2-5 一元二次方程的根与系数的关系-北师大版数学九年级上册

例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 .
（2）这里 a = 2，b = -3，c = -2.
△ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
解：（1）△ > 0
x1+x2=
7 12
，x1x2
=
1 12
.
x1=
1 3
x2=
1 4
（2）△ > 0
x1+x2=
5 4
，x1x2 =
3 8
.
x1=
1 4
x2=
3 2
2. 解下列方程：【选自教材P51 习题2.8】 （1）12x2+7x+1 = 0； （2）0.8x2 + x = 0.3. （3）3x2+1= 2 3 x； （4）(x+1)(x-3) = 2x+5.
的一个根是
3
，求它的另一个根.
【选自教材P50 随堂练习】
解：x1x2 = -7.
x1 = 3.
x2
=
7 3
.
达标检测
1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x(3x - 1)-1= 0； （2）(2x + 5) (x+1)= x + 7.
【选自教材P51 习题2.8】
解：（1）3x2-x-1=0.
（3）3x2- 2 3 x+1=0
（4）x2-4x-8=0 △ > 0
△=0
x1+x2=
2
3 3
，x1x2
=
1 3
.
x1= x2=
3 3
x1+x2= 4，x1x2 =-8 . x1= 2 + 2 3 x2= 2 - 2 3
3. 已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根
及 k 的值.【选自教材P51 习题2.8】
x1
= -b
b2 4ac
2a
x2
= -b
b2 4ac
2a
x1+x2 =
-b
b2
2a
4ac
-b
-
b2
2a
4ac
=
b a
x1x2 =
-b b2 4ac 2a
-b - b2 4ac c
2a
= a
如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么
x1+x2 =
b a
x1x2
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2-2x+1=0
1
1
2
1
x2 - 2 3 x-1=0 3 + 2
3-2
23
-1
2x2-3x +1=0
1 2
1
3 2
1 2
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流。
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根：
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0. 【选自教材P50 随堂练习】
解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1.
（2）x1+x2=
2 3
，
x1x2 =
5 3
.
2. 小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根.
小明：x1
=
x2
=
1 3
；小华：x1 = -3 + 3
2 ，x2 = -3 - 3
2
.
他们的答案正确吗？说说你的判断方法. 【选自教材P50 随堂练习】
解：由题意，可得
x1+x2=
2 3
，
x1x2
=
1 9
.
小明和小华求得的根与算式都不符合，
∴小明和小华的答案都不正确.
3. 已知方程 x2-
2 3
x-7=0
（2）x2+3x-1=0.
x1+x2=
1 3
，x1x2 =
1 3
.
x1+x2= -3，x1x2 = -1 .
2. 解下列方程：【选自教材P51 习题2.8】
（1）12x2+7x+1 = 0； （2）0.8x2 + x = 0.3.
（3）3x2+1= 2 3 x； （4）(x+1)(x-3) = 2x+5.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
1. 一元二次方程根与系数的关系是什么？ 2. 应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知 方程化成一般形式. 3. 应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程 有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac ≥ 0 时， 才能应用根与系数的关系.
=
c a
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 .
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. △ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：由题意，可得
x1+x2=
k 5
，
x1x2
=Leabharlann 6 5.∵ x1= 2，x2 =
3 5
.
k = -7.
4. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的 第三边的长可能是 20 吗？为什么？【选自教材P51 习题2.8】
解：由题意，可得 x1+x2 = 17，即两边长之和为 17， 小于 20，所以这个三角形的第三边的长不可能是 20.
△ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？
x = -b
b2 4ac
2a
复习导入
同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出 下列一元二次方程的两根和与两根积？ （1）x2-2x+1=0 （2）x2 - 2 3 x-1=0 （3） 2x2-3x +1=0
计算填表：
探究新知
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5 一元二次方程的 根与系数的关系
北师版九年级上册
复习导入
1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0
复习导入
3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
课后作业 完成练习册本课时的习题。