群论

群论
一群的定义
群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。

变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。

在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。

而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。

本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。

教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。

对下列问题引起注意：
（1）半群，幺半群和群的关系.
（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.
（3）群的阶和群中元素的阶.
说明：本章群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）
一、半群
定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.
注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”. （2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G . 定义2. 设},{ G 是一个半群，那么
∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群. ∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.
例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。

（但不是有限半群）
同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙
∙
∙
C C C R R R Q
},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙
N N N N 都是可换半群。

例2． 取F 为任一数域，)(F M n 为F 上一切n 阶方阵组成的集合。

若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法，那么}),({+F M n 和}),({⋅F M n 均为半群，但}),({+F M n 为可换半群，而当1>n 时，}),({⋅F M n 不是可换
半群。

若)
(F M
∙
表示一切非零矩阵（n 阶）组成的集合，那么}
,)({+∙
F M
n
和
},)({⋅∙
F M
n
都不是半群了（为什么？）
例3、设}4,3,2,1{=A ，而A
A P S
—)(=的全部子集构成的集合，通常叫
做A 的幂集。

那么},{ S 及},{ S 都是有限可换半群。

二、monoid （幺半群）
定义3、设},{ A 是一个代数体系，如果A 中存在一个特殊的元素，具
有性质：
A a ∈∀都有a ae ea ==，那么称e 为A 的关于“ ”的单位元（恒
等元）。

结论1：若},{ A 中有单位元e ，那么单位元一定是唯一的. 证明：设21,e e 都是A 的单位元，2211e e e e ==⇒
.
定义4：设},{ G 是一个半群，如果G 中含有单位元e ，那么称},{ G 为monoid ，通常写为},,{e G .
例4 在例1中，*N C Q Z ,,,关于“+”都是monoid ，因为有单位元0；而关于“·”也是monoid ，因为1是单位元。

在例2中，},)({+F M n 的单位元是0（零矩阵），而}),({⋅F M n 的单位元为I （单位矩阵）.
在例3中，},{ S 的单位元是S ，},{ S 的单位元是∅. 思考题：能否举出一个是半群但不是monoid 的例子？ 三、群
定义5：设},,{e G 是一个monoid ，如果对G a ∈，满足： e a a a a G a ='='∈'∃使,，那么称a '是a 的逆元（正则元）。

结论2：若a 在monoid },,{e G 中有逆元，那这个逆元是唯一的，所以，
可以将a 的逆元同意记为1-a .
证明：设a a ''',都是a 的逆元，那么e a a a a e a a a a =''=''='='且,，于是
a e a a a a a a a a e a ''=''='''='''='=')()(.
定义6：（群的定义）设},,{e G 是一个monoid ，如果},,{e G 中每个元素
都有逆元，则称},,{e G 是一个群。

说的更具体一点：G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条： （1） “ ”在G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算） （2） “ ”满足结合律 (即},{ G 是半群) （3） },{ G 中有单位元e ，（即},{ G 是monoid ） （4） },{ G 中每个元都有逆元（即},{ G 是群）
课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？ 1、},{+Z 2、},{⋅Z 3、},{+Q 4、},{⋅Q 5、},{⋅∙
Q 6、},{+R 7、},{⋅R 8、},{⋅∙
R
9、},{+C 10、},{⋅C 11、},{⋅∙
C 12、},{+N 13、},{⋅N 14、},{+*
N
15、},{⋅*
N
16、}),({+F M n 17、}),({⋅F M n 18、},)({⋅∙
F M
n
19、},{ S
20、},{ S
解：1是群. 因为},{+Z 有单位元0（即=e 0），而n Z n ,∈∀的逆元为n -， 因为0)()(=+-=-+n n n n . （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群. 2不是群. 因为},{⋅Z 有单位元1，而Z ∈0，0不可能有逆元（100≠=a ）
同理4，7，10，15，17也不是群，而13中虽然无零，但除了1外，
N
中其它元都没有逆元，所以13也不是群。

18不是群，因为若)(F M A n ∈且0=A 时，A
不可逆A ⇒没有逆元.
19不是群，因为除了∅外，其它元都没有逆元. 20不是群，因为除了S 外，其它元都没有逆元.
注意：在群},{ G 中，通常称“ ”为乘法，因而称群G 为乘法群。

但
有时我们会遇到用“加法”做成的群，例如什么的1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加法群。

为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并统记为0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为a -，（而不用1-a ）（譬如群},{+Z 中的零元为0，3的负元为-3）
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词汇而已。

同理加法群中的相加，并非一定是数的相加，更多的表示“抽象加法”的含义。

一种重要的群：我们应该能回忆得起第4讲中曾出现过的模n 的剩余类集合]}1[,],2[],1[],0{[-=n Z n
为了便于掌握，现令4
=n
，我们期望能使4Z 成为一个群.
第一步：在4Z 中定义代数运算，使其成为一个代数体系： 在]}3[],2[],1[],0{[4
=Z 中规定加法“+”
：][}[][j i j i +=+ 其中 ]3[]2[]1[],1[]3[]2[=+=+事实上，可用运算表来完全刻划“+”，可知“+”是封闭的。

第二步：验证“+”满足结合律，进而使},{4+Z 成为半群。

])
[]([][][])[]([])[]([][][][)]([])[(][][][])[]([,][],[],[4c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a Z c b a ++=++∴++=++=++=++=++=++∈∀则事实上，
第三步：找出},{4+Z 中的单位元（即零元），使其为monoid
事实上，]0[][]0[][]0[]0[][,][4∴=+=+=+∈∀a a a a Z a 就是},{4+Z 的零元。

第四步：说明4Z 中每个元都有逆元（即负元），使其成为群（即加法
群）
事实上，从运算表中就容易地找到[0]的负元是本身， []1的负元为[[]3，
[]2的负元为本身，[]3的负元为[]1.
由上述四步的论述知},{4+Z 就是一个加法群，叫做整数模4的剩余类加群。

一般而言：利用上述的论证，同样可以定义},{+n Z 为加群，叫做整数模n 的剩余类加群。

四、群的各类定义
有人曾经说过，群的定义种类繁多，不同的定义约有40多种，在本讲中我们不可能一一罗列，但依教材的安排，介绍一些基本的东西。

按照教材中的顺序，不妨称定义6为群的第0定义，为了引入群的其它定义，需要做一些预备工作：
定义7：设},{ G 是一个半群，若有一个特别地元G e L ∈，使
G
a ∈∀，都有a a e L =.
则称L e 为G 的左单位元. 而对G a ∈，若存在G a ∈，使L e a
a =，则称a
为a 的左逆元，记1
-=L
a a
.
定义8：（群的第一定义）设},{ G 是一个对“ ”封闭的半群，如果
G b a ∈∀,，方程b
ya b ax ==,在G 中有解，那么称G 为群.
定义9（群的第二定义）设},{ G 是一个对“ ”封闭的半群，而且G 中存在左单位元L e ，且G a ∈∀，a 都有左逆元，那么G 为群。

⇔
已知},{ G 是半群，且有单位元.
G
中每个元a 都有逆元. 由于单位元
必是左单位元，逆元必是左逆元，故利用群的第二定义知},{ G 是群.
已知},{ G 是半群，L e 是G 的左单位元，任一个a G a ,∈有左逆元1-L a ，下面须证：
（1）1-L a 也是a 的右逆元：
1
1--⇒∈L
L a G a 本身也有左逆元a '，使L L e a a ='-1
于是
L L L L L L L L L L L e a a a e a a a a a aa a a aa e aa ='='='='==--------1
1
1
1
1
1
1
1
)()())(()( 11--⇒=∴L
L L
a
e aa
也是a 右逆元。

故1
11-∆
--==a
a
a
R
L
.
（2）左单位元L e 也是右单位元：
a
ae a a e a aa
a a a ae e aa
e a a G a L L L L L =⇒====∴==∈∀----)()()1(,,,1
11
1
由则
e e e R L ==∴:.
这说明：G 中有单位元，每个G a ∈都有逆元1-a ，由群的第0定义知
},{ G 是群.
思考题：上述（2）的证明中要用到（1）的结果，能否不使用（1）也将（2）证出? [证明]：
G
a ∈∀ ，由条件知a 有左逆元a '，而a '又有左逆元a ''，于是
L L e a a e a a ='''=',.
进而：
a
a e a a a a a a e a e e a e a a a ae a a ae e ae L L L L L L L L L =='''='''=''=''='''='''==)()()())(()(
的解
是并的解，
是则b ya ba b be a ba
b ax b a b eb b a a a a e aa G b a =∴===⇒==∴==∈∀------1
1
1
111
)()(,,
由群的第一定义⇒G
是群.
取定G b ∈，由条件知b
yb =在G 中有解e ，即b
eb
=，须证e 是G 的
左单位元.
事实上，G a ∈∀，故a
bx =在G 中有解（条件），
设解为a bc c eb bc e ea a bc c ====∴=⇒)()(，由a
的任意性⇒e 是G 的左
单位元.
G
a ∈∀，则e ya =在G 中有解a '，使a e a a '∴=',是a 的左逆元.
因为G 中有左单位元，且G 中每个元a 都有左逆元，由前面的论证可知，左单位元必是单位元，左逆元必是逆元，利用群的第0定义
⇒G
是群。

注意：如果将群的第二定义中的“左”换成“右”，显然又得到“群的第三定义”，很显然这四个定义是等价的。

而本讲的作业则是证明：群的第一定义⇒群的第三定义。

五、群的名词和符号
（1）设},{ G 是一个群，那么集合G 中含元素的个数称为群G 的阶.简记为G .
如果<=n G +∞，称G 为有限群，否则当=
G
+∞时，称G 为无限群.
譬如：},{+Z 是无限群，而},{+n Z 是有限群. （2）群的指数律和倍数律
在群G 中，G b a ∈∀,，则有下列等式成立（N n ∈）
乘法的指数律⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫
==∙=∙==∙=∙---∆
+1
1
0)
()()
(;n n n
nm
m
n m
n m
n
n
n
a a
a
e a a
a a
a
a a aa a
当群是加法群时，由于符号起了变化，所以有下列倍数律：
)()()()()()()(0
0na a a a a a a a n a
mn na m b a n nb na a m n ma na a a a a na n
n
n
-=+++-=----=-∙=∙+=+∙+=+∙=∙+++=∙∆
（3）若G 中任二个元G b a ∈,，都有ba
ab =，则称G 是交换群（可换
群，Abel 群）
思考题：Which of following sets, with the indicated operation, it an abelian group? Show out its indetity and inverse of any x in set? 1、a y x xy ++= (a is a fixed constant),on the set
R
)
2、2
xy xy =, on the set }0,{≠∈x R x x
3、xy
y x xy ++=, on the set }1,{-≠∈x R x x
4、1
++=
xy y x xy
, on the set }11,{<<
-∈x R x x .。