安徽省江淮十校2020届高三数学上学期第一次联考试题理(含解析)

学霸学习提醒
一、课本是最好的老师。

要注重基础，反复研读课本，巩固基础知识。

二、要养成良好的学习习惯。

良好的学习习惯是高效率掌握知识的保障。

三、要保持良好的学习状态，自信踏实，刻苦努力，以饱满的精神迎接新一天的挑战。

四、课堂上：专心听讲是第一位。

事实证明，自以为是的确是不好的习惯。

同样的例题，自己看懂与听老师讲懂是完全不同的两种效果。

五、建议同学们在课外多投入些时间做题，并且要从心里重视数学。

还应该准备一个错题本，老老实实地将每次错过的题抄在上面，并写上正确的解题思路，变不懂为精通。

特别提醒：请学习稍差的同学一定不要放弃，哪怕到最后一学期，也不能放弃。

只要按照老师说的去做，只要塌实地付出了，就一定会有奇迹出现。

永远不要放弃拼搏，因为奇迹只发生在相信奇迹存在的人身上！！！
安徽省江淮十校2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1|,0A y y x x x ⎧
⎫
==+≠⎨⎬⎩⎭
，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ） A. 2 B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合A 、B ，得出集合P ，确定集合P 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合P 的子集个数.
【详解】当0x >时，12y x x =+
≥=；
当0x <时，()()112y x x x x ⎡⎤=+
=--+≤-=-⎢⎥-⎣
⎦. 所以，集合{}
22A y y y =≤-≥或.
集合{}{
}
2
4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P A B ∴==-I ，
集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.
2.复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A. 7 B. 49 C. 9 D. 81
【答案】B 【解析】 【分析】
设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()2
2
344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结
合思想求出z z ⋅的最大值.
【详解】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++=
=，
()()2
2
344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2
为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()2
2
344x y +++=上一点距离的平
5=，
因此，z z ⋅的最大值为()2
2549+=，故选：B.
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】∵,,a b c 为正数，
∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立， 若222a b c +>，则()2
22+->a b ab c ，即()2
222+>+>a b c ab c ，
>，即a b c +>，成立，即必要性成立，
则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题.
4.已知向量a r 、b r 均为非零向量，()
2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r 的夹角为（ ）
A.
6
π
B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
设a r 、b r
的夹角为θ，由()2a b a -⊥r r r ，得出()
20a a b ⋅-=r r r ，利用平面向量数量积的运算律
与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值.
【详解】设a r 、b r
的夹角为θ，()
2a b a -⊥r r r Q 且a b =r r ，
()
222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r ，解得1
cos 2
θ=，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=.
因此，a r 、b r 的夹角为3
π
，故选：B.
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
5.已知ln x π=，1
3y e -=，13
log z π=，则（ ）
A. x y z <<
B. z x y <<
C. z y x <<
D. y z x <<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，
指数函数x
y e =在R 上为增函数，则1
0301e e -<<=，即01y <<，
对数函数
13
log y x =在其定义域上是减函数，则113
3
log log 10π<=，即
0z <.
因此，z y x <<，故选：C.
【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际
问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）
()3323
π- ()323
π-
(
)
3
23
π+ (
)
23323
ππ-+
【答案】A 【解析】 【分析】
设2BC =，将圆心角为
3
π
的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π
⨯⨯=233
π 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，
即222322333πππ⎛+⨯=- ⎝， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()(
)
3233
123
23
πππ-=
--，
故选：A.
【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.
7.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线
B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线
C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．．
D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．． 【答案】C 【解析】 【分析】
利用直线与平面平行的判定定理可判断出A 选项中命题的正误；利用反证法判断出B 选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出D 选项命题的正误.
【详解】对于A 选项，//AD BC Q ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；
对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂Q 平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；
对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成
的角为θ，则sin d
FC
θ=
，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C.
【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）
A. 56%
B. 14%
C. 25%
D. 67%
【答案】A 【解析】 【分析】
求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443
409
x ++++++++=
=,
2161699160916910099
s ++++++++==
103s =
,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,3
3⎛⎫
⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于5
05609
≈，故选A.
【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1
(++...+)x x x x n
=． 样本方差公式2
222121
[()()...()]n s x x x x x x n
=
-+-++-， 标准差222121
[()()...()]n s x x x x x x n
=
-+-++-
9.将余弦函数的图象向右平移
2
π
个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）
A. 最大值为1，且关于3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B. 周期为π，关于直线2
x π=对称
C. 在,68ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增，且为奇函数 D. 在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，且为偶函数
【答案】C 【解析】 【分析】
根据图象变换求出函数()y f x =的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断.
【详解】将余弦函数的图象向右平移
2π个单位后，得到函数cos sin 2y x x π⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭的图象，
再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()sin 2f x x =的图象. 对于A 选项，函数()sin 2f x x =的最大值为1，由于33sin 142f π
π⎛⎫==-
⎪
⎝⎭
，该函数的图象不关于点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，A 选项错误； 对于B 选项，函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T π
π=
=，且sin 02f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，则该函数的图象不关于直线2
x π=
对称，B 选项错误；
对于C 选项，当68x ππ-<<时，234x ππ
-<<，则函数()sin 2f x x =在,68ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调
递增，且该函数为奇函数，C 选项正确；
对于D 选项，当04
x π
<<
时，022
x π
<<
，则函数()sin 2f x x =在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，且为奇函数，D 选项错误.故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
10.对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，
2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ）
A. 122x x +=
B. 121=x x
C. 1
2
2x x = D. 12x
x e =
【答案】B 【解析】 【分析】
先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1
ln 1
x x x +=
-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111
11
1ln 11
x x x +=-，由此得出211
x x =，由此可得出正确选项.
【详解】构造函数()1x
f x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则
()()min 0f x f =.
且()x
f x e a '=-.
①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；
②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.
此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，
ln 0a ∴=，得1a =.
由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1
ln 1
x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=
-的其中一个实根为1x ，则111
1ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--， 即111
1
11ln 11x x x +=-，又方程1ln 1
x x x +=-
另一个实根为2x ，21
1
x x ∴=
，因此，121=x x ， 故选：B.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两
点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ） B.
1
2
C. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
设直线1l 的方程为b y x a =
，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、
22,b M x x a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则点11,b B x x a ⎛
⎫
--
⎪⎝⎭
，利用AM BM k k e ⋅=，可得出21e e -=，解出即可. 【详解】设直线1l 的方程为b
y x a
=，则直线2l 的方程为b y x a =-，
设点11,
b A x x a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭， ()1212
AM
b x x a k x x +=-，()12
121212MB b b b
x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==，
即21e e -=，即210e e --=，1e >Q
，解得e =
，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分
利用公式22
2
221c b e a a
==+可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
12.在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ） A.
5
3
π B.
43
π C. π
D. 2π
【答案】A 【解析】 【分析】
设()201AB x x =<<，可知当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ，计算
出CE DE ==，求出四面体ABCD 的体积311
33
V x x =
-，利用导数求出V 的最大值以及对应的x 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果.
【详解】如下图，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，设()201AB x x =<<，
则CE DE =ABCD
的
体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ，
四面体ABCD 的体积为311112
3233V x x x =⨯⨯=-，21
3
V x '=-. 令0V '=，得3x =
，当0x <<时，0V '>；当13x <<时，0V '<.
所以，函数31133V x x =
-在x =.
此时，26
1CE x =
-=
，6sin CE BAC AC ∠==
，设ABC ∆和ABD ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得62sin BC r BAC =
=
∠，6r ∴=. 设ABC ∆、ABD ∆的外接圆圆心分别为M 、N ，外接球的球心为点O ，如下图所示：
在Rt BCE ∆中，6
BM r ==
， 四边形OMEN 是正方形，且边长为6ME BE BM =-=
， 所以，四面体ABCD 的外接球半径2
2
22665
+=41212R BM OM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因此，该四面体的外接球表面积为2
5544123
OB πππ⋅=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数x 、y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为____________.
【答案】
32
【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+经过可行域时在x 轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案.
【详解】作出不等式组210
020x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立2100
x x y -=⎧⎨-=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域的顶点11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =⨯
+=，故答案为：32
. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14.已知()()5
12x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是______. 【答案】30- 【解析】 【分析】
先将1x =代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出1a =-，然后将二项式变形为()()()()5
5
5
1212121x x x x x +-=-+-，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求
出参数的值，再将参数的值代入通项可得出2x 项的系数. 【详解】由题意可知，
()()
5
12x x a ++的展开式中各项系数和为
()()
()5
5
1121222a a +⨯+=+=，
解得1a =-，()()()()()()5
5
5
5
121212121x x a x x x x x ++=+-=-+-， 二项展开式的通项为
()
()()
()()5556555212121k
k
r
r
k
k r
k k k xC x C x C x ----⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅-⋅+()55521r
r
r r C x --⋅⋅-⋅，令
6252k r -=⎧⎨
-=⎩，得4
3k r =⎧⎨=⎩
， 因此，展开式中含2x 项的系数为()()4
3
4132552121104030C C ⋅⋅-+⋅⋅-=-=-，
故答案为：30-.
【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.
15.关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
内有解，则实数a 的取值范围是_______.
【答案】)
1⎡-⎣ 【解析】 【分析】
将问题转化为方程sin 2cos a x x -=+在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有解，
可得出实数a -的取值范围即为函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值域，
利用辅助角公式求出函数()y f x =在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值域，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得sin 2cos a x x -=+，则关于x 的方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫
⎪
⎝
⎭
上有解.
构造函数()sin 2cos f x x x =+，其中0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
由辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，ϕ为锐角，且cos 5ϕ=，sin 5
ϕ=. 由于02
x π
<<
，则2
x π
ϕϕϕ<+<
+，
所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,
2π
ϕ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递增，在区间,2
2π
πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调
递减，则()max f x =()02f =，12f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值域为(
，1a ∴<-≤
解得1a ≤<-，因此，实数a 的取值范围是)1⎡-⎣，故答案为：)
1⎡-⎣.
【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题.
16.已知抛物线2
:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=u u u r u u u r
（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1
λλ
+
【解析】 【分析】 设直线AB
方程为1y kx =+，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程，列出韦达定理，结
合2AF FB λ=u u u r u u u r
得出点A 的横坐标，然后利用导数求出抛物线C 在点A 处的切线方程，并求出点M 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出MF 的长度.
【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为
1y kx =+，
联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，
由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.
()11,1AF x y =--uu u r ，()22,1FB x y =-uu r ，2AF FB λ=uu u r uu r Q ，2
12x x λ∴-=，2121x x λ
∴=-，
21212
1
4x x x λ
∴=-
=-，得2214x λ=.
抛物线C 的函数解析式为24
x y =，求导得2x y '
=，
则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即2
1124
x x y x =-，
联立211
124y x x y x =-⎧⎪⎨=-
⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，
1MF λλ
==
==+， 故答案为：1
λλ
+
.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()6121n S n n n =++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141
n n b a =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明1
2
n T <
. 【答案】（1）2
n a n =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）令1n =，由11a S =求出11a =，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a 的表达式，再对
11a =是否满足n a 的表达式进行验证，由此得出数列{}n a 的通项公式；
（2）将数列{}n b 的通项公式裂项为11122121n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，并利用裂项法求出n T ，即可证
明出1
2
n T <
成立. 【详解】（1）当1n =时，11661236a S ==⨯⨯=，可得11a =； 当2n ≥时，由()()6121n S n n n =++可得()()16121n S n n n -=--，
上述两式相减得()()()()2
61211216n a n n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦，2n a n =.
11a =适合2n a n =，因此，对任意的n *∈N ，2n a n =；
（2）()()2111
11141
41
212122121n n b a n n n n n ⎛⎫
=
=
=
=- ⎪---+-+⎝⎭
Q ，
11111111111
1123235221212212
n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立.
【点睛】本题考查由前n 项和公式求数列通项，同时也考查了利用裂项法求和，在由前n 项和
公式求数列通项时，利用公式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行计算，考查计算能力，属于中等题.
18.ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=
，
sin A =
，且0BA AC ⋅>u u u r u u u r . （1）求
sin sin B
C
； （2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3；（2
【解析】 【分析】
（1）由0BA AC ⋅>u u u r u u u r
可得出cos 0A <，利用同角三角函数的平方关系可求出cos A 的值，利
用正弦定理边角互化思想得出2223a b c -=，再利用余弦定理可得出
b c
的值，从而可得出
sin sin B
C
的值； （2）由（1）得出3b c =，利用余弦定理可求出b 、c 的值，再利用三角形的面积公式可求出
ABC ∆的面积.
【详解】（1）()cos cos 0BA AC BA AC A cb A π⋅=⋅-=->uu r uuu r uu r uuu r
Q ，cos 0A ∴<.
由同角三角函数的平方关系得2
2221cos 1sin 133A A ⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 222sin sin 3sin A B C -=Q ，由正弦定理可得2223a b c -=.
由余弦定理得2222231cos 223
b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，
由正弦定理边角互化思想得
sin 3sin B b
C c
==； （2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，
2211123c a ∴=
=，则33
c =，3b =， 由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为113222
sin 322333
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯⨯=
. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式的应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
19.如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，
AB BD =.
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2
. 【解析】 【分析】
（1）先证明出ABD CBD ∆≅∆，可得出AD CD =，可得出90ADC ∠=o ，然后取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，并设OA OD a ==，利用勾股定理证明出OD OB ⊥，由等腰三角形三线合一得出OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出OD ⊥平面ABC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，计算出平面ADE 和ACE 的法向量，利用空间向量法求出二面角D AE C --的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.
【详解】（1）ABC ∆Q 是等边三角形，AB BC ∴=，又ABD CBD ∠=∠，BD BD =，
ABD CBD ∴∆≅∆，AD CD ∴=，ACD ∆Q 为直角三角形，所以90ADC ∠=o ，
取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，则OD AC ⊥，OA OD =.
设OA OD a ==
，则tan 60OB OA =⋅=o ，又2BD AB AC a ===，
222BD OB OD ∴=+，OB OD ∴⊥，又OB AC O =I ，OD ∴⊥平面ABC ，
OD ⊂Q 平面ACD ，因此，平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）由题设及（1）可知OA 、OB 、OD 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A
、()
B
、()1,0,0C -、()0,0,1D ，
E Q 为BD
的中点，则10,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
()1,0,1AD ∴=-uuu r ，()2,0,0AC =-uu u r
，11,,22AE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
uu u r . 设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00n AD n AE u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得01
02x z x y z -+=⎧⎪
⎨-+=⎪⎩
，
得33z x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，令3x =，则1y =，3z =，
所以，平面ADE
的一个法向量为()
31,3n =r
,
. 同理可得，平面ACE 的一个法向量为()
0,1,3m =-u r
，
7cos ,27
m n m n m n ⋅∴===⨯⋅u r r
u r r u r r ，
所以，二面角D AE C --的正弦值为2
742
177⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
20.如图，已知()1,0A -、()10
B ,，Q 、G 分别为AB
C △的外心，重心，//QG AB .
（1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =u u u r u u u r
，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.
【答案】（1）()22
103
y x xy +=≠；
（2）不存在.
【解析】 【分析】
（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，可得出点0,3y Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程； （2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、
()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =u u u r u u u r
，可得
出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或
()1,0，从而说明直线L 不存在.
【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫
⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 由QA QC =，可得出222
4199y y x +=+，化简得2213y x +=.
因此，轨迹E 的方程为()2
2
103
y x xy +=≠；
（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.
假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .
将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
，
消去y 得()
2
2
3220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-
+，12
22
3
x x k =-+. ()11,1MP x y =--uuu r ，()22,1PN x y =-uu u r ，2MP PN =uuu r uuu r
Q ，122x x ∴-=，得122x x =-， 即1
2
2x x =-，()()2
2
22
12
22212
432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝
⎭+Q ， 另一方面()2
2
1
2122
12
2112223
x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±.
则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在.
【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知函数()2
1cos 14
f x x x =+
-. （1）证明：()0f x ≤，,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦； （2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由函数()y f x =是偶函数，只需利用导数证明函数()y f x =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值()max 0f x ≤即可；
（2）由（1）得出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间[
)3,+∞上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区
间,2π⎛⎫
-∞-
⎪⎝
⎭
上也只有一个零点，从而得出函数()y f x =有三个零点. 【详解】（1）()21cos 14f x x x =+-Q ，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则该函数为偶函数， 只需证()max 0f x ≤，其中0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. ()1sin 2f x x x '=-+
，()1
cos 2
f x x ''∴=-. 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，令()0f x ''=，得3x π=.
当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x ''≤，此时，函数()y f x '=单调递减； 当,32x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，()0f x ''≥，此时，函数()y f x '=单调递增. ()00f '=Q ，1024
f ππ
⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x '≤，此时，函数()y f x =单调递减，则()()00f x f ≤=， 因此，对任意的,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，()0f x ≤； （2）三个零点，证明如下： 由（1）可知，当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，函数()y f x =有一个零点0x =. 当[
)3,x ∈+∞时，()9
cos 104
f x x ≥-+>，此时，函数()y f x =无零点； 当,32x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()1sin 2f x x x '=-，()1cos 02f x x ''=->.
此时，函数()y f x '=单调递增，1024f ππ
⎛⎫'=-<
⎪⎝⎭
，()33sin 302f '=->. 由零点存定理可知，存在0,32x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x '=.
当0,2x x π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当()0,3x x ∈时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增.
2
10216
f ππ
⎛⎫=-< ⎪⎝⎭Q ，()002f x f π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()53cos304f =+>.
由零点存在定理知，函数()y f x =在区间0,2x π⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，在区间()0,3x 上有且只有一个零点，即函数()y f x =在区间,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且只有一个零点.
由于函数()y f x =为偶函数，所以，函数()y f x =在(],3-∞-上无零点，在3,2π⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
上有且只有一个零点.
综上所述，函数()y f x =有三个零点.
【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
22.棋盘上标有第0、1、2、L 、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的
概率为n P .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()111
1982
n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P 、100P 的值.
【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为
9
2
；（2）证明见解析； （3）9910021
132P ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式
计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量
X 的数学期望；
（2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出1111
22
n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立；
（3）结合（1）、（2）可得1
112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭
，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而
可求出99P 和100P 的值.
【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.
()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3
1313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，
()3
23
13528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()3
11
628
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为
1
2
n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为
112
n P -，所以，1111
22n n n P P P +-=+.
等式两边同时减去n P 得()()111111
198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；
（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224
P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为21
1
4P P -=，公比为12
-的等比数列， 1
1
1111422n n n n P P -++⎛⎫
⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，
()()()2
3
99
9912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 98
10011142121112
3212⎡⎤
⎛⎫
--⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
+=- ⎪⎛⎫
⎝⎭-- ⎪⎝⎭
，
又99
999899
11=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。