(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题

1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（
D )
2
A.1
B.2
C. 2
A. 2
B. 2 2
C. 1
D.1
2
r r r
r r r r r r uu r r r 2
解析
Q a,b,c 是单位向量
a c ?
b
c ago (a b)gs c
r
r r _ r r r
1 |a
b|gc| 1 <2cos a
b,c 1
.2.
2.已知向量
a 2,1 ,a
b 10,|a
b| 5J2，则 |b|
(C )
A. .5
B. .10
C.5
D. 25
r r 宀 r 宀 r r r 宀
“ r
2 2 2 2
解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b |
|b| 5 故选 C.
3.平面向量a 与b 的夹角为600
, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )
A.、3
B. 2 3
C. 4
D.2
解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b
2^3
LUIU
uiuuuu ui
PC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -
5.
已知a 3,2 , b
1,0，向量
a b 与a
2b 垂直，则实
数
的值为
()
1 A.—
1 B.-
1 C.—
D.
1
7
7
6
6
uur
uur uuu UUJ uujr
uuu
6.
设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、
CA 、AB 上的点，且DC
2BD,CE
2EA, AF 2FB,
UJLT 则AD
UUU uuu uuu BE CF 与 BC
(A
)
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
(A )
4
4
4
4
A.
B.
c.
D.
9
3
3
9
uu 由AP
U
uu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C
2PM
则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PA
Lunn uur uuu uuu
2PM ，则 PA (PB PC)等于
uuruuu ui
uuu uuu AP (PB
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )
2
7
.
已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（a
c) (b c)
0,则 c 的最大
值
是(C )
3 4
uuu uuu uuur
8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）
则—的取值范围是
m
A .、3
B . 2.3
C .
6 D . 2、6
16.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr
-AB, AF
1 UULT
一
AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（
B ) A. uuir unr AO OD
unr uuir B. AO 2OD
uuir uuir
C. AO 3OD
uur unr D. 2AO OD 9•设a
5 ^2
（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,
且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)
2,
C .
D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数
f(x)
(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）
11.设两个向量a （ 2,
a
//
2
cos C . |a|
)和b
|b|
D . |a| |b|
m
m,—
2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,
A . [-6, 1]
B. [4,]
C. (-6, 1] D . [-1 , 6]
12.已知向量a
(1, n),
（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a
（C
13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,
F 列向量的数量积中最大的是
（
A. R
P
2 ,
R F 3
B. P 1P 2, P 1P
4
C. P 1P 2 , P 1 P 5
D.
P 1P 2 ,
P 1P
6
14.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝
y ( B )
A. a 丄 e
B. e 丄(a - e )
C.a 丄(a - e )
D.(a + e )丄(a - e )
15.已知向量 unr unr n uur
OA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,
3
luu r
|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |
uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG
34
2 r 1 r 2 r
A. a b
B. a
7 7 7 17.设向量a与b的夹角为
A」
10 B. 3b 7
3.10 10
C.
(2,1),
C.
1 r r 4 r
b D. a
7 7
2b (4,5)，则cos
D.
18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,
19.
20.
21.
22.
23.
24.
中
,
25.
7
等于D 则向量a与向量a 2b
的夹角等于（
5
A .
6
已知向量A. [0, .2]
已知单位向量A . 2.3
在厶ABC 已知向量已知向量
中
,
a
rOi
b
-r-
|b|
其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )
B.[0,1]
C.(0,2]
D.[0,2]
a,b的夹角为一，那么a2b
AR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U m
C
.
a和b的夹角为120 ,
B. 7
|a| 2，且(2a
OA
A. [0,4]
b) a，则|b |
(0,2),OB (2,0),BC
B .[冷
C 2 cos ,2 sin
C. [4,3T]
）,贝UOA与OC夹角的取值范
围是
（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC
若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（
B. 2
若四边形ABCD满足AB CD
c.
「uuu
0 , (AB
3
uiur uuir
AD) AC
D. 4
则该四边形一定是B
A.直角梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |
6
uuir D为BC边的中点，贝U | AD |
（乜,订| 2 ,在△ABC
中,
uu
u
AB
ir r uuur ir r
2m 2n，AC 2m 6n，
1
1
2
4
27. A . 2 uuu
|OA|
已知
A.3 B . uuu
,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOC
D . 8
uuur 30o ,设
OC uuu uuu mOA nOB (m, n
R),则
D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1
B. 3
45°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则
A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则
已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为
答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).
答案 8,2
b 的夹角为120 ,
答案
设向量 答案
若向量 答案
若向量 答案
uu
u
AB
60
若 c a (a 则5a b
b)b , 则|C|
uu ur 2, AC
uuu uur
3, AB AC | J 19,则
r r a
b
a 与
b 的夹角为60 , 1，则 a? a b
CAB
a,b 满足
2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于
uuu UULT LUU LUT UJU
9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形
状是 __________________________ .等腰三角形
答案 -25
10.不共线的向量
m^ , m 2的模都为2,若a
3m i
2m 2 , b 2mi 3m 2 ,
则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了
这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，
计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___
r r
12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),
贝y a b 的值为 ________ . 答案1
13、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,
则 AB BC BC CA CA AB 的值等于
y 轴平行的单位向量，若直角三角形
ABC 中,
uur r AB i
r uuur r r
j , AC 2i mj ,则实数 m=
答案 —2或0
三、解答题
r
r r r r r
1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,
r r
r r
(1 )求 a b 的值；
求a 与b 的夹
(3)求b 的值;
r r r r 心
解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2
「2
又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9
代入上式得64 4a b 27
61 a b
r r
r3b
14.在直角坐标系xOy 中,
i[j 分别是与x 轴,
艸(13
|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r
5 5
2’
uuur
uur uur
(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，
若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

(2) cos
a b -r r- |a||b|
r b
r b
r a 2
2
r a
2
r b
2
16 2 ( 2.( 1) |a| 3, |b| 4，且(a 2b)?(a 3b) 93,求向量a 与b 的夹角 a,b
uur
uuu uuur (2)设向量 OA ( 1, 2), OB (1,4),OC
捋亠"百"""2卄用此《切上”上丄珂亠_詁
I砂M 3«4 2
9 忒球,雀R一尢丫. . 2
<2>设在内H况上存在庖F.谡爸冠丄7S’
朋0^ = tCC■(比-4(), (0 < ^ < 1) ■■—| 讣
■超■(・：■鋼弓七4血P$・(1~2f*4十费)
ES 为巨3山而・fff is (-1 - 2f XI - zr) + ("2 + + 4J) * 0■讣”1 井
整理得20F十副=牛・o・if同孑弓扌岐匸口一盘(倉去鼻・・・・・・2脅
咖挣在盒尸(1.-：)足出博一
r r r
3.设向量a (4cos ,sin ), b (sin ,4cos ), c (cos , 4sin )
(1 )若a与b 2c垂直，求tan( )的值；
(2)求| b c| 的最大值; (3)若tan tan 16，求证：a // b . “〉由a^ib-le垂直:a (b- 1c)-a b-la c=0,
即4sini7z+ /?)-8cos(fZ+ /?) = 0, tan(u+ />) = 2；
(2) b+ C =(«iil/?+ Casi/?JCOS/? - 4[411 p\\
|帀十c|2-siD2X?^ 2siii^ tos/?十g*p+16cofti2P cos/jsiii/7 + 16ail2p = 17-30sin/?co«/? = l"-15sn2/?,霞大值为32所以| b + f的最尢值为伍・
⑶曲Mntzhm” = M 得an tzan p = 16cosacos p ,即
4 cos a4 cos /)- sin c/ sm /? = Q・所叹
艸(13
|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r
5
5
2’
4.已知向量a (sin , 2)与b (1,cos )互相垂直，其中
(。

2)-
(1)求sin 和cos 的值;
(2)若 sin( )
晋,0
，求cos 的值.
2
(1)
•/ a 与b 互相垂直，则a b sin 2 cos
0 ,即 sin 2cos ，代入
sin 2
cos 2
1 得 sin
2-5 ,cos
5
(0
,2)，
••• sin 2、5
,cos
(2)v 0
2’
则 cos( ) .1 sin 2()
3. 10
10 ，
5.已知向量 a (sin ,cos
2sin ), b (1,2).
从而 2sin 2 2(1 cos2 ) 4，即 sin2
cos2
1 ,
于是sin(2
-)
—•又由0
知
,
-2 — 9 ,
4
2
4 4
4 所以2
-
，或2
7 - •因此
或3
4 4
4
2
4
r
3 r
6、 已知向量a
(sin x,—),b 2 (cos
x,
1).
r r
(1 )当 a//b 时, 求 2cos x sin 2x 的值；
(2)求f(x) (a b) b 在 一,0上的值域.
2
解
(1)因为a//b ，所以2sin
cos 2sin , 于是4sin
cos ，故 tan
1 4
(2) r r
由 | a | | b | 知，sin 2
(cos 2
2sin )
5,
所以1 2sin 2
4si n 2 5.
(1)若a//b ，求tan 的值;
(2)若 |：| |b|,0 ,求的值。

f(x)
•••函数
f(x)的值域为
.2 1 2 ,2
(10 分)
uu uuu 3、、3,且AB BC uu
u uuu 6, AB 与BC 的夹角
为
(1)求的取值范围； (2) 求函数f( ) sin 2 2si n cos 3cos 2 的取大值
uuu uuu uuu uuuur 解 (1 )由题意知AB BC |AB| | BC |cos 6
1 uuju uuu 1 uu uuu 1 6 S -|AB||BC|si n(
)-|AB|
|BC|sin
2 2
2 cos
Q3 S 3.3,即 3 3tan 3.3
S
S 满足3 7、已知△ ABC 的面积 3tan
解(1) Q a ||b
, 3 cosx
2 sin x 0, • tanx ?
2 2cos 2 x sin
2cos 2 x 2 sin xcosx
2 2ta nx
(2) Q
(sin
f(x)
(a b) b
sin 2
x cos
x cosx,1
) 2 辽sin(2x 2
2
x
tan 2 x
20 13
(5分)
4)
2
,2 si n(2 -)
4
(I)求的取值范围； (n)求函数f () 2sin 2(—
) .3cos2的最大值和最小值
4
(II )若 a
b ，分别求tanx 及cos 2x 的值。

f x 1
f x 的最小正周期及单调递增区间;
(I )求函数 (I )解；
.3sin2x -2x 2
cos2x
—2k 6
2sin 2x
6
T
令2k
丁k
Z 得到的单调递增区间
为
k -
,k k Z
3
r r
a Pb,则 sin x 3cosx , cos x 0 tan x 3
(II ) cos2x 2 cos x ・2 sin x 1
tan 2 x 1 3 1
f x 1 2、3sin xcosx 2cos 2 x 2. 3 ta n x 2
2-3 .3 2
4
uur [.3, -5]，记AB 与AC 的夹角为 所以0 cos
1
—,又
(0,) [,]即为的取值范围；
2
3 2 (n
)f ()
2sin 2(—
)、3 cos2 2si n(2
) 1，因为 4
3
[
孑2]
-2 3 2
3
，所以
3 2 2sin(2 -) 1，因此 f( )max 3, f( )min .3 1 3 解(1)由余弦定理知：cos
2 1 2 4
4，又a
[3, . 5],
1 tan 3 又 Q [0,
(2) f ( ) sin 2
2sin
cos
[
4 3
]
3cos 2
2
1 sin
2 2cos 2 sin 2 cos2
Q [
4,3]，2 4 [34
11 12
&已知向量a
sin x,cos x , b
.3 cos x,cos x 且b 0 ,函数f X 2a b
2.3sinxcosx 2cos 2x 1 .3sin2x
m
uu
uu A B 1, A C 2, B C
2229、在ABC 中,
4
10 .已知锐角厶ABC 三个内角分别为A, B,C 向量p (2 2si nA,cosA si nA)与
q (si nA cos 代1 si nA)是共线向量.
(1 )求 A 的值；
C 3B
(2)求函数y=2sin 2B cos
的值域.
2
u r
解：(1)v p , q 共线，
3
/• (2 — 2sin A)(1 + sin A) = (cos A + sin A)(si n A — cos A), /• sin 2A =-分
4 又厶ABC 为锐角三角形sin A = ±3,.・.A =
2
3
(n —n — B)— 3B 2 C — 3B 2 ( n 3 }
(2) y = 2sin 2
B + cos
= 2sin 2B + cos --------
=2si n 2B + cosg — 2B)= 1 — cos 2B + ^cos 2B + g's in 2B 3 1 n
=—sin 2B — ?cos 2B + 1 = sin(2B — + 1.
n n n n
••• B € (0,动，又因为 B +A >2 .6<B <2
n, z n 5 n
3
.
2B -(
6,石)..(2
,2
]
1
11.设向量 a (1,cos2 ),b
(2,1), c (4sin ,1), d
(?sin ,1)，其中
(1)求a b c d 的取值范围;
(2)若函数f(x) | x 11,比较f (a b)与f (c d)的大小 r r r u 解(1)： a b 2 cos2 , c d 2sin 2
1 2 cos2 ,
r r r u
.a b c d 2cos2 ,
°
,••• °
2
° 2cos2 2,
4 2
r r r u
• a b c d 的取值范围是(0, 2)。

2
cos2 1| |1 cos2 | 2cos ,
1| |1 cos2 | 2sin 2 ,
2(cos 2 sin 2 ) 2cos2 , r r r u
2
,• 2cos2 0, • f(a b) f(c d)
2
(
°,；)
.
(2)v f(a b) |2
r ur
f(c d) 12 cos 2
r r r ur
• f (a b) f (c d)
sin(2x 4。