大学课程《高等数学》PPT课件：7-2 二重积分的计算
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则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函
数，我们可以先在有界区域内积分，然后通过取极
限求此积分．这类积分在概率统计中有广泛的应用 ．
例8.
计算定积分 I ex2dx.
解 本题如果用定积分计算，ex2 的原函数不能用初 由函于数表示，所以算不出来．我们采等用的技巧是先计 算二D e(重x2 y2 )d积xdy,分其中区域D是整个平面。
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
第七章
二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、广义二重积分
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由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
则 若D为Y - 型区域 则
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在D上变号时, 由于 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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则有
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 , 则
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其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X - 型区域, 则
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
一方面，我们利用直角坐标系计算，可将积分区域D 表示为
D (x, y) | x , y ，
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则 e(x2y2 )dxdy
dx
e dy ( x2 y2 )
ex2 dx e y2 dy=I2.
D
另一方面，我们利用极坐标系进行计算，可将积分区 域D表示为
D1
S
D2
பைடு நூலகம்
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又 I ex2 y2 dxdy
S
R ex2dx R e y2dy ( R e x2dx)2;
0
0
0
I1 e x2 y2dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
(1 e R2 );
0
0
4
同理 I 2
D2
ex2 y2 dxdy
(1 e 2R2 4
解 圆 x2 y2 2y 的极坐标方程是 r 2sin，如图所示，积分区域 D可以表示为 D (r,) 0 ,0 r 2sin,
于是
x2 y2d
r2drd
d
2sin r 2dr
0
0
D
D
8 sin3d 8 (1 cos2 )d cos
30
30
8 (cos
D (r,) | 0 2,0 r .
于是
e(x2 y2 )dxdy
2
d
0
er2 rdr
0
er2
|0
lim (1 eR2 )
r
.
D
综上，我们有 I 2 , 所以I .
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例 9. 求广义积分 ex2dx. 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
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解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则
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解: 令 显然,
所围成. (如图所示)
其中D 由
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在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
1
1 x2
例 1 0、
写出积分
dx
0
1 x
f ( x, y)dy 的极坐
标二次积分形式
解如图：在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
0
2
圆 方 程 为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
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其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
及直线
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其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X - 型域 :
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
在 内取点
对应有
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即
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注意：1 将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
x r cos
Dyxyr
sin
Dr
dxdy rdrd
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函
数，我们可以先在有界区域内积分，然后通过取极
限求此积分．这类积分在概率统计中有广泛的应用 ．
例8.
计算定积分 I ex2dx.
解 本题如果用定积分计算，ex2 的原函数不能用初 由函于数表示，所以算不出来．我们采等用的技巧是先计 算二D e(重x2 y2 )d积xdy,分其中区域D是整个平面。
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
第七章
二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、广义二重积分
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由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
则 若D为Y - 型区域 则
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在D上变号时, 由于 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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则有
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 , 则
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其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X - 型区域, 则
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
一方面，我们利用直角坐标系计算，可将积分区域D 表示为
D (x, y) | x , y ，
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则 e(x2y2 )dxdy
dx
e dy ( x2 y2 )
ex2 dx e y2 dy=I2.
D
另一方面，我们利用极坐标系进行计算，可将积分区 域D表示为
D1
S
D2
பைடு நூலகம்
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又 I ex2 y2 dxdy
S
R ex2dx R e y2dy ( R e x2dx)2;
0
0
0
I1 e x2 y2dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
(1 e R2 );
0
0
4
同理 I 2
D2
ex2 y2 dxdy
(1 e 2R2 4
解 圆 x2 y2 2y 的极坐标方程是 r 2sin，如图所示，积分区域 D可以表示为 D (r,) 0 ,0 r 2sin,
于是
x2 y2d
r2drd
d
2sin r 2dr
0
0
D
D
8 sin3d 8 (1 cos2 )d cos
30
30
8 (cos
D (r,) | 0 2,0 r .
于是
e(x2 y2 )dxdy
2
d
0
er2 rdr
0
er2
|0
lim (1 eR2 )
r
.
D
综上，我们有 I 2 , 所以I .
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例 9. 求广义积分 ex2dx. 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
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解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则
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解: 令 显然,
所围成. (如图所示)
其中D 由
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在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
1
1 x2
例 1 0、
写出积分
dx
0
1 x
f ( x, y)dy 的极坐
标二次积分形式
解如图：在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
0
2
圆 方 程 为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
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其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
及直线
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其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X - 型域 :
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
在 内取点
对应有
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即
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注意：1 将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
x r cos
Dyxyr
sin
Dr
dxdy rdrd
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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