乾县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乾县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
2． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
3． 点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，﹣]
B ．[﹣，﹣]
C ．[﹣1，0]
D ．[﹣，0]
4． 已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，]
C ．（﹣∞，
] D ．（﹣∞，
]
5． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）
7． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．2
8．过抛物线22(0)
y px p
=>焦点F的直线与双曲线
2
21
8
-=
y
x的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、B两点，若>
AF BF，且||3
AF=，则抛物线方程为（）
A．2y x
=B．22
y x
=C．24
y x
=D．23
y x
=
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
9．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能
10．已知的终边过点()
2,3，则
7
tan
4
π
θ
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
等于（）
A．
1
5
-B．
1
5
C．-5 D．5 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（）
A．（0，1）∪（2，3）B．（0，1）∪（3，4）C．（1，2）∪（3，4）D．（1，2）∪（2，3）12．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线
二、填空题
13．若x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y－5≤0
2x－y－1≥0
x－2y＋1≤0
，若z＝2x＋by（b＞0）的最小值为3，则b＝________．
14．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且
对恒成立，则的取值范围是__________________.
15．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于．
16．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为．
17．已知数列{}n a 中，11a =，函数32
12()3432
n n a f x x x a x -=-
+-+在1x =处取得极值，则 n a =_________.
18．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=4x ﹣a •2x+1+a+1，a ∈R ． （1）当a=1时，解方程f （x ）﹣1=0；
（2）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围； （3）若函数f （x ）有零点，求实数a 的取值范围．
20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
22
22f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
21．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．
22．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S
23．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
乾县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．3．【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），
∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；
故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[﹣，0]，
故选D．
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4．【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，
所以（x+y）（+）=10+≥10=16，
当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；
故m的取值范围是（﹣]；
故选D．
5．【答案】A
【解析】
考
点：二元一次不等式所表示的平面区域. 6． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f （x ）也是增函数， 又∵f （﹣3）=0， ∴f （3）=0
∴当x ∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f （x ）＞0； ∴（x ﹣2）•f （x ）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A ．
7． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，
AB=，
设正方体的棱长为x ，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x ． 9． 【答案】A
【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22
），
将直线与抛物线方程联立得
， 消去y 得：x 2
﹣mx ﹣1=0，
根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，
由=（x 1，x 12），
=（x 2，x 22），
得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，
则
⊥
，
∴△AOB 为直角三角形． 故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
10．【答案】B 【
解
析
】
考点：三角恒等变换．
11．【答案】D
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣2）=f （x+2）， ∴f （0）=0，且f （2+x ）=﹣f （2﹣x ）， ∴f （x ）的图象关于点（2，0）中心对称， 又0＜x ＜2时，f （x ）=1﹣log 2（x+1）， 故可作出fx （x ）在0＜x ＜4时的图象，
由图象可知当x ∈（1，2）时，x ﹣2＜0，f （x ）＜0， ∴（x ﹣2）f （x ）＞0；
当x ∈（2，3）时，x ﹣2＞0，f （x ）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
二、填空题
13．【答案】
【解析】
约束条件表示的区域如图，
当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.
答案：1
14．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

15．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f （x ）﹣2x =a ，即f （x ）=a+2x
，
∴当x=a 时，
又∵a+2a
=6，∴a=2，
∴f （x ）=2+2x
，
∴f （x ）+f （﹣x ）=2+2x +2+2﹣x =2x +2﹣x
+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ， ∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
17．【答案】1
231n -- 【解析】
考
点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，形如1(0,1)n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，利用待定系数法构造成1()n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.
18．【答案】．
【解析】解：0.=++…+==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，
f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0，
∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2x﹣1）＜4x+1，
∵2x+1＞1，
∴a＞，
令2x=t∈（1，2），g（t）=，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．
20．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【解析】
试题
解析：（1）由题意，1
31331x x
x +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133
x x
=-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131
x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减．
因为()()
2222f t t f t k -<-，所以22
22t t t k ->-，
即2
20t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x
g x -=+
所以()()
2
22233332x x x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即(
)
()
2
33
23311x
x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333x x
x x
m --≤++
+恒成立
令33,2x x t t -=+≥，则9
m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f （2）=0， 即4b+c+3=0．①
f ′（x ）=3x 2+4bx+c ，由已知，f ′（2）=12+8b+c=5． 得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f （x ）=x 3﹣2x 2
+x ﹣2．
（2）g （x ）=x 3﹣2x 2
+x ﹣2+mx ，
g ′（x ）=3x 2﹣4x+1+，令g ′（x ）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
x g′x g x
极大值
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
22．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，
②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）不低于85的概率P=×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320；
（3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分
23．【答案】
【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的
几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=
πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===
24．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=，
∵∠ACB=，∴∠ACP=，
在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=﹣θ，
由正弦定理得：==，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。