一次函数与几何综合解答策略

一次函数与几何综合一般解答思路
金山初级中学庄士忠 201508 一、“一次函数与几何综合”解题思路：
⑤
④③
②
①
几何图形
一次函数
坐标
①_坐标代入可求表达式_；②_由表达式可求坐标或者表达坐标_；
③_坐标转线段长；④_线段长转坐标_；
⑤_ k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行或垂直）；
二、精讲精练
1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为________．
总结提升：此题可通过“设份数法”解题。

由于直线y=2x的斜率为2，所以其铅直高度比水平宽度就是2；故而我们设OA=1，则
AB=AD=CD=2，OD=3，所以y=kx的斜率就是三分之二；与横轴正半轴夹角是锐角，所以k＞0；
2.如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1
l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．
总结提升：此题可先通过构造小山坡法，算出直线l1的斜率，由于其与横轴正半轴的夹角是钝角，所以k＜0，斜率前加负号；再根据旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，计算出直线l2的斜率，夹角为锐角，所以k＞0；k1·k2=﹣1；
3.如图，已知直线l：y
=
x
x轴交于点A，与y轴交于点B，将△
AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_________．
总结提升：
1、首先应学会“数形结合”的思想，看到一个直线的表达式，从中
读出相应的信息。

比如直线l：y
=
x
首先我们可以从中读
出b的信息，它是直线与纵轴交点的纵坐标，所以B点的坐标就是
（0
；其次我们能从中读出斜率的信息，也就是铅直高度与
水平宽度的比，由此判断三角形AOB是一个含有30°角的直角三角形；
2、根据折叠的轴对称性质，对应边相等，同时有一个角是60°，则
连接OC，就会出现一个等边三角形，过C点做横轴的垂线，就又会出现一个含有30°角的直角三角形，据此可以求出直线AC的斜率，夹角是钝角，所以k为负，前面加负号，再把A点坐标代入表达式求出b即可。

4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD的面积，已知A（4，2），则k= ．
总结提升：
1、对于一个中心对称的图形来说，若一条直线平分它的面积，
那么这条直线必然经过这个中心对称图形的对称中心；
2、由于四边形DCBA是一个等腰梯形，是一个轴对称图形，而不
是中心对称图形，但是假使我们过A点做底边的垂线，剖掉两边
的两个全等的直角三角形，剩下部分就是一个矩形，而矩形是个
中心对称图形，同时直线亦平分它的面积，所以这条直线必然经
过矩形的对称中心，连接OA，按照中点坐标公式，可求出对称中
心的坐标，再代入直线的表达式即可求。

5.已知：直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成的面积为8，则m的值为____________．
总结提升：
1、由于这四条直线围成了一个梯形，高为2，只需求出上底和下底，
按照梯形面积公式列方程解题即可；
2、设直线x=1，x=3分别与直线y=mx-3相交与A、B，则A点的横坐标
是1，纵坐标是m-3；B点的横坐标是3，纵坐标是3m-3，将坐标转为
线段长，则上底长是大坐标－小坐标=0－（m-3）=3－m；下底长是大坐标－小坐标=0－（3m-3）=3－3m；据此列方程解题即可。

6.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D
．
总结提升：
1、根据题目中的已知条件，可先求出点C的坐标（1,4）；
2、由于将三角形ABC向右平移，而根据平移的性质，平移不改变
图形的形状和大小，是一种全等变换，所以点C的纵坐标是始终不变的，当它与直线y=2x-6相交时，将纵坐标代入直线的表达式，可求出交点的横纵坐标是5，由此三角形ABC沿着横轴正半轴的方向向右平移了4个距离；
3、根据平移的性质，对应线段平行且相等，则BC扫过的图形是
一个平行四边形，底是平移的距离，高是C点的纵坐标，代入面积公式可解。

7.如图，已知直线l1：y=28
33
x
与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，
l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG：S△ABC=_________．
总结提升：
1、先根据两条直线的表达式，分别求出A、B两点的坐标，同时
将B点的横坐标代入直线l1的表达式，可求出D点的坐标，同时由
于四边形DEFG是矩形，D、E两点的纵坐标相同，所以将D点的纵
坐标代入直线l2的表达式，可以求出E点的坐标；
2、然后再两条直线联立可以求出其交点C的坐标；则矩形和三角
形的面积均可求，代入求解即可。

8.直线AB：y=-x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB:OC=3:1．
(1)求直线BC的解析式．
(2)直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，
是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一
象限内作等腰Rt△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标．
总结提升：
1、先将A点的坐标代入直线AB的表达式，求出b的值；由于直线BC的斜率是3，夹角是锐角，所以为正，同时经过B点，因此其表达式为y=3x+6；
2、由于直线EF：y=kx-k（k≠0）交x轴于点D，则D点的纵坐标为0，代入此直线的表达式，可求出其横坐标为1，则D点是一个定点；
3、连接BD，则可以看出两个三角形有共同的一边，是“背靠背”的三角形，则其高相等，因此欲使其面积相等，则只需两个底边相等即可，由此D点就是E、F两点的中点，由于这两点分别在两条已知表达式的直线上，所以我们可设E点的坐标为（m，-m+6）， F点的坐标为（n，3n+6）；然后按照中点坐标公式列一个二元一次方程组求解即可。

3、由于平面直角坐标系中出现了直角，我们一般考虑使用“双
垂直模型”解题，为此我们过点Q做横轴的垂线QH，构造全等
三角形，然后有几何法和代数法两种思路解题；
4、几何法：我们设P点的坐标为（a，0），则H点的坐标为（a＋
6,0），Q点的坐标就是（a＋6，a），则线段AH的长度就是a，据
此计算直线QA的斜率是1，则其同纵轴的夹角=直线y=-x+6同纵
轴的夹角=45°，则三角形ABK是一个等腰三角形，根据等腰三
角形三线合一的性质，K、B两点关于原点对称，据此可以求出
其坐标；
5、代数法：求出直线QA的斜率后，我们将点A的坐标代入其表
达式，求出其确切的表达式，然后求这条直线同纵轴交点的坐标
即可。

【参考答案】
【知识点睛】
1．铅直高度；水平宽度．2．①∥；②-1；⊥．
3．①坐标代入可求表达式；②由表达式可以求坐标或者表达坐标； ③坐标转线段长；④线段长转坐标；
⑤k 、b 的几何意义以及直线的位置关系（平行和垂直）．
【精讲精练】
1．2
3 2．⊥；-1 3
．y =+4．1 5．12- 6．C
7．8:9 8．（1）36y x =+ （2）存在，k =3
7（3）K （0，-6）
练习.
如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E ，F 分别在AD ，AB 上，且F 点的坐标是（2，4）．
（1）求G 点坐标；（2）求直线EF 的解析式；
（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
总结提升：
1、首先根据已知条件，分别求出C、A两点的坐标，然后将坐标转为线段长，跟着折叠的轴对称性质，对应边相等，对应角相等，则FB=AB－AF=1，FG=AF=2，根据勾股定理可求BG的长，再用BC－BG=GC，即可得G点的坐标；
2、注意到经由折叠得到的小直角三角形的直角边和斜边比是1:2，根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角是30°，则可得出∠BFG=60°，这样∠AFE=∠EFG=60°，这样就又出现了一个含有30°角的直角三角形AEF，根据其三边关系比，可以求出AE的长度，进而求出直线EF的斜率和直线上一点E的坐标，则其表达式可求。

3、由于平行四边形的四个顶点用顿号隔开，因此无顺序要求，需分类讨论；根据四个顶点的特性，可以判断其中有两个定点F、G，两个动点M、N，根据“两个定点、两个动点”求平行四边形的存在性的解题模型，为保证不重不漏，我们选取定线段FG作为分类的标准进行讨论；
4、首先我们让FG作为平行四边形的一边，根据平行四边形对边平行且相等的特性，我们平移FG，使其分别与直线EF和横轴相交，则出现两种情况，分别构成两个等边三角形，求出此等边三角形的底边长，则M点在底边的垂直平分线上，据此可以求出其坐标；
5、接着我们让FG作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的特性，我们让线段EF绕着其中点P旋转，与直线和横轴分别相交，就是要求的点的位置：由于P即是EF的中点，我们可以根据中点坐标公式，求出P点的坐标，然后再根据P是NN的中点，分别设出这两点的坐标，再利用中点坐标公式，建立两个二元一次方程即可解题即可。

解：（1）∵F(2，4)，B（3，4），四边形ABCD是矩形
∴AF=2，OA=BC=4，AB=3
在Rt△BFG中，
由轴对称性质FG=AF=2 ∵BF=AB-AF=1
∴BG
∴G（3，4
）
（2）设y=kx+b ∵在Rt△BFG中，BF= 1
2FG
∴∠BGF=30°∴∠AFE=∠EFG=60°在Rt△AEF中，AF=2
∴AE
=∴E（0，4
-b=4
-
∵|k|=||
||
AE
AF
∴y
+4
-
(3) 存在．①M
（
提示：
如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，过N作FG的平行线交EF于点M，连接MN，GN．则四边形MNGF为平行四边形．利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可．
②M
（，
）
提示：与①的方法类似．
③M
（
，8-
提示：
如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，连接NF，过G作NF的平行线交直线EF于点M，连接GM．则四边形MFNG是平行四边形．。