2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
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1．向量加法的定义 求两个向量 和的运算 ，叫做向量的加法． 2．向量加法的运算法则
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋b＋c＝ (a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) ． 4．相反向量 与a 长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记 作 －a . (1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a ，a＋b＝ 0 .
法二：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD
＝( AB － AC )＋( DC － DB ) ＝ CB ＋ BC ＝0. 法三：设 O 为平面内任意一点，则有 ( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD
[研一题] [例 2] 化简：( AB － CD )－( AC － BD )＝________. [自主解答] 法一：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝ AB ＋ DC ＋ CA ＋ BD ＝( AB ＋ BD )＋( DC ＋ CA ) ＝ AD ＋ DA ＝0.
(3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b与a同向，模满足|a
＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b与b同向，模满足|a＋b|＝|b| －|a|.
4．类比向量的加法运算是否有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成
立？ 提示：成立．因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|b||＝||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|.
法二：如图，在平面内取点 O， 连接 AO，EO，DO，CO，FO，BO，则
EF ＝ EO ＋ OF ＝ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ，
②
EF ＋ EF ＝ CF ＋ DC ＋ ED ＋ BF ＋ AB ＋ EA
＝( CF ＋ BF )＋( ED ＋ EA )＋( AB ＋ DC )． ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ ED ＋ EA ＝0， CF ＋ BF ＝0. ∴ EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC .
BA ，c－d＝ DC ，并画出 b－c 和 a＋d.
解：因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；
如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据 平行四边形法则可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
解析：对于 A 有 AB ＋ BC ＋ CD ＝ AD ； 对于 B 有 AD ＋( MB ＋ BC )＋ CM ＝ AD ＋( MC ＋ CM )＝ AD ； 对于 C 有(OC － OA)＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD ，只有 D 无法化简 为 AD . 答案：D
＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA)＋( OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA＋ OD － OB ＝0.
答案：A
已知任意四边形 ABCD， 为 AD 的中点， 为 BC 的中点， E F 求证： EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC . [证明] 法一： 如图， 在四边形 CDEF 中， EF ＋ FC ＋ CD ＋ DE ＝0， 所以 EF ＝－ FC － CD － DE ＝ CF ＋ DC ＋ ED .
[研一题] [例 1] 如图，已知正方形 ABCD 的边长
等于 1， AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c， 试作以下向量并分别求其模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
[自主解答] (1)如图，由已知 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ， 又 AC ＝c，所以延长 AC 到点 E， 使|CE |＝| AC |， 则 AE ＝a＋b＋c， 且| AE |＝2 2.
面几何中求角度的问题．
[通一类]
3．设 a 表示向西走 10 km，b 表示向北走 10 3 km，则 a－b 表示 A．向南偏西 30° 20 km 走 B．向北偏西 30° 20 km 走 C．向南偏东 30° 20 km 走 D．向北偏东 30° 20 km 走 ( )
解析：如图，作 OA＝a， OB ＝b， 则 BA ＝a－b.在 Rt△ABO 中，OA＝10， OB＝10 3， 则 AB＝20，∠ABO＝30° . 易知向南偏西 30° 行走 20 km.
直接写出类似的一系列式子．
[通一类]
2．下列四式中不能化简为 AD 的是 A．( AB ＋ CD )＋ BC
(
)
B．( AD ＋ MB )＋( BC ＋ CM ) C． OC － OA＋ CD D． MB ＋ AD － BM
[悟一法]
用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点： (1)两向量是否共起点； (2)弄清减向量与被减向量； (3)灵活选择加法法则．
[通一类]
1．如图所示，O 是四边形 ABCD 内 任一点，试根据图中给出的向量，确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示)，使 a＋b＝
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ DE ＝ EA ， BF ＝ FC .
∴ EF ＋ EF ＝ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＋ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝ DE ＋ AO ＋ OB ＋ FC ＋ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝( AO ＋ OB )＋( DA＋ AO ＋ OB ＋ BC ) ＝ AB ＋( DO ＋ OC ) ＝ AB ＋ DC .
则，只能用三角形法则．
2．若a＋b＝c＋d则a－c＝d－b成立吗？
提示：成立．移项法则对向量等式适用．
3．怎样理解||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 提示：(1)当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与 a，b都不相同，模满足||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b方向相同，模满足|a＋b|＝ |a|＋|b|.
5．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋( －b )，即减去一个 向量相当于加上这个向量的 相反向量 ． (2)几何意义：以 O 为起点，作向量 OA＝a，
OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即 a－b 可表示从 向量b的
终点 指向 向量a的终点 的向量．
[小问题·大思维] 1．任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行 四边形法则进行？ 提示：不一定．当两向量共线时，不能用平行四边形法
[答案] 0
[悟一法]
在进行向量加减法运算时，应熟练掌握以下结论： AB ＋
BD ＝ AD ； AB － AC ＝ CB ； MN ＝ ON － OM .可不画出图形
[自主解答]
作出图形，如图．
船速 v 船与岸的方向成 α 角，由图可知 v 水 ＋v 船＝v 实际，结合已知条件， 四边形 ABCD 为平行四边形， 在 Rt△ACD 中，|CD |＝| AB |＝|v 水|＝10 m/min， | AD |＝|v 船|＝20 m/min，
①
在四边形 ABFE 中， EF ＋ FB ＋ BA ＋ AE ＝0， 所以 EF ＝ BF ＋ AB ＋ EA . ①＋②，得
[例3]
[研一题] 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为
10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对 岸，求船行进的方向．
2.2
2.2.1 ～ 2.2.2 向量 加法 运算 及其 几何 意义 向量 减法 运算 及其 几何 意义
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课前预习·巧设计
第 二 章
平 面 向 量
小问题·大思维
平 面 向 量 的 线 性 运 算
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名师课堂·一点通
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解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
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Байду номын сангаас[读教材·填要点]
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋b＋c＝ (a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) ． 4．相反向量 与a 长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记 作 －a . (1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a ，a＋b＝ 0 .
法二：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD
＝( AB － AC )＋( DC － DB ) ＝ CB ＋ BC ＝0. 法三：设 O 为平面内任意一点，则有 ( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD
[研一题] [例 2] 化简：( AB － CD )－( AC － BD )＝________. [自主解答] 法一：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝ AB ＋ DC ＋ CA ＋ BD ＝( AB ＋ BD )＋( DC ＋ CA ) ＝ AD ＋ DA ＝0.
(3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b与a同向，模满足|a
＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b与b同向，模满足|a＋b|＝|b| －|a|.
4．类比向量的加法运算是否有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成
立？ 提示：成立．因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|b||＝||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|.
法二：如图，在平面内取点 O， 连接 AO，EO，DO，CO，FO，BO，则
EF ＝ EO ＋ OF ＝ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ，
②
EF ＋ EF ＝ CF ＋ DC ＋ ED ＋ BF ＋ AB ＋ EA
＝( CF ＋ BF )＋( ED ＋ EA )＋( AB ＋ DC )． ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ ED ＋ EA ＝0， CF ＋ BF ＝0. ∴ EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC .
BA ，c－d＝ DC ，并画出 b－c 和 a＋d.
解：因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；
如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据 平行四边形法则可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
解析：对于 A 有 AB ＋ BC ＋ CD ＝ AD ； 对于 B 有 AD ＋( MB ＋ BC )＋ CM ＝ AD ＋( MC ＋ CM )＝ AD ； 对于 C 有(OC － OA)＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD ，只有 D 无法化简 为 AD . 答案：D
＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA)＋( OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA＋ OD － OB ＝0.
答案：A
已知任意四边形 ABCD， 为 AD 的中点， 为 BC 的中点， E F 求证： EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC . [证明] 法一： 如图， 在四边形 CDEF 中， EF ＋ FC ＋ CD ＋ DE ＝0， 所以 EF ＝－ FC － CD － DE ＝ CF ＋ DC ＋ ED .
[研一题] [例 1] 如图，已知正方形 ABCD 的边长
等于 1， AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c， 试作以下向量并分别求其模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
[自主解答] (1)如图，由已知 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ， 又 AC ＝c，所以延长 AC 到点 E， 使|CE |＝| AC |， 则 AE ＝a＋b＋c， 且| AE |＝2 2.
面几何中求角度的问题．
[通一类]
3．设 a 表示向西走 10 km，b 表示向北走 10 3 km，则 a－b 表示 A．向南偏西 30° 20 km 走 B．向北偏西 30° 20 km 走 C．向南偏东 30° 20 km 走 D．向北偏东 30° 20 km 走 ( )
解析：如图，作 OA＝a， OB ＝b， 则 BA ＝a－b.在 Rt△ABO 中，OA＝10， OB＝10 3， 则 AB＝20，∠ABO＝30° . 易知向南偏西 30° 行走 20 km.
直接写出类似的一系列式子．
[通一类]
2．下列四式中不能化简为 AD 的是 A．( AB ＋ CD )＋ BC
(
)
B．( AD ＋ MB )＋( BC ＋ CM ) C． OC － OA＋ CD D． MB ＋ AD － BM
[悟一法]
用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点： (1)两向量是否共起点； (2)弄清减向量与被减向量； (3)灵活选择加法法则．
[通一类]
1．如图所示，O 是四边形 ABCD 内 任一点，试根据图中给出的向量，确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示)，使 a＋b＝
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ DE ＝ EA ， BF ＝ FC .
∴ EF ＋ EF ＝ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＋ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝ DE ＋ AO ＋ OB ＋ FC ＋ EA ＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝( AO ＋ OB )＋( DA＋ AO ＋ OB ＋ BC ) ＝ AB ＋( DO ＋ OC ) ＝ AB ＋ DC .
则，只能用三角形法则．
2．若a＋b＝c＋d则a－c＝d－b成立吗？
提示：成立．移项法则对向量等式适用．
3．怎样理解||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 提示：(1)当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与 a，b都不相同，模满足||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b方向相同，模满足|a＋b|＝ |a|＋|b|.
5．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋( －b )，即减去一个 向量相当于加上这个向量的 相反向量 ． (2)几何意义：以 O 为起点，作向量 OA＝a，
OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即 a－b 可表示从 向量b的
终点 指向 向量a的终点 的向量．
[小问题·大思维] 1．任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行 四边形法则进行？ 提示：不一定．当两向量共线时，不能用平行四边形法
[答案] 0
[悟一法]
在进行向量加减法运算时，应熟练掌握以下结论： AB ＋
BD ＝ AD ； AB － AC ＝ CB ； MN ＝ ON － OM .可不画出图形
[自主解答]
作出图形，如图．
船速 v 船与岸的方向成 α 角，由图可知 v 水 ＋v 船＝v 实际，结合已知条件， 四边形 ABCD 为平行四边形， 在 Rt△ACD 中，|CD |＝| AB |＝|v 水|＝10 m/min， | AD |＝|v 船|＝20 m/min，
①
在四边形 ABFE 中， EF ＋ FB ＋ BA ＋ AE ＝0， 所以 EF ＝ BF ＋ AB ＋ EA . ①＋②，得
[例3]
[研一题] 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为
10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对 岸，求船行进的方向．
2.2
2.2.1 ～ 2.2.2 向量 加法 运算 及其 几何 意义 向量 减法 运算 及其 几何 意义
读教材·填要点
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第 二 章
平 面 向 量
小问题·大思维
平 面 向 量 的 线 性 运 算
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三
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