人教A版高中数学必修五课件1.1.1正弦定理

∴A=180°-30°-45°=105°………………………7分
再由正弦定理得，
…a …b…sin…A… …2…sin…10150分 6 2
sin B sin 45
2
所以 a 6 2 ，A=105°，C=30°…………………12分
2
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
sin A sin B sin C
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入 a b c 中，可得
cos A cos B cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C，
cos A cos B cos C
所以，tanA=tanB=tanC.
又因为A、B、C是△ABC的内角，
正弦定理的基本应用 【名师指津】正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题： （1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解. （2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、 一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：
【特别提醒】判断三角形解的个数也可由“三角形中大边
【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 a b c ，试判断△ABC的形状.
cos A cos B cos C
【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、
2RsinC来代替是解决本题的关键.
【规范解答】由正弦定理 a b c 2R （R为△ABC外接圆的半径）得
对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为锐
角，有一解；若a<b，则A<B，此时，由正弦定理得 sin B bsin A 的值.①sinB>1，无解；②sinB=1，一解；
a
③sinB<1，两解.
【例1】已知在△ABC中，a 3，b 2， B=45°，解这个三 角形. 【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可 运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.
所以 b 5sin135 5 2.
sin 30
故此三角形的最大边长为 5 2.
【例】在任意△ABC中，求证：a(sin B-sin C)+b(sin Csin A)+c(sin A-sin B)=0. 【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边，可考虑 把边统一化为角或把角统一化为边.
【规范解答】方法一：设R为△ABC外接圆的半径，则左边 =2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinAsinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinCsinBsinC)=0=右边,原等式得证. 方法二：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=
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1.在△ABC中，a=5，b=3，C=120°，则sinA∶sinB的值
是( )
(A) 5
(B) 3
(C) 3
3
5
7
【解析】选A.sinA∶sinB=a∶b=5∶3.
(D) 5
7
2.在△ABC中，已知 a 5 2，c=10，A=30°，则B=( )
(A)105°
(B)60°
(C)15°
(D)105°或15°
a( b c ) b( c a ) c( a b ) 1 (ab ac 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R
bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.
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【规范解答】由正弦定理及已知条件有 3 2 , 得
sin A sin 45 sin A 3 .
2
因为a>b，所以A>B，又 sin A 3 , ∴A=60°或120°，
2
当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，
c bsin C 2 sin 75 6 2 ；
sin C sin 45
答案：1
5.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的
最大边长为多少？
【解析】根据三角形中“大角对大边”可知，此三角形的
最大边为b，
由B＝135°，C＝15°，可得A=30°，
根据正弦定理 a b ，得b a sin B，
sin A sin B
sin A
【解析】选D. a c , 5 2 10 ,sin C 2 .
sin A sin C sin 30 sin C
2
∵c>a,∴C>A，∴C=45°或135°，∴B=105°或15°.
3.在△ABC中，若B=2A，a∶b 1∶ 3，则A=_______.
【解析】∵ a∶b 1∶ 3,sin A∶sin B 1∶ 3，
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑 使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换 求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中， a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化 边为角的主要工具. 【特别提醒】正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主 要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.
sin B sin 45
2
当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，
c bsin C 2 sin15 6 2 .
sin B sin 45
2
综上可知：A=60°,C=75°, c 6 2
2
或A=120°，C=15°， c 6 2 .
2
判断三角形的形状 【名师指津】判断三角形形状的方法
【典例】(12分)在△ABC中，已知 b 2，c=1，B=45°，求 a、A、C. 【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的 个数.
【规范解答】由正弦定理得，
…si…n C……cs…in…B … 1… …22… 21分
b
22
由c<b，B=45°，可知C<45°，∴C=30°…………5分
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形.
利用正弦定理证明等式 【名师指津】利用正弦定理证明等式应注意：
观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用 正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全 转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也 是解三角形过程中经常遇到的. 【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.
即sin A∶sin 2A 1∶ 3,所以cos A 3，故A=30°.
2
答案：30°
4.在△ABC中，A=30°，C=45°，c 2，则边a=______.
【解析】在△ABC中，由正弦定理 a c , 得
sin A sin C a csin A 2 sin 30 1.