是
具有磁矩的原子在磁场中所受的力为
Z
B F Z
∂∂=μ，其中Z
B
∂∂是磁场沿Z 方向的梯度。

对均匀磁场，0=∂∂Z
B
，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。

对于非均磁
场，0≠∂∂Z
B
原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。

2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的
梯度为3
10=∂∂Z
B
特斯拉/米，磁极纵向范围1
L =0.04
米(见图2-2)，从磁极到屏距离2
L =0.10米，
原子的速度2
105⨯=v 米/秒。

在屏上两束分开的
距离002.0=d 米。

试确定原子磁矩在磁场方向上投影μ的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。

解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。

其轨道为抛物线；在2
L 区域粒子不受力作惯性运动。

经磁场区
域1
L 后向外射出时粒子的速度为'
v ，出射方向
与入射方向间的夹角为θ。

θ与速度间的关系为：v v tg ⊥
=θ
粒子经过磁场1
L 出射时偏离入射方向的
距离S 为：
Z
v
L Z B m S μ2
1)(21∂∂=
(1)
将上式中用已知量表示出来变可以求出Z
μ
2212
2
121
12'2'/,,v L L Z B m d S d S v L L Z B m tg L S v
L Z B m v v L t Z B m m f a at v Z
Z
Z
∂∂-=-=∂∂==∂∂=∴=∂∂==
=⊥⊥μμθμμ
把S 代入（1）式中，得：
2
2
1
22122v L Z B m v L L Z B m d Z Z ∂∂=∂∂-μμ
整理，得：2
)2(2
2
1
2
1
d L L v L Z B m Z
=+∂∂μ 由此得：特
焦耳/1093.023-⨯=Z
μ
2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。

若已知原子束中原子速度秒米/103
=v ，在沿粒子束方
向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。

试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。

解：设沿粒子束上某点A 和距这点的
距离S=1.5毫米的 B 点，共振谱线强度分别为1
0I I 和，并设粒子束在A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为20
N ，原子束经过t 时间间隔从A 到达B 点，在B 点处于激发态的粒子数为2
N 。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。

设发射共振谱线的跃迁几率为21A ，则有202202122101
N N N A N A I I =∝ 适当选取单位，使32.3/120201==N N I I
， 并注意到
v S t e N N t A /,21202==-而， 则有：32.3/121202
==-t A e N N
由此求得：
秒633
21211025.132
.3ln 10105.132.3ln 132.3ln )1ln 32.3(ln 1--⨯=⨯⨯====-=v s A t s
v t A。