湖南省师大附中、岳阳一中等六校2019届高三下学期联考(娄底二模)数学(文)试题(解析版)

2019年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（）
A．B⊆A B．∁U A＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5} 2．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i）＝3﹣i，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
3．（5分）某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（）
A．B．C．D．
4．（5分）下列判断正确的是（）
A．“α＞45°”是“tanα＞1”的充分不必要条件
B．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
C．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”
D．若命题“p∧q”为假命题，则命题p，q都是假命题
5．（5分）已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1＝1，且a2，a4﹣2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m﹣n＝10，则a m﹣a n＝（）
A．10 B．20 C．30 D．5或40
6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求
一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为（）
A．17 B．11.5 C．10 D．7
7．（5分）已知实数x，y满足则z＝2x+y的最小值为（）A．0 B．﹣5 C．2 D．1
8．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）
A．B．
C．D．
9．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）
A．函数g（x）的最大值为+1
B．函数g（x）的最小正周期为π
C．函数g（x）在区间[，]上单调递增
D．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
10．（5分）已知直线y＝kx﹣1与抛物线x2＝8y相切，则双曲线：x2﹣k2y2＝1的离心率等于（）
A．B．C．D．
11．（5分）如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD
＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′D，使平面A′BD⊥平面BCD，则四面体A′BCD中，下列结论不正确的是（）
A．EF∥平面A′BC
B．异面直线CD与A′B所成的角为90°
C．异面直线EF与A′C所成的角为60°
D．直线A′C与平面BCD所成的角为30°
12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）
A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1] D．[﹣1，e）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知平面向量与的夹角为45°，＝（﹣1，1），||＝1，则|﹣2|＝．14．（5分）已知点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是．
15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1（n∈N*），设b n＝1+log2a n，则数列{}的前n项和T n＝．
16．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A sin B cos B+sin2B cos A
＝2sin C cos B．
（1）求tan B的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a+c的值
18．（12分）如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）求几何体EFABCD的体积．
19．（12分）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x、y，如果r∈[﹣1，﹣0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈（﹣0.75，﹣0.30]
∪[0.30，0.75），那么相关性一般；如果r∈[﹣0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．
（2）（ⅰ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；
（ⅱ）记[x]为不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣4.9]＝﹣5．对于（ⅰ）中求出的线
性回归方程y＝x+，将y＝[]x+[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气
温x与当天热饮每杯的销售利润f（x）的关系是f（x）＝2[]+3（x∈[﹣7，38））（单位：元），请问当气温x为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？
【参考公式】＝，＝．r＝，
【参考数据】（x i﹣）2＝1340，（y i﹣）2≈111，（x i﹣）（y i﹣）＝﹣
3953，＝15，＝100，362＝1296，372＝1369．
20．（12分）如图，椭圆C：+＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．
（1）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）证明：直线AM经过线段EF的中点．
21．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+x+1（a＞0）．
（1）设F（x）＝，讨论函数F（x）的单调性；
（2）若0＜a≤，证明：f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲
线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．
2019年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（）
A．B⊆A B．∁U A＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5} 【分析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系，A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁U A＝{1，5}．
【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，
∴由题知集合A与集合B互相没有包含关系，
A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁U A＝{1，5}．
故选：B．
【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．
2．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i）＝3﹣i，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1+i）＝3﹣i，
得z＝，
在复平面上复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色，利用列举法能求出所选颜色中
含有白色的概率．
【解答】解：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有：
黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共6种．
其中包含白色的有3种，
∴所选颜色中含有白色的概率为p＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）下列判断正确的是（）
A．“α＞45°”是“tanα＞1”的充分不必要条件
B．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
C．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”
D．若命题“p∧q”为假命题，则命题p，q都是假命题
【分析】利用充要条件判断A的正误；四种命题的真假判断B的正误，命题的否定判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误．
【解答】解：由否命题的概念知B错；
关于A选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；
关于D选项，p与q至少有一个为假命题；
C选项，满足命题的否定形式，所以C正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
5．（5分）已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1＝1，且a2，a4﹣2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m﹣n＝10，则a m﹣a n＝（）
A．10 B．20 C．30 D．5或40
【分析】由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解d，再由等差数列的通项公式求解．
【解答】解：由题知，
∵{a n}为等差数列，∴（3d﹣1）2＝（1+d）（1+5d），
∵d≠0，解得d＝3，
从而a m﹣a n＝（m﹣n）d＝30，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础题．
6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求
一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为（）
A．17 B．11.5 C．10 D．7
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：由程序框图，可得：
n＝3，x＝，v＝2
v＝4，n＝2
v＝7，n＝1
v＝11.5．n＝0
此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出v的值为11.5．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题．
7．（5分）已知实数x，y满足则z＝2x+y的最小值为（）
A．0 B．﹣5 C．2 D．1
【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，然后求解即可．
【解答】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，
易知在（0，1）处目标函数取到最小值，最小值为1，
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，求出目标函数的最优解的解题的关键．
8．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】判断函数为减函数排除C，D，再由f（π）＜0得答案．
【解答】解：由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f （x），
∴f（x）是奇函数，排除C和D，
将x＝π代入f（x），得f（π）＜0，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质及其应用，是基础题．
9．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）
A．函数g（x）的最大值为+1
B．函数g（x）的最小正周期为π
C．函数g（x）在区间[，]上单调递增
D．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式，根函数y＝A sin（ωx+φ）的图象
变换可求g（x）＝2sin（x﹣），利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：∵f（x）＝sin2x+cos2x，
∴化简得f（x）＝2sin（2x+），
∵将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数g（x）的图象，
∴g（x）＝2sin（x﹣），
由三角函数性质知：g（x）的最大值为2，最小正周期为2π，对称轴为x＝+kπ，k∈Z，
单调增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
10．（5分）已知直线y＝kx﹣1与抛物线x2＝8y相切，则双曲线：x2﹣k2y2＝1的离心率等于（）
A．B．C．D．
【分析】联立直线与抛物线方程，利用直线与抛物线相切，求出k，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：由得x2﹣8kx+8＝0，
因为直线与曲线相切，所以△＝64k2﹣32＝0，k2＝，
所以双曲线：x2﹣y2＝1的离心率等于＝，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD
＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′D，使平面A′BD⊥平面BCD，则四面体A′BCD中，下列结论不正确的是（）
A．EF∥平面A′BC
B．异面直线CD与A′B所成的角为90°
C．异面直线EF与A′C所成的角为60°
D．直线A′C与平面BCD所成的角为30°
【分析】运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．
【解答】解：A：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，
所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，EF⊄平面A′BC，A正确；
B：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，
所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；
C：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM∥A′C，
所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，
又EF＝1，EM＝A'C＝，FM＝BC＝，即∠FEM＝90°，故C错误；
D：连接A'F，可得A'F⊥BD，由面面垂直的性质定理可得A'F⊥平面BCD，
连接CF，可得∠A'CF为A'C与平面BCD所成角，由sin∠A'CF＝＝＝，则直线A′C与平面BCD所成的角为30°，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化
思想和运算能力，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）
A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1] D．[﹣1，e）
【分析】求出函数的导数f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．通过当a≥﹣1时，当a ≤﹣e时，当﹣e＜a＜﹣1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可．
【解答】解：∵f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．
当a≥﹣1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上单调递增，不合题意．
当a≤﹣e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上单调递减，也不合题意．
当﹣e＜a＜﹣1时，则x∈[1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）在[1，﹣a）上单调递减，x∈（﹣a，e]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e]上单调递增，又f（1）＝0，
所以f（x）在x∈[1，e]上有两个零点，只需f（e）＝1﹣+a≥0即可，解得≤a＜﹣1．
综上，a的取值范围是：[，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，导函数的符号以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知平面向量与的夹角为45°，＝（﹣1，1），||＝1，则|﹣2|＝．【分析】利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则化简求解即可．
【解答】解：平面向量与的夹角为45°，＝（﹣1，1），||＝1，
则|﹣2|＝＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查向量的模以及向量的数量积的运算法则的应用，考查计算能力．14．（5分）已知点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．
【分析】由题知OA⊥OB，可得圆心为AB的中点，半径为|AB|，从而写出它的标准方
程．
【解答】解：由题知OA ⊥OB ，
故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点（1，2），
半径为|AB |＝，
所以△ABO 外接圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5．
故答案为：：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于中档题．
15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1（n ∈N *），设b n ＝1+log 2a n ，则数列{}
的前n 项和T n ＝ ． 【分析】令n ＝1，a 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，推出a n ＝2a n ﹣1，然后求解通项公式，
化简数列{}的通项公式，求解数列的和即可．
【解答】解：令n ＝1，a 1＝1；
n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，
整理得：a n ＝2a n ﹣1，
所以a n ＝2n ﹣1，b n ＝1+log 22n ﹣1＝n ，
T n ＝++…+＝＝1﹣＝．
故答案为：
． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
16．（5分）已知四棱锥S ﹣ABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的
球面上，则球O 的表面积等于 π ．
【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，判断几何体的外接球的球心的位置，转化求解球的半径，即可得到球的表面积．
【解答】解：由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，平面SAB⊥平面ABCD，r1为△SAB外接圆半径，r2为矩形ABCD外接圆半径，L＝AB．
可得R2＝，计算得，R2＝+5﹣4＝，
所以S＝4πR2＝π．
故答案为：．
【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A sin B cos B+sin2B cos A
＝2sin C cos B．
（1）求tan B的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a+c的值
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin C≠0，可求tan B的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，cos B的值，利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求a+c的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵原等式化简得sin B（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin C cos B，
∴sin B sin（A+B）＝2sin C cos B，
∴sin B sin C＝2sin C cos B，…（3分）
∵0＜C＜π，sin C≠0，
∴tan B＝2，…（5分）
（2）∵tan B＝2，且0＜B＜π，
∴B为锐角，且＝2，
∴sin B＝，cos B＝，
∵S＝ac sin B＝，
∴ac＝3，…（9分）
∴由余弦定理得：a+c＝2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）求几何体EFABCD的体积．
【分析】（1）连接DB，由面面垂直的性质可得EB∥FD，设DB∩AC＝O，由ABCD为菱形，得到AC⊥DB，结合线面垂直的判定可得AC⊥平面EFDB，从而得到AC⊥EF；
（2）由已知可得EFDB为直角梯形，求出其面积，再由AC⊥平面EFDB，代入棱锥体积公式求解．
【解答】（1）证明：连接DB，∵DF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，
∴EB∥FD，则E，F，D，B四点共面，且AC⊥EB，
设DB∩AC＝O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥DB．
又DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，
∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF；
（2）解：∵EB∥FD，EB⊥BD，∴EFDB为直角梯形，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，AO＝CO＝，
∴梯形EFDB 的面积S ＝
＝6，
∵AC ⊥平面EFDB ，
∴V EFABCD ＝V C ﹣EFDB +V A ﹣EFDB ＝S ×AO +S ×CO ＝4．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19．（12分）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x 、y ，如果r ∈[﹣1，﹣0.75]，那么负相关很强；如果r ∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r ∈（﹣0.75，﹣0.30]∪[0.30，0.75），那么相关性一般；如果r ∈[﹣0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．
（2）（ⅰ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；
（ⅱ）记[x ]为不超过x 的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣4.9]＝﹣5．对于（ⅰ）中求出的线
性回归方程y ＝x +，将y ＝[]x +[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气
温x 与当天热饮每杯的销售利润f （x ）的关系是f （x ）＝2[]+3（x ∈[﹣7，38））（单位：元），请问当气温x 为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？
【参考公式】＝，＝．r ＝，
【参考数据】（x i﹣）2＝1340，（y i﹣）2≈111，（x i﹣）（y i﹣）＝﹣
3953，＝15，＝100，362＝1296，372＝1369．
【分析】（1）计算相关系数r的值，即可判断气温与当天热饮销售杯数的相关性；
（2）（ⅰ）计算回归系数、，写出线性回归方程；
（ⅱ）由题意知气温x与y的关系式，写出函数g（x）的解析式，即它的最大值即可．
【解答】解：（1）因为相关系数r＝＝，…（2分）
且﹣≈﹣0.96．
所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强…（4分）
（2）（ⅰ）因为回归系数＝＝＝﹣2.95，
＝100+2.95×15＝144.25，
所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为y＝﹣2.95x+144.25；…（7分）
（ⅱ）由题意可知气温x与当天热饮销售杯数y的关系为y＝﹣3x+144，
设气温为x时，则当天销售的热饮利润总额为g（x）＝（﹣3x+144）（2[]﹣3），其中（x∈[﹣7，38）），
即g（x）＝；…（10分）
易知g（﹣7）＝495，g（8）＝600，g（23）＝525；
故当气温x＝8时，当天的热饮销售利润总额最大，且最大为600元…（12分）
【点评】本题考查了线性回归方程与分段函数应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题．
20．（12分）如图，椭圆C：+＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．
（1）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）证明：直线AM经过线段EF的中点．
【分析】（1）由题意求出点A，M的坐标，即可求出直线AM的方程，
（2）设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆联立，根据韦达定理和向量的运算即可证明A，N，M三点共线，可得直线AM经过线段EF的中点
【解答】解：（1）由c＝＝1，
∴F（1，0），
∵直线l与x轴垂直，
∴x＝1，
由得或
∴A（1，），M（4，﹣）
∴直线AM的方程为y＝﹣x+．
证明（2）设直线l的方程为x＝my+1，
由得3（my+1）2+4y2＝12，
即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝，y1y2＝﹣，
∵EF的中点N（，0），点M（4，y2），
∴＝（x1﹣，y1）═（my1﹣，y1），＝（，y2），
∴•＝my1y2﹣（y1+y2）＝﹣﹣×＝0．
∴A，N，M三点共线，
∴直线AM经过线段EF的中点．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
21．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+x+1（a＞0）．
（1）设F（x）＝，讨论函数F（x）的单调性；
（2）若0＜a≤，证明：f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立．
【分析】（1）F（x）＝＝，F′（x）＝＝．对a分类讨论即可得出单调性．
（2）由0＜a≤，可得ax2+x+1≤x2+x+1．设h（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1，利用导数研究其单调性即可证明结论在（0，+∞）上恒成立．
【解答】解：（1）F（x）＝＝，
F′（x）＝＝．（1分）
①若a＝，F′（x）＝≤0，∴F（x）在R上单调递减．（2分）
②若a ＞，则
＞0，
当x ＜0，或x ＞时，F ′（x ）＜0，当0＜x ＜时，F ′（x ）＞0，
∴F （x ）在（﹣∞，0）或（
，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增．
③若0＜a ＜，则
＜0，
当x ＜，或x ＞0时，F ′（x ）＜0，当＜x ＜0时，F ′（x ）＞0．
∴F （x ）在（﹣∞，
），（0，+∞）上单调递减，在（
，0）上单调递增．（6分）
（2）证明：∵0＜a ≤，∴ax 2+x +1≤x 2+x +1．（7分）
设h （x ）＝e x ﹣x 2﹣x ﹣1，则h ′（x ）＝e x ﹣x ﹣1．
设p （x ）＝h ′（x ）＝e x ﹣x ﹣1，则p ′（x ）＝e x ﹣1，在（0，+∞）上，p ′（x ）≥0恒成立．
∴h ′（x ）在（0，+∞）上单调递增．（9分）
又∵h ′（0）＝0，∴x ∈（0，+∞）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增，
∴h （x ）＞h （0）＝0，∴e x ﹣x 2﹣x ﹣1＞0，e x ＞x 2+x +1，
所以e x ＞x 2+x +1≥ax 2+x +1，
所以f （x ）＞g （x ）在（0，+∞）上恒成立．（12分）
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲
线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+）．
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．
【分析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，两边同乘ρ后利用两角和的正弦公式以及互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
（2）由点到直线l的距离求得三角形的高，再根据面积公式可得．
【解答】解（1）由消去参数t得x+y＝4，直线l的普通方程为x+y﹣4＝0．（2分）
由ρ＝4sin（θ+）＝2sinθ+2cosθ得，ρ2＝2ρsin θ+2ρcos θ，
即x2+y2＝2y+2x，
∴曲线C的直角坐标方程是圆：（x﹣）2+（y﹣1）2＝4．（5分）
（2）∵原点O到直线l的距离d＝＝2．（7分）
直线l过圆C的圆心（，1），∴|MN|＝2r＝4，
所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4．（10分）
【点评】本题搞差了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．
【分析】（1）利用分段讨论的方法求解不等式；
（2）先确定函数的解析式，然后根据函数的单调性求出最小值，建立方程求解．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|．（1分）
当x＜﹣1时，f（x）≤7即为﹣3x+1≤7，解得﹣2≤x＜﹣1．
当﹣1≤x≤1时，﹣x+3≤7，解得﹣1≤x≤1．
当x＞1时，3x﹣1≤7，解得1＜x≤．（4分）
综上，f（x）≤7的解集为（5分）
（2）∵a＞﹣1，∴f（x）＝（7分）
由y＝f（x）的图象知f（x）min＝f（a）＝a+1＝3，∴a＝2．
故实数a的值为2．
【点评】本题考查含有两个绝对值不等式的解法以及分段函数的最值问题，属于中档题目．。