江苏13大市数学中考分类汇编：三角形

江苏13大市数学中考分类汇编：三角形
16.三角形（等腰三角形，等边三角形， 全等，尺规作图） 1.（2008江苏盐城）28．（本题满分12分）
如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：
（1）如果AB AC =，90BAC =
∠，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF BD ，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D 在线段BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB AC ≠，90BAC ≠
∠，点D 在线段BC 上运动．
试探究：当ABC △满足一个什么条件时，CF BC ⊥（点C F ，重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若42AC =，3BC =，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． 答案：28．（1）①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD （2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF ⊥BD （如图丁）．
理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
图甲
A B D F
E
C 图乙 A B
D
E C
F 第28题图 图丙 A B D C E 图丁
G
A
B
C
D
E
F
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD （3）当具备∠BCA=45º时，
过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，
容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x
x =-，
2
21
(2)144
x CP x x ∴=-+=--+．
∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．
2.(2008江苏扬州15)一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是_________。

答案：75
3.(2008江苏扬州17)如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ABP´重合，如果AP=3，那么线段PP´的长等于___________。

答案：32
4.(2008江苏杨州)21．如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连接BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G 。

（只选了第(1)问） （1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和 FB 的比例中项吗？为什么？
图戊
P
Q A
B C
D E
F
答案：21．解：（1）BC DE ，的数量关系是BC DE =．
理由如下：BAD CAE BAC DAE ∠=∠∴∠=∠ ，
． 又AB AD AC AE == ，， ABC ADE ∴△≌△（SAS ）． BC DE ∴=．
（2）线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项．
理由如下：ABC ADE △≌△，ABC ADE ∴∠=∠． ABC CBD ADE CBD ∠=∠∴∠=∠ ，． 又BFD DFG ∠=∠ ， BFD DFG ∴△∽△．
2BF DF
FD FG FB DF GF
∴
=∴= ，． 即线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项． 说明：若第（1）、（2）题中结论已证出，但在证明前未作判断的不扣分．
5．（08南京14）若等腰三角形的一个外角为70 ，则它的底角为 35 度．
6.（2008徐州）边长为a 的正三角形的面积等于__
2
34
a __. 7.（2008徐州）如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，AC ＝5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于___7___cm.
8.（2008苏州）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；
（2）BO DO =．
证明：（1）在ABC △和ADC △中
1234AC AC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
ABC ADC ∴△≌△．
（2）ABC ADC △≌△，AB AD ∴=．又12∠=∠ ，BO DO ∴=．
9.（2008徐州）（A 类）已知如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，
AD ＝CD ，求证：∠A ＝∠C.
（B 类）已知如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠A ＝∠C ，求证：AD ＝CD. 证明：（A ）
连结AC ，因为AB ＝AC ，
所以∠BAC ＝∠BCA ，同理AD ＝CD 得∠DAC ＝∠DCA
所以∠A ＝∠BAC ＋∠DAC ＝∠BCA ＋∠DCA ＝∠C
D
C
B
A O （第23题）
1
2
3
4
D
C
B
A
D
C
B
A
（B ）如（A ）只须反过来即可．
10.（2008年江苏省无锡市，9T ，2分）如图，OB OC =，
80B ∠= ，则AOD ∠=
．答案9．20
11.（2008年江苏省南通市，10T ，3分）如图，DE ∥BC 交AB 、AC 于D 、E 两点，CF 为BC
的延长线，若∠ADE ＝50°，∠ACF ＝110°，则∠A ＝________度. 答案10．60
A B
C
F D E O D
C A
B E
第10题 第13题
12.（2008年江苏省南通市，13T ，3分）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝
25°，则∠AEB ＝________度. 答案13．120
13.（2008年江苏省南通市，14T ，3分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下
三种方法：
方法一：直接法.计算三角形一边的长，并求出该边上的高.
方法二：补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差. 方法三：分割法.选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形. 现给出三点坐标：A （－1，4），B （2，2），C （4，－1），请你选择一种方法计算△ABC 的面积，你的答案是S △ABC ＝________.答案14．
5
2
14.（2008江苏省宿迁）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为__17____．
15.（2008年江苏省无锡市，24T ，8分）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为40
．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． 24．解：（1）如图1； ··············· （3分） （2）如图2； ···························· （6
分） （3）4． ····································· （8分） （第9题） 图1
2cm
1cm
40° 2cm
1cm 40° 图1 图2。