2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题

2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题
一、选择题
1.在复平面上，复数
24i
1i
++对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|
2B x y x ⎧==
⎨⎬-⎩
⎭
，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<
D ．{|12}x x <<
3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）
A ．0
B ．43
-
C ．0或
43
D ．
43
4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
绘出散点图如下:
根据以上信息，判断下列结论:
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.
A ．0
B ．3
C ．2
D ．1
5.函数
()3cos 1
x f x x
+=
的部分图像大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b
的等差中项，则
21
a b
+的最小值为（ ） A ．22
B ．3
C ．4
D ．9
7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、
一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．
3
16 B ．38
C ．14
D ．
18
8.双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A
为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B
．
35
+ C ．
51
+ D ．31+
二、填空题
9.已知
12,e e →
→
为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→
=，a →在b →方向上的投影为______ ．
10.在32
n
x x ⎛-
⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．
11.如图,椭圆()22
2
210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．
12.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01
x x
x f x x x -⎧-
-<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对
任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题
13.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.
14.已知函数221
()
cos sin ,(0,)2
f x x x
x ．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．
15.如图所示，直角梯形AB C D 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形ED C F 为矩形，
3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．
（1）求证：DF 平面ABE ；
（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．
（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3
，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．
16.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投
进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为1
4
，在B 处投篮的命中率为
45
. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.
17.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
18.已知函数)f x =（
a e 2x +（a ﹣2） e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 四、不定项选择题
19.（多选）等差数列
{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）
A ．0d >
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
20.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8
x π=
对称:
D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位得到 21.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有
(6)()(3)f x f x f +=+成立，当
12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.
A ．(3)0f =
B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴
C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数
D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点
22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.
A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线
B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线
C ．当点F 从1A 运动到1
D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大
D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小
参考答案
1.【解析】
24i (24i)(1i)62i
3i 1i (1i)(1i)2
++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【答案】A
2.
0>,得2x >,即(2,)B =+∞,
所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【答案】A
3.【解析】当0a ≠时，过点()1,2P
且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1
a
，可设该直线方程为1
2(1)y x a -=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1
1=，解得4
3
a =
.故本题正确答案为C ． 【答案】C
4.【解析】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强
的线性相关关系，①正确；
对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系， 不是一次函数关系，②错误；
对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．
综上，正确的命题是①，只有1个． 故选：D ． 【答案】D
5.【解析】函数
()f x 的定义域为()()00+，
，-∞∞.
()()()3cos +1
3cos +1
x x f x f x x
x
--=
=-
=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A ． 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D ． 由23034f ππ⎛⎫=-<
⎪
⎝⎭
，故排除选项C ． 故选：B 【答案】B
6.【解析】∵lg4a 与lg2b 的等差中项，
∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2a
b
a b
+=⋅=，
∴21a b +=．
所以212122()(2)559b a
a b a b a b a b
+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21
a b
+的最小值为9． 【答案】D
7.【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF
====.
∴11
2224
BCI S ∆=
⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形
∴所求的概率为11
3422216
P +
=
=⨯ 故选A ． 【答案】A
8.【解析】
由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,B
b ，()20,B b -， ()1,0F
c -，()2,0F c ，
且222a b c +=，菱形1122F B F B 的边长为22b c +，
由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得2211
22422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()
22
2
2
2b c a
b
c =+，
即有442230c a a c +-=， 由e c
a
=
，可得42e 3e 10-+=， 解得235
e 2
±=
， 可得15e 2+=
，或51
e 2
-=（舍去） 故选：C ． 【答案】C
9.【解析】由题可知
1,b = 故，a 在b 方向上的投影为
即答案为
32. 【答案】3
2
10.【解析】根据题意可得8n =，8883
1
883
()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x
----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7. 【答案】7
11.【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,
所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,
(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,
所以2962,63e e =-=,
故答案为63-. 63-
12.【解析】
()()2f x f x +=对x ∀∈R 恒成立，
∴函数()f x 的周期为2．
又当(]1,1x ∈-时，2,10()1
22,01
x x
x f x x x -⎧-
-<⎪=+⎨⎪-<⎩ ∴函数()f x 的图象如下图所示：
令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，
若函数()()()1g x f x m x =-+在区间
内有6个零点，
则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．
()1y m x =+恒过点()-1,0，
过()1,0-，()4,2点的直线斜率为
25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为2
3
，
根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
故答案为：22,
.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】22,
53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
13.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，
因为b 2=3，b 3=9，可得3
2
3b q b ==， 所以b n =b 2q n -2=3·
3n -2=3n -1， 又由a 1=b 1=1，a 14=b 4=27，
所以141
2141
a a d -=
=-，
所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）×d =1+2（n -1）=2n -1； （2）由题意知c n =a n +b n =（2n -1）+3n -1， 设数列{c n }的前n 项和为n S ，
则[13(21)](13931)n S n n =++⋯+-++++⋯+-
2
(121)13312132
n n n n n +---=+=+
-. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2
31
2
n
n -+. 14.【解析】（1）依题意221
1()
cos sin cos 20,π2
2
f x x x
x
x ，由2ππ22πk x k -≤≤得
πππ2k x k -
≤≤，令1k =得π
π2
x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,
2.
（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11
cos 20,cos 222
A A +==-，所以2ππ
2,33
A A =
=. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.
当2c =时，222cos 0238
a c
b B a
c +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以
3c =.
所以三角形ABC 的面积为
11sin 5322bc A =⨯⨯=
【答案】（1）
,
2
；（2 15.【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则
()
1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，
设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩
不妨设(
)
3,0,1n =
，又(1,DF =-，
∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．
（Ⅱ）∵()
1,2,3BE =--，()
2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z
=，
∴230,
230,
x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()
23,3,4m =，∴531cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅，
∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为
531
． （Ⅲ）设(
)1,2,3DP DF λλ==- ()
,2,3λλλ=-，[]
0,1λ∈，∴()
,2,3P λλλ-， ∴()
1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量(
)
3,0,1n =
，
∴()()
22
2
3333sin cos ,2
1223BP n λλθλλλ--+==
=
++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14
λ=． 当12λ=
时，33,1,2BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当1
4λ=时，533,,42BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，∴2BP =． 综上，2BP =．
【答案】（I ）见解析（II 531
（III ）2BP = 16.【解析】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =，
由已知1
()4P A =
，()45
i P B =. X 的取值为0，2，3，4.
则()
()()
12123113
(0)()455100
P X P AB B P A P B P B ====
⨯⨯=， ()()
11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1
(3)()4
P X P A ===，
()1234412
(4)45525
P X P AB B ===⨯⨯=，
X 的分布列为:
X 的数学期望为:()0234 3.1510025425100
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273
(3)(4)0.73425100
P P X P X ==+==
+==， ()()()21212312344144414
55555555
P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯
1120.896125
==, ∵21P P >，
∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.
【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析
17.【解析】（Ⅰ）将点()2,1-代入抛物线方程：()2
2
21p =⨯-可得：2p =，
故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. （Ⅱ）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，
设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.
设22
1212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，
直线OM 的方程为1
4x y x =-
，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：
1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：12
22
x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++
==，12
222x x -==
则圆的方程为：()()()
22
2
2141x k y k -++=+，
令0x =整理可得：2
230y y +-=，解得：123,1y y =-=，
即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【答案】（Ⅰ） 24x y =-，1y =； （Ⅱ）见解析.
18.【解析】（1）
()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，
（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.
（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.
（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1
ln 1ln f a a a
-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于1
1ln 0a a
-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，1
1ln 0a a
-
+<，即()ln 0f a -<. 又()()4
2
2
2e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫
>-
⎪⎝⎭
，则()()
00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).
19.【解析】由题意，设等差数列
{}n a 的公差为d ，
因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，
又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=
+-=- ⎪⎝⎭
， 由
7722d n
n d -
=-=
可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022
n d d
S n n =-
>，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 【答案】ABD
20.
【解析】2
()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛
⎫=-+=+=
+ ⎪⎝
⎭
A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；
B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数，结论正确；
C 选项，
因为8f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设(
)2g x x =
，则
()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，结论错误．
故选：BC ． 【答案】BC
21.【解析】A ：令3x =-，则由
()()()63f x f x f +=+，
得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；
B ：由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期． 又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，
故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确； C ：因为当1x ，[]
20,3x ∈，12x x ≠时，有()()1212
0f x f x x x ->-成立，
故()f x 在[]
0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]
3,0-上为减函数， 又周期为6．
故在[]
9,6--上为减函数， C 错误；
该抽象函数图象草图如下：
D ：函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-
()()390f f ===，
故()y f x =在[]
9,9-上有四个零点， D 正确．
故答案为：ABD ． 【答案】ABD
22.【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；
平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；
F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【答案】AC。