3.9 应力函数解法
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对于三维弹性问题，可选Φ 6 个分量中的 3 个作为应力函数，共有 17 种选法。
应力函数
Maxwell 应力函数 应力*
Φ 00 Φ0 Φ
令： Φ= Φ= Φ=
= ,+ ,
(*)
= ,+ ,
= ,+ ,
=− ,
=− ,
=− ,
应力函数
Morera 应力函数 应力
0Φ Φ Φ 0Φ ΦΦ 0
令： 1
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
*上面所有应力函数都是满足平衡方程的可能解，应力函数的完备解（即 Beltrami-Sheafer 应函数）为：
其中 h 为调和函数。
= ∇ × × ∇ + ∇ + ∇ − (∇ )
总结：
应力函数法既保留了应力解法的优点（能直接求解应力分量），又吸收了位移解 法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知量降为 3 个），所以是弹性理论中最 常用的解法之一。
Φ = −2 1
Φ = −2
=,
=,
=,
1 = −2 − , + , + , ,
1 = −2
,− ,+ , ,
1 Φ = −2
=−
, + , − , , (**)
(*)
Φ, +
=
Φ ,=
Φ, +
Φ, +
Φ, =
Φ , =Φ , +Φ , = , + ,
=
Φ ,=
Φ, +
Φ, +
Φ,
=
Φ , =− ,
(6 个)
位移公式(自动满 足协调方程)
(3 个)
本构方程
自动满足平衡方程
(6 个)
Φ
类似应变协调关系，我们先定义一个张量（不协调张量）：
=∇× ×∇ 或
=
,
它一定满足 Bianchi 恒等式：
来自百度文库∇∙ = 或
,=
,
(1)
式(1)与无体力时的平衡方程（∇ ∙ = ）极为相似。相似的，我们把应力表示成： =∇× ×∇
位移解法与应力函数解法的流程图：
红线箭头：位移解法； 绿色箭头：应力函数解法；
应变
协调方程 几何方程
位移
本构方程
应力
应力公式 平衡方程
应力函数
Email: onexf@xtu.edu.cn
=
,
(其中：Φ = Φ )
(2)
ΦΦΦ
[Φ] =
ΦΦ
Φ
场函数 称为 Beltrami 应力函数张量，它自动满足平衡方程。 将(2)式代入常体力的 B-M 方程（3 个）来求解，得：
∇
,+
, , =0
(3)
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
(**)
=
Φ ,=
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
= −Φ , + Φ , + Φ , = − , + , + , = − , + , + , ,
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
对于二维平面弹性问题，可进一步简化。若选 1 个Φ 分量作为应力函数： 若令 Maxwell 量为： = = 0； = Φ( , ) 这就是平面问题中的 G.B. Airy 应力函数（最早的应力函数）。 若令 Morera 量为： = Φ( , )； = = 0 这就是柱形杆扭转问题中的 Prandtl 应力函数
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
应力函数解法
应力函数的引出： 应变 6 个分量可由协调方程约束后，化为独立的 3 个分量，相当于 3 个位移（单 值连续）； 应力 6 个分量可由平衡方程约束后，也可独立出 3 个分量，它也一定存在类似位 移的事先满足平衡方程的量。下面来寻找这个量：
应力函数
Maxwell 应力函数 应力*
Φ 00 Φ0 Φ
令： Φ= Φ= Φ=
= ,+ ,
(*)
= ,+ ,
= ,+ ,
=− ,
=− ,
=− ,
应力函数
Morera 应力函数 应力
0Φ Φ Φ 0Φ ΦΦ 0
令： 1
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
*上面所有应力函数都是满足平衡方程的可能解，应力函数的完备解（即 Beltrami-Sheafer 应函数）为：
其中 h 为调和函数。
= ∇ × × ∇ + ∇ + ∇ − (∇ )
总结：
应力函数法既保留了应力解法的优点（能直接求解应力分量），又吸收了位移解 法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知量降为 3 个），所以是弹性理论中最 常用的解法之一。
Φ = −2 1
Φ = −2
=,
=,
=,
1 = −2 − , + , + , ,
1 = −2
,− ,+ , ,
1 Φ = −2
=−
, + , − , , (**)
(*)
Φ, +
=
Φ ,=
Φ, +
Φ, +
Φ, =
Φ , =Φ , +Φ , = , + ,
=
Φ ,=
Φ, +
Φ, +
Φ,
=
Φ , =− ,
(6 个)
位移公式(自动满 足协调方程)
(3 个)
本构方程
自动满足平衡方程
(6 个)
Φ
类似应变协调关系，我们先定义一个张量（不协调张量）：
=∇× ×∇ 或
=
,
它一定满足 Bianchi 恒等式：
来自百度文库∇∙ = 或
,=
,
(1)
式(1)与无体力时的平衡方程（∇ ∙ = ）极为相似。相似的，我们把应力表示成： =∇× ×∇
位移解法与应力函数解法的流程图：
红线箭头：位移解法； 绿色箭头：应力函数解法；
应变
协调方程 几何方程
位移
本构方程
应力
应力公式 平衡方程
应力函数
Email: onexf@xtu.edu.cn
=
,
(其中：Φ = Φ )
(2)
ΦΦΦ
[Φ] =
ΦΦ
Φ
场函数 称为 Beltrami 应力函数张量，它自动满足平衡方程。 将(2)式代入常体力的 B-M 方程（3 个）来求解，得：
∇
,+
, , =0
(3)
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
(**)
=
Φ ,=
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
= −Φ , + Φ , + Φ , = − , + , + , = − , + , + , ,
Email: onexf@xtu.edu.cn
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
对于二维平面弹性问题，可进一步简化。若选 1 个Φ 分量作为应力函数： 若令 Maxwell 量为： = = 0； = Φ( , ) 这就是平面问题中的 G.B. Airy 应力函数（最早的应力函数）。 若令 Morera 量为： = Φ( , )； = = 0 这就是柱形杆扭转问题中的 Prandtl 应力函数
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
应力函数解法
应力函数的引出： 应变 6 个分量可由协调方程约束后，化为独立的 3 个分量，相当于 3 个位移（单 值连续）； 应力 6 个分量可由平衡方程约束后，也可独立出 3 个分量，它也一定存在类似位 移的事先满足平衡方程的量。下面来寻找这个量：