《离散数学》课件-第4章二元关系

例1 设A＝{a,b,c,d}，R＝ {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求Rn。(用关系矩阵 求)。 解：
由于M4=M2，故R的所有自然数次幂的集合为： Rn{R0，R1，R2，R3}。
例2 设A＝{a,b,c,d,e,f},定义在A上的关系 R＝{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>}， S＝{<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>},求Rn和Sn。
0
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(3)合成关系的性质 ① 合成运算对∪,∩的分配律 定理 设R是从集合A到B的关系，S和T均为B到C 的关系。U是C到D的关系，则有
(1). R•(S∪T)=R • S∪R • T； (2). R•(S∩T) R • S∩R • T； (3). (S∪T) • U=S • U∪T • U； (4). (S∩T) • U S • U∩T • U；
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
S={<d,b>,<b,e>,<c,a>} 则：R • S= {<a,e>,<c,b>,<b,e>} S • R= {<d,b> ,<c,b>} R • R= {<a,b>,<b,b>} S • S= {<d,e>}
从这个例子可以看出：
R • SS • R，即合成运算不成立交换律。
例3 设Z是整数集合，R，S是Z到Z的两个关系：
R是A到B的关系，且R={<x,y>|x+y=6}， S是B到C的关系，且S={<y,z>y-z=2} 。 求R•S
பைடு நூலகம்
只需从两个关系的二重组中搜索： ∵<1,5>∈R,<5,3>∈S,∴<1,3>∈R•S ∵<2,4>R,<4,2>S,∴<2,2>R•S ∵<3,3>R,<3,1>S,∴<3,1>R•S
Rm • R0＝Rm • IA＝ Rm＝Rm+0 假设Rm • Rk=Rm+k，则有 Rm • Rk+1＝Rm •(Rk • R)＝(Rm • Rk) • R＝Rm+k+1 所以对一切m,n∈N有： Rm • Rn＝Rm+n，。
例 设A={1,2,3,4,5}，A上关系R为
R={<1,2> ， <2,1> ， <2,3> ， <3,4> ， <4,5>} 。
证明：(1)<x,z>∈R •(S∪T) ⇔y(y∈B ∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S∪T) ⇔y(y∈B ∧<x,y>∈R∧ (<y,z>∈S∨<y,z>∈T)) ⇔ y(y∈B ∧ <x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨
y(y∈B ∧ <x,y>∈R∧<y,z>∈T) ⇔ <x,z>∈R • S∨<x,z>∈R • T ⇔ <x,z>∈R • S∪R • T 从而有： R • S∪R • T= R •(S∪T)
分别是定义为从A到B和从B到C的二元关系， 其中A＝B＝C＝{1,2,3,4}。 1).用定义方法求R•S，S•R，R•R，S•S。则：
R•S＝{<1,3>,<3,2>,<2,3>}； S•R＝{<4,2>,<2,4>,<3,2>}； R•R＝{<1,2>,<2,2>}； S•S＝{<4,3>,<2,1>}。
MR ×MS =00
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
而 MS • R= MS×M R = 0 1 0 0
验证：R • S={<a,d>,<b,d>,<c,b>} S • R={<a,d>,<c,b>,<d,b>}
例2 设 R＝{<1,2>,<3,4>,<2,2>} S＝{<4,2>,<2,3>,<3,1>}，
A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}，C={C1,…, CP} R是A到B的关系，其关系矩阵MR是m×n阶矩阵。 S是B到C的关系，其关系矩阵MS是n×p阶矩阵。 合成关系R • S是A到C的关系，其关系矩阵
MR • S是m×p阶矩阵，且满足MR • S=MR×MS 其中×是按布尔运算进行的矩阵乘法。
例 设 A＝{a,b,c},B＝{1,2}，A上的关系 R＝{<a,1>,<b,2>,<c,1>}， S＝{<a,1>,<b,1>,<c,1>}，
则： R∪S＝{<a,1>,<b,2>,<c,1>，<b,1>}； R∩S＝{<a,1>,<c,1>}； R-S＝{<b,2>}； R ＝{<a,2>,<b,1>,<c,2>}＝A×B-R。
从而：R•S={<1,3>,<2,2>,<3,1>} 用数学方法推导即为: ∵x+y=6，y-z=2，消去y得x+z=4
关系图为: A → B → C
1 2
3
1
3
4
2
4
5
3
5
从而R•S的关系图
1
2
1
3
2
4
3
5
例2 集合A={a,b,c,d,e}，A上的关系R、S分别 为R={<a,b>,<c,d>,<b,b>}，
2).用关系图 求R•S。
R
S
AB
C
1。 。1 。1
2。 。2 。2
3。 。3 。3
4。 。4 。4
3).用关系矩阵求R•S。
MR•S＝ MR× MS
R•S AC 1。 。1 2。 。2 3。 。3 4。 。4
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
100×
(1). R0 =A是A上的恒等关系，即 R0={<x,x>|xA}；
(2). R1=R (3). Rn+1=Rn • R
定理 设R是集合A上的关系，m,n∈N，则有 （1） Rm • Rn=Rm+n （2）(Rm)n=Rmn 此定理证明可以用数学归纳法来证明。
证明：(1)对于任意给定的m∈N。 若n=0，则有
2) 如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是 Mn，即n个矩阵M之积。
即：Mn=M×M×…×M
3) 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到 Rn的关系图G。G 的顶点集与G相同。考察G的 每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路 径到达顶点xj，则在G 中加一条从xi到xj的边。当 把所有这样的边都找到以后，就得到图G'。
第四章 二元关系
河海大学《离散数学》
1 关系的交、并、补、差运算
设R，S都是集合A到B的两个关系，则： R∪S＝{<x,y>|(xRy)∨(xSy)} R∩S＝{<x,y>|(xRy)∧(xSy)} R-S＝{<x,y>|(xRy)∧(xSy)} R＝{<x,y>|(xRy)}
根据定义，由于A×B是相对于R的全集，所以 R＝A×B-R,且 R∪R＝A×B, R ∩R＝Φ。
R＝{<x,3x>|x∈Z}；
S＝{<x,5x>|x∈Z}。 则： R•S＝{<x,15x>|x∈Z}
S•R＝{<x,15x>|x∈Z} R•R＝{<x,9x>|x∈Z} S•S＝{<x,25x>|x∈Z} (R•R)•R＝ {<x,27x>|x∈Z} (R•S)•R＝ {<x,45x>|x∈Z}
(2)合成关系的关系矩阵 定理 设有集合
(4)设A＝{a},B＝{b1,b2},C＝{c},关系S，T，U定 义为，S、T是A到B的关系，U是B到C的关系， S＝{<a,b1>}, T＝{<a,b2>}, U＝{<b1,c>,<b2,c>}。
则由于：S∩T＝Φ,所以： (S∩T)•U＝Φ•U＝Φ,
但：S•U＝{<a,c>}，T•U＝{<a,c>}， 所以：(S•U)∩(T•U)＝{<a,c>}，
⑶. 对任意n∈N， Rn ∈{R0,R1,…,Rj-1};
证明： (1) Ri+k＝Ri • Rk＝Rj • Rk＝Rj+k
(2)对m归纳。若m=0，则有 Ri+0*d+k＝Ri+k 假设 Ri+nd+k＝Ri+k，其中d＝j-i，则m=n+1时，有
Ri+(n+1)d+k Ri+nd+d+k Ri+nd+k • Rd＝ Ri+k •
例1
设 集 合 A={a,b,c,d} ，
R={<a,b>,<c,d>,<b,b>}，
0S={<d,b>,<b,d>,<c,a>,<a,c>}，则
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
MR=
0 0
0 0
0 0
1 0
0
MS=
0 0 1
1 0 0 1
0 0
0 0
0 0 0 1
则，MR • S=
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
解 R0=IA,R1＝R， R2 ＝ R•R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， R3＝R•R•R＝R2•R
＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,e>,<c,f>}， R4＝R3•R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,f>}， R5 ＝ R4•R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>}， R6＝R5•R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>}
(S∩T)•U(S•U)∩(T•U)，
即：(S•U)∩(T•U)≠(S∩T)•U。
② 合成运算成立结合律
定理 ： 设 R，S，T分别是A到B，B到 C，C到D的关系， 则有(R • S) • T = R •(S • T)。
证明：略
(4)关系的幂
定义 设R是A上的二元关系，n∈N，则关系R的n次 幂Rn定义为：
2 关系的合成运算
引例：甲、乙、丙三人，设甲和乙是兄妹关系，乙 和丙是母子关系，则甲和丙是舅甥关系。 可利用“关系”的概念来表示以上联系：
如R表示兄妹关系，S表示母子关系，则舅甥关 系T是由关系R与S合成的。 再如：R表示父子关系，R与R合成则是祖孙关系。
(1)合成关系的定义
定义 设A,B,C是三个集合，R是A到B的关系，S是 B到C的关系，则R与S的合成关系是一个A到C的关 系，记作R•S。定义为：
R•S=
{<x,z>xA∧zC∧y(yB∧<x,y>R∧<y,z> S)}
定义的有关说明:
1. R与S能进行合成的必要条件是R的后域B一定是 S的前域B，否则就不能合成。 2. <x,z>有合成关系的定义为：至少有一个做中 间桥梁的元素y属于B，使x,y有关系R，y,z有关系 S。 例1 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5}，C={1,2,3}
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
证明：因为|A×A|=n2，则ρ(A×A)= 即A上有 个不同的二元关系。
而R0、R1、R2、…、 都是A上的二元关系且有 +1个。 因此，R的这些幂中至少有两个是相等的。
定理 设A是集合，R A×A，若有i，j∈N，i＜j，
使得Ri=Rj，则有
⑴. 对任何k∈N，有Ri+k=Rj+k;
⑵. 对任何k,m∈N，有Ri+md+k=Ri+k(d=j-i);
＝
＝R＝i+k+j-i Rk+j Rk+i
Rd=Ri+k+d
由归纳法＝命题得证。 ＝
结论
在计算关系R的幂时，当得到R的j次幂与前面 的某i次幂相同时，则已计算出R的所有自然数次 幂，即计算有限集合上的关系的所有次幂的过程 总会停止。
给定A上的关系R，如何计算Rn呢？方法如下：