第五 连续时间系统的复频域分析

值
lim
t
f
(t)et
0 总是满足，收敛域为整个s平面，
拉斯变换无条件存在。
（2）、单位阶跃信号 (t)
容易看出，要 lim et (t) 0 只要 0 t 所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。
（3）、单边指数函数 et (t)
要 lim et (t)et lim e( )t 0
t
t
只要
0 dt
0 dt
0 dt
f (0 ) f (0 ) df (t)estdt 两边求极限得
2
j
f (t) 1
j
F
(s)estFra bibliotekds2j j
双边拉普拉斯变换
FD (s)
f (t)estdt
f (t) 1
2 j
j j
FD
(
s)e
st
ds
更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：
F (s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L 1[F (s)] [ 1
1 (1 esT ) s
例2: 如图有始周期函数 f(t)， 若其第一 个周期的函数记为f1(t)， 且 f1(t) F1(s)
求F(s)。
解： f (t) f1(t) f1(t T ) f1(t 2T )
F (s) F1(s) F1(s)esT F1(s)e2sT
0
0
e( s )t dt 1
0
s
et (t)
1
s
s=α为极点，所以收 敛域为 σ > Re(α)
同理 et (t) 1 s
有了指数函数这个基本变换对，我们就可以派 生出许多其他变换对。例如：
（1）、ε(t)
et (t)
0 (t)
1
s
0
1 s
（2）、单边正弦函数sinω0tε(t)
§5.1 引言
傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引 入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清 晰的物理意义。但频域分析有其局限性，表现 在：
1、要求函数绝对可积。
2、要求系统是稳定系统。
3、运算复杂
主要内容:
拉普拉斯变换与反变换 线性系统的拉斯变换分析法 线性系统的模拟(方框图) 信号流图与梅森公式
1
(s )2
9、初值定理：
若函数f(t)存在导数f /(t)，且f(t)↔F(s)，
f /(t)存在拉普拉斯变换。则：f (0 ) lim sF(s) s
证明：由时域微分性质 df (t) sF (s) f (0 ) dt
即：sF (s) f (0 ) df (t)estdt 0 df (t)estdt df (t)estdt
a2
a2
f (, t)d F(, s)d
a1
a1
例：已知 f (t) tet (t) 求 F (s) 解： et (t) 1 s
(1)、使用微分性质：
f
(t)
tet (t)
d ds
[ s
1
]
(s
1
)2
(2)、使用参变量微分性质：
[et (t)]
tet
(t)
[ s
1
]
(s
1
)2
F(s)
2、尺度变换
若： f (t) F (s)
则： f (at) 1 F ( s ) a 为大于0的常数
aa
3、时间平移
若： f (t) (t) F(s)
则： f (t t0 ) (t t0 ) F (s)est0
例1：f(t)如图求F(s)。
解： f (t) (t) (t T )
F(s) L [(t)] L [(t T )] 1 1 esT ss
（4）、单边斜变函数 t (t)
容易看出，要 lim ett (t) 0 只要 0 t
所以收敛域与单位阶跃 信号 (t)相同。
结论：
1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶 函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。
2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为 整个复平面。
3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛 域总是在某一收敛轴的右边。
f
(t
)
n0
(
1)
n
(t
nT
)
4、复频域平移
若： f (t) F (s) 则 f (t)es0t F (s s0 )
例如：由
sin(0t) (t)
s2
0
2 0
cos(0t) (t)
s2
s
02
可得：
e t
sin(0t) (t)
(s
0 )2 02
e t
c os(0t ) (t)
(s
s )2 02
0
0
本性质可推广到n阶导数，即：
d
n f (t) dt n
s n F (s)
s n1
f
(0 )
s n2
f
/ (0 )
s n3
f
// (0 )
sf (n2) (0 ) f (n1) (0 )
6、时域积分
若：f (t) F(s)
则
t
f
( )d
F(s)
0
s
证明：L [ t f ( )d ]
F1(s) ensT
n0
F1 ( s) 1 esT
由这个例子我们可以得出二个结论：
1、对于周期为T的有始周期函数，求
其拉普拉斯变换只要求其第一个周期的变 换，然后再乘以 1 。
1 esT
2、反之若见到象函数的分母含有因子
1 esT就应想到其原函数为有始周期函数， 所以做反变换时也只要做第一个周期的反
§5.2 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换
的观点定义的，我们将从信号分析的观点出发， 由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当
︱t︱→∞ 时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上 一个衰减因子e-σt，则 就可能符合绝对可积条件， 因而其傅里叶变换存在。
4、在收敛域中不包含极点。
5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变 换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴； 反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不 定包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。
§5.4 常用函数的拉普拉斯变换
1、指数函数 et (t) 为常数
F (s) f (t)estdt etestdt
变换，然后再以T为周期延拓。
例3：已知
F(s)
1 1 esT
求 f(t)。
解： 令
F
(s)
1
1 esT
1 esT 1 e2sT
F1(s) 1 esT
f1(t) (t) (t T )
从而：f (t) f1(t 2nT )
n0
f1(t), f(t) 如图：由图我们可 以写出f(t)更简洁的形式：
L : f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j j
是将信号分解为无穷多个
e st
分量，每个分量的幅度为
1 F(s) ds
2 j
这里的s与傅里叶变换中的jω相对应，常称
s为复频率，因此，拉普拉斯变换分析法常称为
复频域分析法。
在傅里叶变换中一对 e jt , e jt 合成一个
实信号，代表的是一个正弦分量；
2、t 的正幂函数 tnε(t) （n为正整数）
L [tn (t)] tnestdt 1 tndest
0
s0
1 [tnest n t e n1 stdt] n L [t n1 (t)]
s
0
0
s
L
[tn (t)]
n L
s
[t n1 (t)]
n s
n 1 L
s
[t n2 (t)]
在拉普拉斯变换中的一对est ,
est
也应
合成一个实信号。那么，它代表的是一个什么
分量呢？
3、est 的含义
B2
B1
C2
C1
A1
A2
C1* C2*
对est有了以上认识后，再来看看拉普拉斯 变换的意义。
拉普拉斯变换：将f(t) 沿 σ-j∞→σ+j∞分解 为无穷多个est分量。
拉普拉斯反变换： 沿 σ-j∞→σ+j∞积分路径， 将无穷多个est分量迭加得f(t)。
js
F ( j)
F(s)
js
对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶 变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
§5.6 拉普拉斯变换的性质
和傅里叶变换一样，拉普拉斯变换也有 一些重要的性质，掌握它很重要。一方面对 变换的本身可有一个深入的了解，另一方面 在求拉普拉斯正变换以及拉普拉斯反变换时 可简化我们的运算。
在 s 平面上 以σ= σ0 为界将 s 平面分为两个区域。
σ= σ0 称收敛轴（边界）， 称σ0 为收敛坐标， 而σ>σ0 为收敛域（不包
含边界），
2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域
下面将通过一些例子来总结有关单边拉普 拉斯变换收敛域的一些结论。
（1）、持续时间有限的单个脉冲信号
对于这种信号能量有限，因此不管σ取何
又如 由
t (t)
1 s2
可得
te t (t)
(s
1
)2
5、时域微分
若： f (t) F(s) 则 df (t) sF (s) f (0 )
dt
证明：L
[df (t)] dt
df (t) estdt 0 dt
estdf (t)
0
f (t)est s f (t)estdt sF (s) f (0 )
傅里叶变换：则是沿路径 -j∞→+j∞即虚轴 的分解与迭加，因此它是拉普拉斯变换的特例
§5.3 拉普拉斯变换的收敛域 当f(t)乘上一个因子e-σt后，f(t) e-σt有可能收
敛，到底是否敛域还取决于σ的取值，这就是拉 普拉斯变换的收敛域问题。
例如：f (t) e3t (t) 不满足绝对可积条件 若取 4 则 f (t)e4t et (t) 绝对可积 若取 2 则 f (t)e2t et (t) 仍不满足绝对可积条件 可见 3 满足绝对可积条件; 3仍不满足绝对可积条件
1、定义：能使f(t) e-σt 满足绝对可积条件的σ的 取值范围称拉普拉斯变换的收敛域
在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在， 在收敛域外则不存在。
F(s)的所有极点必须在收敛域外。
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若
时
0
lim f (t)e t 0 则
t
f (t)e t绝对可积
F (s) 存在， 0即为F (s) 的收敛域。
L
[sin0t (t)] L
{ 1 [e j0t 2j
e j0t ]}
1 {L 2j
[e j0t ] L
[e j0t ]}
1 2j
[ s
1
j0
s
1
j0
]
s2
0 02
sin 0t (t)
0 s2 02
同理可得
cos0t (t)
s2
s
02
收敛域为 0
另外，衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用 同样的方法求出。
[
t
f ( )d ]estdt
1
[
t
f ( )d ]dest
0
00
s0 0
1 est t f ( )d 1 f (t)estdt F (s)
s0
0 s0
s
本性质也可推广到多重积分的情况。
7、复频域微分与积分
微分 若：f (t) F(s) 则 tf (t) dF(s) ds
积分 若：f (t) F(s)
F [ f (t)e t] [ f (t)e t]e j tdt f (t)e( j)tdt
令 s j 则积分结果为 s 的函数，所以上式表示 为：
F (s) f (t)estdt
反之： f (t)e t F 1[F(s)] 1 F(s)e j td
2
f (t) 1 F (s)e( j)td s j d 1 ds
两种变换的性质有些是相似的，而有些 是有区别的，要注意它们的相似之处和不同 之处不要混淆。还要注意的是这些性质都是 针对单边拉普拉斯变换的。
1、线性
若： 则：
f1(t) F1(s) , f2 (t) F2 (s)
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s) a1, a2 为常数
n! sn1
tn (t)
n! s n1
由此可得：t (t)
1 s2
,
t2 (t)
2 s3
等等。
3、单位冲激函数 δ(t)
L [ (t)] (t)estdt 1 即 (t) 1 0
另外，符合绝对可积条件的函数不仅存在 拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以， 其傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化。
则
f (t)
F ( x)dx
t
s
证明: (积分)
F(x)dx
[
f (t)extdt]dx
f (t)[ extdx]dt
s
s0
0
s
f (t) estdt 0t
f (t)
F ( x)dx
t
s
8、对参变量的微分与积分
若：f (, t) F (, s) 其中为参变量
则：f (, t) F(, s)
j
F
(
s)est
ds]
(t
)
2j j
与傅里叶变换一样有时也记为
f (t) F(s)
表示它们是一对拉普拉斯变换对，f(t)称为原函 数，F(s)称为象函数。
2、拉普拉斯变换的物理意义
F:
f (t) 1 F( j)e jtd
2
是将信号分解为无穷多
e 个
jt 分量，每个分量的幅度为
1
2
F( j) d