2018年考研数学三试题及全面解析(Word版)

2018年全国硕士研究生入学统一考试

数学三考研真题与全面解析（Word 版）

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 下列函数中在0x

=处不可导的是（ ）

（A ）()sin f x x x = （B

）()sin f x x =（C ）()cos f x x = （D

）()f x =【答案】(D )

【解析】根据导数定义，A. 0

00sin ()(0)

lim

lim lim 0x x x x x x x f x f x x x

→→→-==

= ，可导； B.0

00()(0)

lim

0x x x x x f x f x x

→→→-===, 可导； C. 2

0001cos 1()(0)

2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x

→→→-

-

-=== ，可导；

D. 200011

22lim lim

x x x x x x

→→→--== ，极限不存在。故选（D ）. 2. 设函数

()f x 在[0,1]上二阶可导。且1

0()0f x dx =⎰，则 （ ）

（A ）当

()0f x '<时，1()02f < （B ）当()0f x ''<时，1

()02f <

（C ）当

()0f x '>时，1()02f < （D ）当()0f x ''>时，1

()02

f <

【答案】（D ）

【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为01

2

x = 。

将函数

()f x 在01

2

x =

处展开，有

2111()1

()()()()()2222!2

f f x f f x x ξ'''=+-+-，其中12x ξ<<。

两边积分，得

1

1120

00111()1

0()()()()()2222!2

f f x dx f f x dx x dx ξ'''==+-+-⎰

⎰⎰

12

01()1()()22!2

f f x dx ξ''=+-⎰，

由于

1

20

()1()0()02!2f f x x dx ξ''''>⇒->⎰

，所以1

()02

f <，应选（D ）.

【解析二】排除法。

（A ）错误。令1()2f x x =-+，易知1

()0f x dx =⎰，()10f x '=-<，但是1()02

f =。

（B ）错误。令

2

1()3f x x =-+，易知1

()0f x dx =⎰，()20f x ''=-<，但是1()02

f >。 （C ）错误。令1()2f x x =-

，易知1

()0f x dx =⎰，()10f x '=>，但是1()02

f =。

故选 （D ）.

3. 设2

222(1)1x M dx x

ππ-

+=+⎰，2

21x x N dx e π

π-+=⎰

，22(1K dx π

π-=⎰，则（ ） （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K

M N >> （D ）K N M >>

【答案】（C ）

【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。

22

222

222222

(1)122(1)111x x x x M dx dx dx x x x π

ππππππ---+++===+=+++⎰⎰⎰，

222

2

(11K dx dx π

π

πππ-

-

=+>=⎰⎰，

令

()1,(,)22x f x e x x ππ=--∈-，

则()1x

f x e '=-，当(,0)2

x π

∈-时，()0f x '<，

当(0,

)2x π

∈时，()0f x '>，故 对(,)22

x ππ

∀∈-，有()(0)0f x f ≥=，因而 11x x e +≤，2222

11x x

N dx dx e ππ

πππ--+=<=⎰⎰，故K M N >>。应选（C ）. 4. 设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量。若产量为0Q 时平均成本最小，则 （ ） （A ）0()0C Q '=（B ）00()()C Q C Q '=（C ）000()()C Q Q C Q '=（D ）000()()Q C Q C Q '= 【答案】（D ）

【解析】平均成本 ()(),C Q C Q Q =2()()()

dC Q C Q Q C Q dQ Q

'-= ， 由于产量为0Q 时平均成本最小，因此000()()0C Q Q C Q '-=，故选（ D ）

5. 下列矩阵中阵，与矩阵110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

相似的是（ ） （A ）111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）101010001-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

【答案】（A ）

【解析】记矩阵110011001H ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则秩()3r H =，迹()3tr H =,特征值1λ= （三重）。观察,,,A B C D 四个选项，它们与矩阵H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2r E

H λ-=,()2r E A λ-=，()1r E B λ-=

()1r E C λ-=, ()1r E D λ-=。如果矩阵A 与矩阵X 相似，则必有kE A -与kE X

-相似（k 为任意常数），从而()()r kE

A r kE X -=-），故选（A ）,

6. 设,A B 是n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则（ ）