微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件

所 决 定 的 平面面在上该叫点做 . 的 定义9 (法方向、法线) 曲 面 在 正 常 点切 处平 垂面 直
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
u u( x, y)
v
v( x,
y)
将 其z代 z(u入 ,v)得z： z[u (x,y)v ,(x,y)]z(x, y)
注 z即 r z (xr ,{ yx ),是 y ,z 曲 (x ,面 y )， 的 } (x,一y是种参特数)数 .殊表 的示 参，
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2.曲面的切平面和法线
{ R co 0 ,R s si0 ,0 n } t{ 0 ,0 ,1 }
直 母 线
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z 例2（带缝的球面）
v( )
2
R
f
O
2 u( )
O θ
y
x
2
参数方程：x R cc o, o y s R s cs o, i z s n R si
(其中 ,02)
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其坐标曲线为:
否则, 称为奇点.
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注 正 常点的几何 意义：
rv(u0,v0)
r u (u 0 ,v 0 ) r v (u 0 ,v 0 ) 0 z S 表 示 经 过(u0点 ,v0)的
P
u-曲 线 和 v-曲 线 不 相. 切
O
y
v -曲线 ru(u0,v0)
x
u -曲线
定义6(正规曲线网) 曲面上两族曲线构成的曲线网，
S
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切(1 平)若 面和法线S 曲 : 方r 程 r (u 面 ,v )， 切 平 面方程: ( R r ( u 0 , v 0 ) r u ( u ,0 , v 0 ) r v ( u , 0 , v 0 ) 0 )
rv
P(u 0,v0)ru S
Xx(u0,v0) Yy(u0,v0) Zz(u0,v0)
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y z z x x y
即rurv u y
u z,
u z
u x,
u x
u y0, (u,v)U.
v v v v v v
x y
不妨设 u x
u y
0,
对于方x程 y xy组 ((u u,,vv)) ( )
v v
满足： (i) x(u,v)，y(u,v)至少有一阶连续偏微 ；商
(ii)
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3.曲纹坐标网
v坐标曲线
v坐标直线
v
G
f
.
z
P(u0 , v0 )S
(u0 , v0 )
O
u u坐标直线
O
y u坐标曲线
x
设 u坐标直(曲 S 线)的 的方面 程方 为r v r (vu 程 0,,v), 为
则 rr过 (u,v0)曲 ( S{ )x 上 面 (u ,v 点 0 P)(y u ,(0u ,,vv 00) )的 z,(u u,-v 曲 0)} 或 线 ,v的 v0, 方程 同 样 , v坐标直线的方程为u u0, 则 rr过 (u0,v)曲 ( S{ )x 上 面 (u 0,v 点 P)(y u ,(0u p,p0 t精v,选v 0版) )的 z,(u v0 -,曲 v)} 或 线 ,u的 u0, 方6 程
o
x
y
可见,沿同一条直母线面 的唯 切一 平 ,法线平.行
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注 (1)切方向的表示法：
v
Gf
.
(u, v )
z
C
P(u,v) S
O
u
O
y
切
方
向
/
dr
du
/dtru dtrv
ddxvt//dr r ud u r vd,v
切方向
//dr d
v(ru
dduvrv),切
方
向
//ru
du dv
rv
,
切 方 向d常 u:dv表 用示 也， d用 r或 (d)表.示
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注 (2)切空间
v
Gf
.
(u0 , v0 )
rv
z
TP
(C )
P(u0r,uv0 )S
O
u
O
y
任给 V 一 r u (u 0 ,xv 个 0 )r v (u 向 0 ,v 0 ),量
则在 曲 S上面 必定能找 P(u到 0,v0过 )的点 曲:线 r r ( u 0 ( t t 0 ) v 0 , ( t t 0 )), 此 曲 线P在 (u0,v点 0)的 切 向 量 V. 就 是
{TrPu称 ,rv}是 为 曲S切 在 面 T P 点 的 P空 处 的 一 间 .切组 空 间基 ，
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3.曲面的参数变换及曲面的正侧 定义10 给( S 定 ):r r ( u 曲 ,v )( u ,,v ) 面 G
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(2)若 曲 S:z面 z(x,y)， 则 r {x,y,z(x,y)， }
于rx是 {1,0,p}， ry {0,1,q}， 其
中 p z，q x
z， y
曲 面 在(点 x, y)处 的 切 平 面 方 程 为 ：
Xx Yy Zz
1
0pLeabharlann 00 1q即 Z z p (X x ) q ( Y y ).
xy00
x(u0,v0) y(u0,v0)
x y
(ii)iJoc行 bi列 ((x u 式 ,,vy))(u0,v0) u x
u y
0,
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v v (u0,v0) 14
由反函数存在定理可知 ，总 存(u在 0,v0)的 一 个V 邻，域 在此邻域 V内， 方程组 ()有唯一一对连续反 可函 微数 的
v坐标曲线
v坐标直线
v
G
f
.
z
P(u0
C
, v0 )
S:rr(u,v)
(u0 , v0 )
O
u u坐标直线
O
y u坐标曲线
uu(t)v ,v(t) x
rr[u (t)v ,(t)]
或 uu(t)v ,v(t)
曲 线(C)的 曲 纹 坐 标 方 程
或uu(v)或vv(u) 或f(u,v)0
曲线 (C)在点 P(u0,v0)的切向量为
例1（带缝的圆柱面）
z
v(t)
f
O
2 u( )
o
t y
R
x
参数方程：x R co ,y s R si,z n t
(其 0 中 2 , t)
其坐标曲线为:
曲(线 t常 t曲(线 常
数 数 ))::r r { { R R c co 0 o ,,R R s s s sii,0 t,0 n t n } } 纬圆
(S)在任一P点 (,t)处的切平面方程为：
xRcos yRs in zt
Rs in Rcos 0 0,即 xc os ysin R
0
0
1
z
(S)在点P(,t)处的法线方程为：
x R R cco o s sy R R ssin in z0 t,
即 x cR c o o s sy sR is n in z0 t.
3.曲纹坐标网
v
G
v坐标直线族
f
z
.
(u0 , v0 )
v坐标曲线族
P(u0 , v0 )S
O
u u坐标直线族 O
x
u坐标曲线族的方程为v 常数；
v坐标曲线族的方程为u 常 数.
y
u坐标曲线族
u坐标曲线族 v坐与标曲线族形成网 的曲线
叫做曲纹坐标网 （ 或 参 数 曲 线 网 ）
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xu(u0,v0) yu(u0,v0) zu(u0,v0) 0
xv(u0,v0) yv(u0,v0) zv(u0,v0)
法 线 方程:
r ( u 0 , v 0 ) [ r u ( u 0 , v 0 ) r v ( u 0 , v 0 )]
X x (u 0 ,v 0 ) Y y (u 0 ,v 0 ) Z z(u 0 ,v 0 ) y u (u 0 ,v 0 ) zu (u 0 ,v 0 ) zu (u 0 ,v 0 ) x u (u 0 ,v 0 ) x u (u 0 ,v 0 ) y u (u 0 ,v 0 ) y v(u 0 ,v 0 ) zv(u 0 ,v 0 ) zv(u 0 ,v 0 ) x v(u 0 ,v 0 ) x v(u 0 ,v 0 ) y v(u 0 ,v 0 )
r t0r u(u 0,v0)d du tt0r v(u 0,v0)d dtv t0
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定义7(切方向) 与曲线(C)在点P的切向量平行的方向 叫做曲面在该点的切方 向 (或方向).
命题2 曲 面 在 一 点 处方 的向 所都 有在 切过 该 点 定义8(坐 切平标 面) 曲 曲 线 面的在 ru切 ,rv所 一 向决 量 点 定 线处 的的 平 的 . 切 面 ru坐 ,rv上 向
它们中间一个是有限的 ，
另一部分是无限的.
定义2（初等区域）
约当曲线的内部及 部其 在内 平面上的同胚像
称为平面上的初等区域.
y
如：
•
Ox
长方形内部 正方形内部 圆内部 椭圆内部
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全平面
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定义3（简单曲面）
平面上的初等E3区 中域 的在 同胚像称为 面. 如：
f
g
简单曲面
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2.简单曲面的参数表示
第二章
曲面论
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1
§1 曲面的概念
1.简单曲面及其参数表示；
主要内容 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线；
3.曲面上的曲线族和曲线网.
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2
16.06.2021
1.1 简单曲面及其参数表示
1.简单曲面
定义1（约当曲线）平面上不自交的称 闭为 曲约 线当曲 .
注
（约当定理）约当曲线分平面为两部分， 并 且 每 一 部 分 都 以 此线曲为 边 界 ，
特别地， C1类曲面又称为光滑曲面，
C 0类曲面又称为连续曲面.
定义5如 (正常r u 点( u )0 对 ,v 果 0 ) r v ( u S 0 于 ,: v r 0 ) r 0 ( u ,v 曲 ) 上 P ( 面 u 的 0 ,v 0 ) ，
则称点P(u0,v0)为曲面上的正常点，
v
G
.
(u, v )
f
z
P(xu, vy), z)
S
rr(u,v)
O
u
O
y
rr(u,v) {x (u ,v)y ,(u ,v)z,(u x,v)} ( S ),的向量式参数表示 x x ( u ,v )y , y ( u ,v )z ,z ( u ,v ),( S )的坐标式参数表示
u, v叫做曲面的参数或曲纹坐标. 曲面上 P(x的 ,y,z点 )也可直P 接 (u,v写 ). 作
曲 (线 常 数 ):纬 圆.
曲 (线 常 数 ):经线.
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例3（带缝的旋转曲面）
将 xo面 z 上 的 (C)： 曲 x线 (t),z(t)， ( t )
绕 z轴 旋 转 一 周旋 得转 一 (如 曲 带 )图 面 . 缝 的
z v(t)
f
O
2 u( )
(x, y,z)
o
y
x
参数方程：x ( t) c, o y s ( t) si ,z n ( t)
(其 0 中 2 , t)
其坐标曲线为:
曲(线 t常 数 ): 纬 圆. t曲(线 常 数 ):经线.
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1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线
1.光滑曲面，正常点
定义4 x (光滑x(曲u,面v)) ,y如 y(果 u,v)z,曲 z(u 面 ,v)或 方 rr程 (u,v)
中的函数有k直 阶至 的连续偏,微 则商称C为 k类 曲. 面