柱坐标与球坐标系

离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴
正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
解答
(2)已知点 N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标.
x＝ρcos θ，
解 由变换公式y＝ρsin θ，
得 x＝2cos π2＝0，y＝2sin 2π＝2，
z＝z，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
解答
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)已知点 P 的球坐标为4，34π，π4，求它的直角坐标；
柱坐标与球坐标系
学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间 的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.
思考
要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
其到原点距离为 2 3－02＋2－02＋3－02＝ 25＝5.
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解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝__3___， tan θ＝__2__.
解析 如图所示，
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
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解析 答案
1.空间点的坐标的确定
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8).
解答
反思与感悟
(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为 x＝ρcos θ，
(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ，
z＝rcos φ，
求出 r，φ，θ 即可；也可以利用 r2＝x2＋y2＋z2，tan θ
＝yx，cos φ＝zr来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 φ 和
θ 所在的位置.
跟踪训练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标. (1)2，4π，74π；
规律与方法
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，
即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成
的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成
的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距
答案
梳理
柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意 一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0, 0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位 置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示，这样，我们建 立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种
解
由变换公式，得 x＝rsin φcos θ＝4sin
3π 4 cos
π4＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sin
3π 4 sin
4π＝2 .
z＝rcos φ＝4cos 34π＝－2 2.
故其直角坐标为(2,2，－2 2).
解答
(2)已知点 M 的直角坐标为(－2，－2，－2 2)，求它的球坐标.
类型三 求点的坐标 例 3 已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，底面 ABCD 边长为 1，高 AA1 为 6， 建立空间直角坐标系(如图)，Ax 为极轴，求点 C 的直角坐标.柱坐标及球坐标.
解答
反思与感悟
(1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用 直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式. (2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.
解 由坐标变换公式，可得 r＝ x2＋y2＋z2＝ －22＋－22＋－2 22＝4.
由 rcos φ＝z＝－2 2，
－2 得 cos φ＝ r
2 ＝－
22，φ＝34π.
又 tan θ＝yx＝1，θ＝54π， 从而知 M 点的球坐标为4，34π，54π.
解答
反思与感悟
由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利z＝
z
.
知识点二 球坐标系
思考
要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来 表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能 否用两个角和一个距离来表示. 答案 可以.
答案
梳理
球坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意 一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角 为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方 向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置 就可以用有序数组(r，φ，θ)表示.这样，空间的点与有 序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标 系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标， 记做 P(r，φ，θ) ，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π .
z＝z， 利用tan θ＝ y ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ
x 的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标； 解 ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. ∵x＝0，y>0，∴θ＝π2. ∴点 M 的柱坐标为(1，π2，2).
跟踪训练3 在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.
解答
当堂训练
1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在 xOy 平面上的
射影为 Q，则 Q 点的坐标为
A.(2,0,3)
√B.( 2， 2，0)
C.( 2，4π，3)
D.( 2，π4，0)
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答案
解答
(2)3，56π，53π.
解 ∵(r，φ，θ)＝3，56π，53π，
x＝rsin φcos θ＝3sin
5π 6 cos
53π＝34，
∴y＝rsin φsin θ＝3sin
5π 6 sin
53π＝－3 4 3，
z＝rcos φ＝3cos
56π＝－3
3 2.
∴34，－3
4
3，－3
2
3为所求.
解答
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x＝ rsin φcos θ ， y＝ rsin φsin θ ， z＝ rcos φ .
例 1 (1)设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标；
解答
(2)已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标. x＝ρcos θ，
2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为
√A.(2,0,2)
C.( 2，0,2)
B.(2，π，2) D.( 2，π，2)
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答案
3.在球坐标系中，方程r＝2表示空间的
A.球
√B.球面
C.圆
D.直线
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答案
4.点 P 的柱坐标为(4，π6，3)，则点 P 到原点的距离为__5___. 解析 x＝ρcos θ＝4cos π6＝2 3， y＝ρsin θ＝4sin 6π＝2. 即点 P 的直角坐标为(2 3，2,3)，
对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ， z)叫做点P的柱坐标，记做 P(ρ，θ，z) ，其中__ρ_≥__0_,0_≤__θ_<_2_π_，__z_∈__R__.
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式
x＝__ρc_o_s__θ_，