高等数学课后习题答案

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高等数学课后习题答案
【篇一:上海交大版高等数学课后习题解答】txt>第一章函数
1.设f(x)?x2?1,求f(x2)、?f(x)?。

解答:f(x2)?(x2)2?1?x4?1,?f(x)??[x2?1]2?x4?2x2?1。

所属章节:第一章第一节
难度:一级
aex?be?x
2.设f(x)?,求f(x)?f(?x)。

a?b
aex?be?xae?x?be?(?x)ae?x?bex
?解答:f(x)?,f(?x)?, a?ba?ba?b
aex?be?xae?x?be?(?x)
f(x)?f(?x)???ex?e?x。

a?ba?b22
所属章节:第一章第一节
难度:一级
?2x ?1?x?0,1?3.设?(x)??20?x?1,求?(3),?(2),?(0),?(?)。

2?x?1 1?x?3,?1解答:?(3)?2,?(2)?1,?(0)?1,?()?。

2所属章节:第一章第一节
难度:一级
4.求下列函数的定义域:
(1)y?2x11?xy?log;(2),(a?0,a?1); a2x?3x?221?x
(3
)y?3?2x1;(4
)y?arcsin. 5lg(1?x)
解答:(1)由x2?3x?2?0解得定义域为???,1??1,2??2,???;(2)由1?x?0,1?x?0解得定义域为??1,1?; 1?x
(3)由2?x?0,1?x?0,1?x?1解得定义域为??2,0?
(4)由3?x?0,3?2x?1解得定义域为[?1,3]。

5?0,1?;
所属章节:第一章第一节
难度:一级
5.下列各题中,函数f (x)与g (x)是否相同?
x(1)f(x)?lgx2, g(x)?2lg;
(2)f(x)?x,
g(x)
(3)f(x)?elnx, g(x)?x.
解答:(1)f(x)中的x可为一切实数,g(x)中的x要求大于零,即
定义域不同,故函数不同;
(2)f(x)将负数对应负数,而g(x)把负数对应正数,对应法则不同,故函数不同;
(3)f(x)中的x要求大于零,g(x)中的x可为一切实数,即定义域
不同,故函数不同。

所属章节:第一章第一节
难度:一级
6.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些是非奇非偶函数?(1)y?x2(1?x2);(2)y?3x2?x3;
1?xex?e?x
(a?0,a?1);(4)y?(3)y?loga; 1?x2
(5)y?x2cosx?1;(6
)y?ln(x?.
解答:(1)偶;(2)非奇非偶;(3)奇;(4)偶;(5)偶;(6)奇所属章节:第一章第一节
难度:一级
7.下列函数中哪些是周期函数?对于周期函数指出其周期t:
(1)y?1?tanx;(2)y?cos(3x?1);
(3)y?xsinx;(4)y?sin2x.
所属章节:第一章第一节
难度:一级
8.求下列函数的反函数:
(1)y?x2?2x;(2
)y
2x
(3
)y?ln(x;(4)y?x. 2?1解答:(1)由y?x2?2x,得y?(x?1)2? 1,解得x?1。

所以当y??1时,反函数y?1y??1时,反函数y?1
(2
)当y?1时,y?y?1时,y?
(3
)由y?ln(x
,得ey?x(ey?x)2?1?x2, e2y?1ey?e?yex?e?x
?解得x?,所以反函数为y?;2ey22
xyy2x
(4)由y?x解得2x?,即x?log2,所以反函数为y?log2。

1?x1?y1?y2?1
所属章节:第一章第一节
难度:二级
9.下列初等函数由哪些简单函数复合而成?
2(1
)y? (2)y?cosx; 3
(3)y?ex;(4)y?lnsin2x;
(5)y?sin(3x?1);(6)y?arctane
解答:(1
)y?u?2?x2;(2)y?cosu,u?22?1x. 2x;(3)y?eu,u?x2;
3
(4)y?lnu,u?sinv,v?2x;(5)y?u2,u?sinv,v?3x?1;(6)y?arctanu,u?ev,v??所属章节:第一章第二节 1 x2
难度:一级
10.设f(x)?ex,证明:
(1)f(x)?f(y)?f(x?y);(2)f(x)?f(x?y). f(y)
解答:(1)f(x)?f(y)?ex?ey?ex?y?f(x?y);
f(x)ex
(2)?y?ex?y?f(x?y) f(y)e
所属章节:第一章第二节
难度:一级
11.设f(x)?ln(x?1),证明:f(x2?2)?f(x?2)?f(x).
解答:f(x2?2)?f(x?2)?ln((x2?2)?1)?ln((x?2)?1)?ln(x2?1)?ln(x?1) x2?1?ln?ln(x?1)?f(x) x?1
所属章节:第一章第二节
难度:一级
12.设f(x)具有性质:f(x?y)?f(x)?f(y),证明:必有f(0)?0,
pf(x)?f(px)(p为任意正整数)
解答:在f(x?y)?f(x)?f(y)中,令x?0,即得f(0)?0。

在f(x?y)?f(x)?f(y)中,令y?x,即得f(2x)?2f(x);
在f(x?y)?f(x)?f(y)中,令y?2x,结合上式,即得f(3x)?3f(x);
设对正整数k,有f(kx)?kf(x),则在f(x?y)?f(x)?f(y)中,令y?kx,结合假设有 f((k?1)x)?(k?1)f(x),由数学归纳法得证。

所属章节:第一章第二节
难度:二级
13.设fn(x)?f(f(???f(x))),若f(x)?a?bx,证明:
n次
a(bn?1)nfn(x)??bx(b?1). b?1
a(b2?1)2?bx,即等式成立;解答:当n?2时,
f2(x)?f(f(x))?a?b(a?bx)?a?ab?bx?b?12
设n?k时等式成立,即a(bk?1)kfk(x)??bx,则当n?k?1时,b?1 fn(x?)ff???(fx(
n次a(bk?1)kabk?1?(1)?f(fk)x)?)a?b?)bx)??bk?1x,]即等式也成立,得证。

b?1b?1
所属章节:第一章第二节
难度:二级
14.验证下列恒等式:
(1)sinh(x?y)?sinhxcoshy?coshxsinhy;
(2)cosh(x?y)?coshxcoshy?sinhxsinhy;
x?yx?ycosh; 22
x?yx?ysinh(4)coshx?coshy?2sinh. 22(3)
sinhx?sinhy?2sinh
ex?e?xex?e?x
,coshx?解答:由定义sinhx?,从右往左证明 22
ex?e?xey?e?yex?e?xey?e?yex?y?e?(x?y)
sinhxcoshy?coshxsinhy????sinh(x?y),即证22222
得(1)式;类似可证其他三式。

所属章节:第一章第二节
难度:二级
第二章极限与连续
1.用“??n”定义验证下列极限:
【篇二:同济大学第六版高等数学上册课后答案全集】=txt>第一章
习题1?1
1? 设a?(??? ?5)?(5? ??)? b?[?10? 3)? 写出a?b? a?b? a\b及a\(a\b)的表达式?
解 a?b?(??? 3)?(5? ??)?
a?b?[?10? ?5)?
a\b?(??? ?10)?(5? ??)?
a\(a\b)?[?10? ?5)?
2? 设a、b是任意两个集合? 证明对偶律? (a?b)c?ac ?bc ?
证明因为
x?(a?b)c?x?a?b? x?a或x?b? x?ac或x?bc ? x?ac ?bc? 所以(a?b)c?ac ?bc ?
3? 设映射f ? x ?y? a?x? b?x ? 证明
(1)f(a?b)?f(a)?f(b)?
(2)f(a?b)?f(a)?f(b)?
证明因为
y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y
?(因为x?a或x?b) y?f(a)或y?f(b)
? y?f(a)?f(b)?
所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?
(2)因为
y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y?(因为x?a且x?b) y?f(a)且y?f(b)? y? f(a)?f(b)?
所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?
4? 设映射f ? x?y? 若存在一个映射g? y?x? 使g?f?ix? f?g?iy? 其中ix、iy分别是x、y上的恒等映射? 即对于每一个x?x? 有ix x?x? 对于每一个y?y? 有iy y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
证明因为对于任意的y?y? 有x?g(y)?x? 且f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 即y中任意元
素都是x中某元素的像? 所以f为x到y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若
f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2?
因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? y?x? 因为对每个y?y? 有g(y)?x?x? 且满足
f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?
5? 设映射f ? x?y? a?x ? 证明?
(1)f ?1(f(a))?a?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(a))?a ?
证明 (1)因为x?a ? f(x)?y?f(a) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(a))?
所以 f ?1(f(a))?a?
(2)由(1)知f ?1(f(a))?a?
另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(a))?存在y?f(a)? 使
f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(a)且f是单射? 所以x?a? 这就证明了
f ?1(f(a))?a? 因此f ?1(f(a))?a ?6? 求下列函数的自然定义域?
(1)y??
解由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)? 33
(2)y?1
? 1?x
解由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)?
(3)y?1??x2? x
解由x?0且1?x2?0得函数的定义域d?[?1? 0)?(0? 1]?
(4)y?1? 24?x
解由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)?
(5)y?sin?
解由x?0得函数的定义d?[0? ??)?
(6) y?tan(x?1)?
解由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? 22
?)?
(7) y?arcsin(x?3)?
解由|x?3|?1得函数的定义域d?[2? 4]?
(8)y??x?1? x
解由3?x?0且x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? 3)?
(9) y?ln(x?1)?
解由x?1?0得函数的定义域d?(?1? ??)?
(10)1y?e?
解由x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? ??)?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?
(1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x?
(2) f(x)?x? g(x)?x2?
(3)f(x)?x4?x3?g(x)?x?1?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ?
解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x?
(3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同?
(4)不同? 因为定义域不同?
?|sinx| |x|???3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)??464 |x|???0 3?
的图形?
解 ?(??|sin?|?1? ?(??|sin?|?? ?(??)?|sin(??)|?? ?(?2)?0? 442442662
9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?
(1)y?x? (??? 1)? 1?x
(2)y?x?ln x? (0? ??)?
证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?
y1?y2?xxx?x???0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)
所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的? 1?x
(2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有
x y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?l?0? x2
所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)
且?x1??x2?
因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l?
0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明?
(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?
如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??f(x)?
所以f(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?
(2)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数?
如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数?
如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??f(x)?
所以f(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?
12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又
非偶函数?
(1)y?x2(1?x2)?
(2)y?3x2?x3?
2 (3)y?1?x
? 1?x
(4)y?x(x?1)(x?1)?
(5)y?sin x?cos x?1?
x?x (6)y?a?a? 2
解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数?
(2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数? 1?(?x)21?x2??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(3)因为f(?x)?221?x1??x (4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是
奇函数?
(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
(?x)?(?x)?xxa?aa?a??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(6)因为f(?x)?22
13? 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数? 指出其周期?
(1)y?cos(x?2)?
解是周期函数? 周期为l?2??
(2)y?cos 4x?
解是周期函数? 周期为l??? 2
(3)y?1?sin ?x?
解是周期函数? 周期为l?2?
解不是周期函数?
(5)y?sin2x?
解是周期函数? 周期为l???
14? 求下列函数的反函数?
(1)y?x?1错误!未指定书签。

错误!未指定书签。

?
【篇三:高等数学上册练习题】
题。

4、lim
x?1
x?x?1
a、??1
b、?1
c、=0
d、不存在
5、当x?0时,下列变量中是无穷小量的有()。

1sinx?x
b、 c、2?1 d、lnx xxsin?x?1??()7、lim。

2x?1x?1
1
a、1
b、2
c、0
d、
2
a、sin
9、下列等式中成立的是()。

?2??1?a、lim?1???e b、lim?1??
n??n??
?n??n?1???1?
c、lim?1???e
d、lim?1??n??n??
?2n??n?
n
nn?2
?e
2n
?e
10、当x?0时,1?cosx与xsinx相比较()。

a、是低阶无穷小量
b、是同阶无穷小量
c、是等阶无穷小量
d、是高阶无穷小量
11、函数f?x?在点x0处有定义,是f?x?在该点处连续的()。

a、充要条件
b、充分条件
c、必要条件
d、无关的条件 12、数列{y n}有界是数列收敛的 ( ) .
(a)必要条件 (b) 充分条件(c) 充要条件 (d)无关条件 13、当x —
0 时,()是与sin x等价的无穷小量. (a) tan2 x
(b)
x
1
ln(1?2x)2(c) (d) x (x+2)
14、若函数f(x)在某点x0极限存在,则().
(a)f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值(b)f(x)在x0的函数值必存在,但不一定等于极限值
(c)f(x)在x0的函数值可以不存在(d)如果f(x0)存在则必等于极限值 15、如果limf(x)与limf(x)存在,则().
x?x?
(a)limf(x)存在且limf(x)?f(x0)
x?x
x?x
1
(b)limf(x)存在但不一定有limf(x)?f(x0)
x?x
x?x
(c)limf(x)不一定存在
x?x
(d)limf(x)一定不存在
x?x
16、下列变量中()是无穷小量。

1x?31-c. 2(x?3)b. sin(x?0)x
a. e(x?0) x?9xd. lnx(x?1) 17、lim
sinx
x??2x
?()
a.1
b.0
c.1/2
d.2
18、下列极限计算正确的是()
x
a.lim?x?0??1?1?x???e
b.limx??x1x?1
c.limx?0xsin1x?1
d.limsinxx??x?1
19、下列极限计算正确的是()
sinxx
a.lim
b.lim??1?1???ex3?812xx??x?1x?0?x?
c.limx?2x2?x?6?5
d.x?0x?1
20、.设f ( x ) ? ?? x? 2 ? 1 x ? 0 , 2x
? 1 x ? 0 则下列结论正确的是( )
a. f(x)在x=0处连续
b. f(x)在x=0处不连续,但有极限
c. f(x)在x=0处无极限
d. f(x)在x=0处连续,但无极限 23、lim1
x??
xsin
x
?(). (a)? (b)不存在(c)1 (d)0
24、limsin2(1?x)
1(x?1)2(x?2)
?().
x?(a)(b)? (c)0 (d)
?125、设f(x)??
?sinxx?0?x3
,要使f(x)在(??,??)处连续,则a?( ?a
x?0(a)0 (b)1 (c)1/3 (d)3
?326、点x?1是函数f(x)??
x?1x?1
?1
x?1的(). ??
3?xx?1(a)连续点(b)第一类非可去间断点(c)可去间断点(d)第二类间断点
2
).
x?028
、f(x)?,如果f(x)在x?0处连续,那么k?(). ?kx?0?
(a)0 (b)2 (c)1/2 (d)1
x?0?xex
30、设函数f?x??? 在点x=0处()不成立。

x?0?x
a、可导
b、连续
c、可微
d、连续,不可异 31、函数f?x?在点x0处连续是在该点处可导的()。

a 、必要但不充分条件 b、充分但不必要条件
c、充要条件
d、无关条件
1
sin2x。

2
111122
a、sinx
b、cos2x
c、?cosx
d、1?cos2x
4242
32、下列函数中()的导数不等于33、设y?ln(x?
x2?1),则y′= ().
1
1
①x?③x?34、已知y?
x2?1 ②x2?1
2xxx2?1 ④x2?1
14
x,则y??=(). 4
32
a. x
b. 3x
c. 6x
d. 6
36、下列等式中,()是正确的。

a.c.-
12x
dx?d
2x?
?1?
b.lnxdx?d??
?x?
ddx?cos? x d. s inx?
37、d(sin2x)=( )
a. cos2xdx
b. –cos2xdx
c. 2cos2xdx
d. –2cos2xdx 39、曲线
y=e2x在x=2处切线的斜率是( ) a. e4b. e2 c. 2e2 d.2
40、曲线y?x?1在x?1处的切线方程是()
1?1?dx?d?2?x?x?
a.y?
x3x3x3x3?b.y??c.y???d.y???22 2222 22
2
41、曲线y?x?2x上切线平行于x轴的点是 ( ).
a、 (0, 0)
b、(1, -1)
c、 (–1, -1)
d、 (1, 1)
42、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有()。

3
a、y?x ??1,2?
b、y?4x3?5x2?x?1 ?0,1?
c、y?ln1?x2 ?0,3?
d、y?
??
2x
??1,1? 2
1?x
43、函数y?x3?x?2 在其定义域内()。

a、单调减少
b、单调增加
c、图形下凹
d、图形上凹 44、下列函数
在指定区间(??,??)上单调增加的是().a.sinxb.e x c.x 2 45、下列结论中正确的有()。

d.3 - x
a、如果点x0是函数f?x?的极值点,则有f??x0?=0 ;
b、如果f??x0?=0,则点x0必是函数f?x?的极值点;
c、如果点x0是函数f?x?的极值点,且f??x0?存在,则必有
f??x0?=0 ;d、函数f?x?在区间?a,b?内的极大值一定大于极小值。

46、函数f?x?在点x0处连续但不可导,则该点一定()。

a、是极值点 b、不是极值点 c、不是拐点d、不是驻点 52、函数
f(x)=x3+x在()
a.???,???单调减少
c.???,0?单调减少,?0,???单调增加
53、函数f(x)=x2+1在[0,2]上()
a.单调增加
b. 单调减少
c.不增不减
d.有增有减 54、若函数f(x)在
点x0处取得极值,则( )
a.f?(x0)?0
b.f?(x0)不存在
c.f(x)在点x0处连续
d.f?(x0)?0或
f?(x0)不存在
c.???,?1?单调减少,??1,???单调增加
b.???,???单调增加
55、函数f(x)=e-x-1的驻点为()。

a. x=0
b.x=2
c. x=0,y=0
d.x=1,e-2 56、若f??x??0,则x0是f?x?的()
a.极大值点
b.最大值点
c.极小值点
d.驻点 57、若函数f (x)在点x0
处可导,则
x
lim
h?0
f?x0?2h??f?x0??
2h
1x
a.f?(x0)
???
b.2f(x0)
c.?f(x0)
d.?2f(x0)
58、若f()?x,则f??x??()
x3
?x单调增加区间是() 59、函数y?3
a.(-∞,-1)
b.( -1,1)
c.(1,+∞)
d.(-∞,-1)和(1,+∞)
4
1111d. -c.2a.b. -x2 x x x
?x
60、xd(e)?().
?
a.xe
?x
?c b.xe?x?e?x?c c.?xe?x?c
d.xe
?x
?e?x?c
61、下列等式成立的是( ) .a.lnxdx?d
11111
b.dx??d2 c.cosxdx?dsinxd.2dx?d xxxxx
62、若f(x)是g(x)的原函数,则().
(a)
?f(x)dx?g(x)?c(b)?g(x)dx??
2
f(x)?c
(c)g?(x)dx?g(x)?c(d)64、若
?f?(x)dx?g(x)?c
?f(x)dx?x
2x
e2x?c,则f(x)?().
2
2x
(a)2xe (b)2xe(c)xe (d)2xe2x(1?x) 65、设e ?x
2x
是f(x)的一个原函数,则xf(x)dx?().
?
(a)e?x(1?x)?c(b)e?x(x?1)?c (c)e?x(x?1)?c (d)?e?x(x?1)?c 66、若
?f(x)dx?x
2
?c,则?xf(1?x2)dx?().
(a) 2(1?x2)2?c (b) ?2(1?x2)2?c (c)
11
(1?x2)2?c (d) ?(1?x2)2?c 22
67、sin2xdx? ().
?
1
cos2x?c (b)sin2x?c2
12
(c)?cosx?c (d)?cos2x?c
2
(a)
68、下列积分值为零的是()
a. ?
??
??
x?x1e?e2ex?e?x
b. ?dx
c. ?dx
d. ???cosx?x?dxxsinxdx?1?1222 1
?
?
71、若
?f(x)dx?sin2x?c,则f(x)?
a.2cos2x
b. 2sin2x
c. -2cos2x
d. -2sin2x
5。

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