高中数学必修1同步优化训练综合测试卷A卷(附答案)

高中同步测控优化训练(七)
综合测试卷(A 卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知A ={x |y =x ,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于 A.{x |x ∈R } B.{y |y ≥0} C.{(0,0),(1,1)} D.∅
解析:∵集合A 代表函数y =x 的定义域，∴A =R ;∵集合B 代表函数y =x 2的值域， ∴B ={y |y ≥0}.∴A ∩B ={y |y ≥0}. 答案:B
2.方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于 A.21 B.8 C.6 D.7 解析:由题意可知,2是方程x 2-px +6=0且x 2+6x -q =0的根, 所以22-2p +6=0,22+6×2-q =0. 解得p =5,q =16. 于是p +q =5+16=21. 答案:A
3.条件“
x
1
<1”是条件“x >1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
x 1<1x
x
-1<0x >1或x <0,所以
x
1<1x >1;但x >1
x 1<1,所以"x
1
<1"是"x >1"的必要不充分条件.
答案:B
4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是 A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞)
解析:由-
2
)
1(2-a ≥-4,得a ≤5. 答案:C
5.对于任意x ∈R ,都有f (x +1)=2f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x (1-x ),则f (－1.5)的值是
A.
41 B.
81 C.16
1
D.-4
15
解析:令x =－1.5,由f (x +1)=2f (x )得f (－1.5)=2
1
f (-0.5). 令x =-0.5,由f (x +1)=2f (x )得f (-0.5)=
2
1
f (0.5).
∴f (－1.5)=21f (-0.5)=41f (0.5)=41［0.5(1-0.5)］=16
1. 答案:C
6.已知集合A 到集合B ={0，1，
21，31}的映射f :x →1
1
-x ,那么集合A 中的元素最多有 A.3个 B.4个 C.5个
D.6个
解析:∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有象. ∵
1
1
-x ≠0，∴0在A 中不存在原象. 当
1
1
-x =1时，解得x =±2, ∴±2可作1的原象; 当
11
-x =2
1时，解得x =±3, ∴±3可作
2
1
的原象; 当
11
-x =3
1时，解得x =±4, ∴±4可作
3
1
的原象. 故A 中的元素最多能有6个. 答案:D
7.已知函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象如下图所示，则b 的取值范围是
A.b >0
B.b <0
C.b <－1
D.-2<b <－1
解析:由图象得f (0)=1,即c =1. 由f (2)=0,得4a +2b +1=0. 对称轴-a
b
2<2,a >0, ∴-b <4a =-2b －1b<－1. 答案:C
8.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折 优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是
A.413.7元
B.513.7元
C.546.6元
D.548.7元
解析:购物超过200元，至少付款200×0.9=180(元)，超过500元，至少付款500×0.9=450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总额是168+
9
.0423
=168+470=638(元). 若一次购物，应付500×0.9+138×0.7=546.6(元). 答案:C
9.若函数y =f (x )存在反函数y =f －
1(x ),则下列命题中不正确的是
A.若f (x )=f －
1(x ),则函数y =f (x )的图象关于y =x 对称
B.函数y =f (x )的图象与直线y =x 相交，则交点一定在它的反函数的图象上
C.若函数y =f (x )是(-∞,+∞)上的减函数，则其反函数y =f －
1(x )也是(-∞,+∞)上的减函数 D.函数值域中的每一个值都有原象
解析:原函数y =f (x )是(-∞,+∞)上的减函数，则其反函数y =f －
1(x )是原函数值域上的减函数.因为y =f (x )的值域未必是(-∞,+∞),故C 不正确.
答案:C
10.已知f (x )=3ax +1-2a 在(－1，1)上存在x 0,使得f (x 0)=0,则a 的取值范围是
A.－1<a <5
1 B.a >
5
1 C.a >
5
1
或a <－1
D.a <－1
解法一:f (x 0)=3ax 0+1-2a =0,显然a ≠0, ∴x 0=
a a 312-.由题意知－1<a a 322-<1,解得a >5
1
或a <－1. 解法二:当a =0时，f (x )=1,不合题意.当a ≠0时，问题转化为一次函数f (x )=3ax +1-2a 的图象在(－1，1)上与x 轴有交点，∴f (1)·f (－1)<0,即(a +1)(-5a +1)<0,解得a >
5
1
或a <－1. 答案:C
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.已知f (x )=x 2－1(x <0)，则f －
1(3)=_______.
解析:设f －
1(3)=x ,则f (x )=3,即x 2－1=3.
∴x =±2.∵x <0,∴x =-2.∴f －
1(3)=-2. 答案:-2
12.函数f (x )=1+x +
x
-31
的定义域是_________. 解析:要使函数有意义,只需⎩⎨
⎧≠-≥+0301x x ⎩⎨
⎧≠-≥.
3,
1x x
所以,这个函数的定义域是{x |x ≥－1,x ≠3}. 答案：{x |x ≥－1,x ≠3}
13.某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：
①前3年总产量增长速度增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是_______.
解析:由图分析，前3年总产量增长速度越来越快(曲线是下凸型)，3年后，已不再生产. 答案:①③
14.定义在R 上的函数f (x )满足关系式：f (21+x )+f (21-x )=2,则f (81)+f (82)+…+f (8
7
)的值为_______.
解析:分别令x =0,81,82,8
3
, 由f (
21+x )+f (21
-x )=2, 得f (21)+f (21)=2,f (85)+f (83)=2,f (86)+f (82)=2,f (87)+f (81)=2,
∴f (81)+f (82)+…+f (8
7
)=7.
答案:7
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)某热水贮存器的容量是200升,每分钟放水34升,供应热水的锅炉每t 分钟注入贮存器2t 2升热水.问贮存器的最小贮存量是多少?如果每人洗浴时用水65升,而贮存器水量达到最小值时放水自动停止,那么这个贮存器一次最多可供几人洗浴?
分析:贮存器内的水量由进水量与原有水量的和减去放水量而得到,求二次函数的最值可用配方法.
解:设贮存器内水量为y 升,则由题设有
y =2t 2-34t +200=2(t -
217)2+2
111. 所以当t =8.5时,贮存器内水量y 达到最小值,
此时放水停止.
总共实际放水为8.5×34=289(升). 又289÷65=4
65
29
,所以一次最多可供4人洗浴. 16.(本小题满分10分)求函数y =⎩⎨⎧<≥-0)
(x 1-2x 0)
(x 12x 的反函数.
解:当x ≥0时，y ≥－1, 由y =x 2－1,得x =
1+y (y ≥－1),
故y =x 2－1(x ≥0)的反函数是y =1+x (x ≥－1); 当x <0时，y <－1,
由y =2x
－1
得x =
2
1
(y +1)(y <－1), 故y =2x －1(x <0)的反函数是y =2
1
(x +1)(x <－1).
∴f －
1(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-1).( 2
1-1),( 1x x x x
17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=x 2-4ax +2a +30, (1)求对一切实数x ,f (x )的值均为非负实数的充要条件； (2)在(1)的条件下，求方程
3
+a x =|a －
1|+1的根的取值范围. 解:(1)依题意，f (x )≥0恒成立的充要条件是 Δ=(-4a )2-4(2a +30)=16a 2-8a －120≤0，解得-2
5
≤a ≤3即为所求. (2)依题意得x =(a +3)(|a －1|+1)=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤<-+≤≤-++-3)(1 49)23(),12
5(425)21(22a a a a 当-
25≤a ≤1时，49≤x ≤425;当1<a ≤3时，4<x ≤18.综合得4
9≤x ≤18. 18.(本小题满分12分)某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每
周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位)
解:设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元， 则f =4x +3y +2z ，
① ② ③
其中⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥=++=++,
60,0,0,120413121 ,360z y x z y x z y x
由①②可得y =360-3x ,z =2x ,
代入③得⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≥,602,03360,
0x x x 则有30≤x ≤120.
故f =4x +3(360-3x )+2·2x =1080-x , 当x =30时，f max =1080-30=1050. 此时y =360-3x =270,z =2x =60.
答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1050千元.
19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(4-3a )x 2-2x +a ,其中a ∈R ,求f (x )在［0，1］上的最 大值.
解:(1)当4-3a =0,即a =
34时，f (x )=-2x +3
4为减函数.所以，f (x )在［0，1］上的最大值为f (0)= 3
4
. (2)当4-3a ≠0，
即a ≠
34时，f (x )=(4-3a )(x -a 341-)2+a -a
341-,
此时函数图象的顶点坐标为(a 341-,a -a
341
-).
①当a >3
4
时，4-3a <0,f (x )的图象为开口向下的抛物线，且在［0，1］上递减，
∴［f (x )］max =f (0)=a ; ②当a ≤
32时,0<a 341-≤21,f (x )的图象开口向上且顶点横坐标在(0，2
1)内, ∴［f (x )］max =f (1)=2-2a ; ③当
32<a ≤1时,21< a 341-≤1,f (x )的图象开口向上且顶点横坐标在(2
1，1］内， ∴［f (x )］max =f (0)=a ; ④当1<a <
34时，a
341
->1,f (x )的图象开口向上，且f (x )在［0，1］上递减， ∴［f (x )］max =f (0)=a .。