【课件】4.4.1、4.4.2 对数函数的概念、图象和性质(课件)(新教材人教版必修第一册)

解：(1)对数函数 y＝log2x， 因为它的底数 2>1， 所以它在(0，＋∞)上是增函数． 又 3.4＜8.5，于是 log23.4<log28.5. (2)对数函数 y＝log0.3x， 因为它的底数 0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数． 又 1.8＜2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.
1．比较对数值大小的注意点 (1)比较两个同底数的对数大小首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判 断两个对数值的大小．
(2)底数中含有参数时，需要对底数进行讨论． (3)对于不同底的对数，可以估算范围，如 log22<log23<log24，即 1<log23<2，从而借助中间值比较大小． 2．求 y＝logaf(x)型函数的值域的注意点 (1)先求定义域，进而确定 f(x)的取值范围； (2)利用对数函数 y＝logax 的单调性求出 logaf(x)的取值范围．
x∈[1，＋∞)时，y∈ 的特点
_[_0_，__＋__∞_)__
x∈[1，＋∞)时，y∈_(_－__∞_，__0_]_
对称性 函数 y＝logax 与 y＝ x 的图象关于_x_轴__对称
预习验收 衔接课堂
1．下列函数是对数函数的是( D ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1) C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是( C ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．已知 f(x)＝log3x，则 f 95＋f(15)＝_3_. 4.若函数 f(x)＝loga(2x－3)(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标是__(2_,_0_)_．
(1)(0,5) (2)12，1 (3)(1，＋∞) 解析：(1)∵0<a<1， ∴f(x)＝logax 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0<m<5.∴m 的取值范围是(0,5)．
(2)由
1 loga2>1
得
1 loga2>logaa.
①当 a>1 时，有 a<12，此时无解．
②当 0<a<1 时，有12<a，
第四步，将 y＝|log2(x＋1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度， 即得到所求的函数图象，如图④所示．
③
④
类型五：解简单的对数不等式
典例示范
【例 9】(1)已知 a＝ 32－1，若 logam>loga5，则 m 的取值范围是 ________．
(2)已知 loga12>1，则 a 的取值范围为________． (3)已知 log0.72x<log0.7(x－1)，则 x 的取值范围为________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，且 a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
值域
R
定义域
_(_0_，__＋__∞_)__
单调性 在(0，＋∞)上是_增__函数 在(0，＋∞)上是_减__函数
共点性
图象过点__(1_,_0_)_，即 loga1＝0
函数值 x∈(0,1)时，y∈_(_－__∞__，__0_) _；x∈(0,1)时，y∈_(_0_，__＋__∞__) _；
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
(2)若函数 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则 a＝_______.
(3)已知对数函数 y＝f(x)的图象过点(16,4)，则 f 12＝________. (1)D (2)4 (3)－1 解析：(1)由对数函数定义知，③⑥是对数
函数，故选 D.
【例 6】当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象可能是( )
A
B
C
D
C 解析：∵a>1，∴0<a1<1，
∴y＝a－x 是减函数，y＝logax 是增函数，故选 C.
【例 7】函数 y＝loga(x＋1)－2(a>0，且 a≠1)的图象恒过点 ________．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数 y＝lnx4－－3x的定义域是{x|x<4，且 x≠3}．
(4)要使函数式有意义，需4loxg－0.534>x0－，3≥0， 解得43＜x≤1，所
以函数 y＝
log0.54x－3的定义域是x34＜x≤1
.
类型三：对数函数单调性的应用
典例示范
【例 3】函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
从而12<a<1.
∴a 的取值范围是12，1.
(3)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， 且 log0.72x＜log0.7(x－1)，
2x>0，
∴x－1>0， 2x>x－1，
解得 x>1， 即 x 的取值范围是(1，＋∞)．
常见的对数不等式的三种类型 (1)形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如 果 a 的范围不确定，需分 a>1 与 0<a<1 进行讨论． (2)形如 logax>b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数，再借 助 y＝logax 的单调性求解． (3)形如 logax>logbx 的不等式，可利用图象求解．
1．函数 y＝3loxg，2xx，∈x∈－[∞1，，＋－∞1， 的值域为( D )
A．(0,3)
B．[0,3]
C．(－∞，3]
D．[0，＋∞)
2．设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( A ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
类型四：对数函数的图象
典例示范
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)； (2)y＝loga[(x＋3)(x－3)]； (3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
解：(1)由xx＋－33>>00， 得 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}． (2)由(x＋3)(x－3)>0， 即xx－＋33>>00， 或xx＋ －33<<00， ， 解得 x<－3 或 x>3. ∴函数 y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3 或 x>3}．
数学（人教版） 必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质
第一 阶段
课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝_l_o_g_ax__(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是_(_0_，__＋__∞__) _．
解：(1)要使函数式有意义，需 1－x>0，解得 x<1，所以函数 y ＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需11－－xx≠>01，， 解得 x<1，且 x≠0，所以 函数 y＝log(1－x)5 的定义域是{x|x<1，且 x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需x4－－3x≠>00，， 解得 x<4，且 x≠3，所以
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般 地，y＝f(|x－a|)的图象关于直线 x＝a 对称，是轴对称图形；函数 y ＝|f(x)|的图象与 y＝f(x)的图象在 x 轴上方的部分相同，与 y＝f(x)的 图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴对称．
1．在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝loga(－x)的图象为( C )
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对 数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念．若自变量在 真数上，则必须保证真数大于 0；若自变量在底数上，则应保证底数 大于 0 且不等于 1.
求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x；(4)y＝ log0.54x－3.
∴f(－5)＝loga5＝1，即 a＝5， ∴f(x)＝log5|x|， ∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
函数图象的变换规律 (1)一般地，函数 y＝f(x±a)±b(a，b 为实数)的图象是由函数 y＝f(x) 的图象沿 x 轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿 y 轴向上或向下平 移|b|个单位长度得到的．
典例示范
【例 5】已知 a>0，且 a≠1，则函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象
只能是( )
A
B
C
D
B 解析：若 0<a<1，则函数 y＝ax 的图象下降且过点(0,1)，而 函数 y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，选项中的图象均不符合．
若 a>1，则函数 y＝ax 的图象上升且过点(0,1)，而函数 y＝loga(－ x)的图象下降且过点(－1,0)，只有 B 中图象符合．
(0，＋∞) 解析：f(x)的定义域为 R. ∵3x>0，∴3x＋1>1. ∵y＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log2(3x＋1)>log21＝0， 即 f(x)的值域为(0，＋∞)．
【例 4】比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且 a≠1)．
(0，－2) 解析：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象恒过点 (1,0)．在 y＝loga(x＋1)－2 中，令 x＋1＝1 得 x＝0，此时 y＝loga(x ＋1)－2＝－2，所以函数 y＝loga(x＋1)－2 的图象恒过点(0，－2)．
【例 8】已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图 象．解：∵f(x)＝loga|x|，
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升 类型一：对数函数的概念及应用
典例示范
【例 1】(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，
且 a≠1)；③y＝log( 3－1)x；④y＝13log3x；⑤y＝logx 3(x>0，且 x≠1)；
⑥y＝ x.其中是对数函数的为( )
－4x＋8>0，
(3)由题意得2x－1>0， 2x－1≠1，
x<2， 解得x>12，
x≠1.
故函数 y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为x21<x<2，且x≠1
.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为 0. (2)根指数为偶数时，被开方数为非负数． (3)对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.
(3)当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数， 又 5.1＜5.9，于是 loga5.1<loga5.9； 当 0<a<1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数，又 5.1＜5.9，于 是 loga5.1>loga5.9. 综上，当 a＞1 时，loga5.1＜loga5.9； 当 0＜a＜1 时，loga5.1＞loga5.9.
A
B
CD
2．已知 f(x)＝|log2(x＋1)|＋2，试作出其图象． 解：第一步，作 y＝log2x 的图象，如图①所示．
①
②
第二步，将 y＝log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 y
＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．
第三步，将 y＝log2(x＋1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的 对称变换，得 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．
判断一个函数是对数函数的方法
已知对数函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，求 f 12及 f(2lg 2)． 解：设 y＝logax(a＞0，且 a≠1)，则 2＝loga4，故 a＝2，即 y＝
log2x，因此 f 12＝log221＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2.
类型二：与对数函数有关的定义域问题
(2) 因 为 函 数 y ＝ log(2a － 1)x ＋ (a2 － 5a ＋ 4) 是 对 数 函 数 ， 所 以
2a－1>0，
2a－1≠1， a2－5a＋4＝0，
解得 a＝4.
(3)设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)， 由 f(16)＝4 可知 loga16＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x， ∴f 12＝log212＝－1.