2022-2023学年山东省实验中学高一年级下册学期阶段测试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市高一下学期阶段测试数学试题
一、单选题
1．已知i 是虚数单位，复数i
1i
z =
+，则z 是（）
A ．1
i 2
2
+B ．1i 22-
C ．1i 22-+
D ．1i 22
--
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可；【详解】解：()()()2i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222
z --=
===+++-故选：A
2．“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）
A ．平均数小，方差大
B ．平均数小，方差小
C ．平均数大，方差大
D ．平均数大，方差小
【答案】D
【分析】根据平均数与方差的含义即可求解.
【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小.故选：D
3．下列命题正确的是（）
A ．//a b ，//b a αα⊂⇒
B ．//a α，//b a b α⊂⇒
C ．//a α，////a b b α⇒
D ．a α⊄，//a b ，//b a αα
⊂⇒【答案】D
【分析】根据线面平行、线线平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，//a b ，b α⊂，有可能a α⊂，A 错误；对于B ，//a α，b α⊂，有可能,a b 异面，B 错误；对于C ，//a α，//a b ，有可能b α⊂，C 错误；
对于D ，由线面平行的判定定理可知D 正确.故选：D.
4．已知向量()1,2a =r
，()2,2b =- ，()4,c k = ，若()
//a b c + ，则k ＝（
）
A ．1-
B ．1
C ．16-
D ．16
【答案】C
【分析】首先求出a b +
的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为()1,2a =r
，()2,2b =- ，()4,c k = ，
所以()()()22,21,1,4a b +=-=-+r
r ，又()
//a b c + ，
所以144k -⨯=⨯，解得16k =-.故选：C
5．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D
【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A 不符合题意；
对于B 中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B 不符合题意；
对于C 中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C 不符合题意；
对于D 中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，
所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.
6．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P ．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039据此估计P 的值为（）A ．0.6B ．0.65
C ．0.7
D ．0.75
【答案】B
【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率P 的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有13组，
所以其3次射击至少2次击中目标的概率13
0.6520
P ==，故选：B.
7．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A ．0.960
B ．0.864
C ．0.720
D ．0.576
【答案】B
【详解】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.【解析】相互独立事件的概率.
8．已知四面体ABCD 满足AB BC ⊥，BC CD ⊥，23AB BC CD ===，且该四面体的体积为6，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（）
A ．45︒
B ．60︒
C ．45︒或60︒
D ．60︒或30︒
【答案】C
【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到3CE =，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，
11
2323632
V CE =⨯⨯⨯⨯=，解得3CE =，
故221293DE CD CE =-=-=，
以,,FA FC FG 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
()
23,0,0A ，()23,23,0B ，()
0,23,0C ，()
0,3,3D 或()
0,33,3D ，()
23,3,3AD =- 或()23,33,3AD =- ，()
23,0,0BC =-
，
设异面直线AD 与BC 所成的角的大小为θ，090θ<≤︒，
122
cos 22326AD BC AD BC θ⋅===⨯⋅ ，则45θ=︒；
或
121
cos 2
2343AD BC AD BC θ⋅===⨯⋅
，60θ=︒；综上所述：异面直线AD 与BC 所成的角的大小为45︒或60︒.故选：C
二、多选题
9．已知i 为虚数单位，复数23i
2i
z -=+，则下列命题为真命题的是（）
A ．z 的共轭复数为18
i
55
+B ．z 的虚部为85
C ．3
z =D ．z 在复平面内对应的点在第四象限【答案】AD
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据共轭复数的定义判断A ，根据复数的概念判断B ，根据复数的模判断C ，根据复数的几何意义判断D.
【详解】因为()()()()22223i 2i 23i 42i 6i 3i 18
i 2i 2i 2i 2i 55z -----+=
===-++--，所以z 的共轭复数为18
i 55
+，故A 正确；
复数z 的虚部为8
5
-，故B 错误；
2
2
1865555z ⎛⎫⎛⎫
=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故C 错误；
复数z 在复平面内对应的点为18,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，位于第四象限，故D 正确；
故选：AD
10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（
）
A ．该试验样本空间共有4个样本点
B ．()14
P AB =
C ．A 与B 为互斥事件
D ．A 与B 为相互独立事件
【答案】ABD
【分析】由题可得样本空间及事件,A B 样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A ：试验的样本空间为：{(Ω=正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，故A 正确;
对于B ：由题可知{(A =正，正)，(正，反)}，{(B =正，反)，(反，反)}，显然事件A ，事件B 都含有“(正，反)这一结果，故()1
4
P AB =
，故B 正确；对于C ：事件A ，事件B 能同时发生，因此事件,A B 不互斥，故C 不正确；对于D ：()2142
P A ==，()2142P B ==，()1
4P AB =，所以()()()P AB P A P B =，故D 正确．
故选：ABD.
11．下列命题中是真命题的有（
）
A ．有A ，
B ，
C 三种个体按312
︰︰的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30
B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在
区间[]114.5124.5
，内的频率为0.4【答案】BD
【分析】利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A ，求出这一组数据的平均数、
众数、中位数即可判B ，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C ，利用落在区间[]114.5124.5
，内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D ，从而得出正确选项.
【详解】对于选项A ：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为3
918123
÷=++，故选项A
不正确；
对于选项B ：数据1，2，3，3，4，5的平均数为()1
1234535
++++=，众数和中位数都是3，故选项B 正确；
对于选项C ：乙组数据的平均数为
()1
56910575
++++=，乙组数据的方差为()()()()()22222
157679710757 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=<⎣
⎦，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C 不正确；
对于选项D ：样本数据落在区间[]114.5124.5，有120，122，116，120有4个，所以样本数据落在区间[]114.5124.5
，内的频率为.4
0410
=，故选项D 正确，故选：BD
12．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面11BCC B 的面积为43．则正确的结论是（
）
A ．若11
B
C 的中点为E ，则1AC //平面1A BE
B ．若三棱柱111AB
C A B C -的体积为43，则1A 到平面11BCC B 的距离为3C ．若ABC 是边长为2的等边三角形，则1AC 与平面11AA B B 所成的角为6
πD ．若AB AC BC ==，则球O 体积的最小值为323
π【答案】AD
【分析】①,证明1//DE AC ，1//AC 平面1A BE 即得证，所以该命题正确；②，求出1A 到平面11BCC B 的距离为2，所以该命题错误；③，利用垂直关系，作出线面角，即可求解判断；
④，求出外接球的半径的最小值为2，即得球O 体积的最小值为
323
π
，所以该命题正确.【详解】①，如图，连接1AB ,交1A B 于点D ,连接DE .因为111,AD DB B E EC ==，所以1//DE AC ,因为DE ⊂平面1A BE ，1AC ⊄平面1A BE ，所以1//AC 平面1A BE
，所以该命题正确；
②，连接1AC ,过1A 作111A
M B C ⊥,垂足为M ,因为平面11BCC B ⊥平面111A B C ，平面11BCC B 平面11111A B C B C =，111A M B C ⊥，所以1A M ⊥平面11BCC B ，所以1A 到平面11BCC B 的距离就是1A M .由题
得111143A BCC B B ACA V V --=-143433=-⨯11
433
A M =⨯⨯,所以12A M =，所以1A 到平面11BCC
B 的距
离为2.
所以该命题不正确；
③，如图，取11A B 的中点D ，连结1DC ，AD ，1AC ，因为平面11AA B B ⊥平面111A B C ，且平面11AA B B Ç平面11111A B C A B =，111C D A B ⊥，所以1C D ⊥平面11AA B B ，所以1AC 与平面11AA B B 所成的角是
1C AD ∠，111A B C △是边长为2的等边三角形，1143BB C C S =，所以123CC =，14AC =所以1AC 与
平面11AA B B 所成的角的正弦值是
113
4
C D AC =,所以该命题不正确；
④，设1,AB AC BC a CC h ====，球的半径为R ,设上底面和下底面的中心分别为12,O O ,连接12O O ,
则其中点为O ,连接1,OC O C .由题得1323,233a CO a =⨯=所以2223)()32
h a R +=（,即222134h a R +=，又43ah =，所以43
h a
=，所以222221*********R a a a a =+≥= ，
（当且仅当6a =时取等），所以R 最小值为2，所以球O 体积的最小值为34322=33
ππ⨯，所以该命题正确.
故选：AD.
三、填空题
13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.
【答案】
1
9
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.
点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369
P ==.故答案为：1
9
.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数（上年同月＝100）分别为100.7，101.5，102.3，
101.5，100.9，100.9，101.5，则这组数据的第20百分位数是．
【答案】100.9
【分析】利用百分位数的定义去求这组数据的第20百分位数即可
【详解】将这组数据按从小到大排列为100.7，100.9，100.9，101.5，101.5，101.5，102.3，由7×20%＝1.4，可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，即100.9．故答案为：100.9
15．已知AD 是ABC 的中线，若120A ∠=
，2AB AC ⋅=-
，则AD 的最小值是
．
【答案】1
【详解】试题分析：因为22222224
||244
AB AC AB AC AB AC AB AC AD +++⋅+-===
，又2||||cos1202||||4AB AC AB AC AB AC ⋅=-⇒⋅=-⇒⋅=
，所以222||||8AB AC AB AC +≥⋅= ，即2||1,1AD AD ≥≥ ，AD
的最小值是1.
【解析】向量数量积
四、双空题
16．在梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD CD CB ====∥，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．此时该三棱锥的外接球的表面积
为．【答案】
312
5π
【分析】注意到三棱锥D ABC -体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，可知以B 为顶点时，BC 为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD 的距离、ACD 外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，
ABCD 为等腰梯形，2,1
AB CD ==1
2
BE ∴=
，3B π∴=
由余弦定理得222
2cos
33
AC AB BC AB BC π
=+-⋅=，即3AC =222AB BC AC =+ BC AC
∴⊥易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，
此时，BC ⊥平面ACD 易知，23
D π∠=
12
3sin 234
ACD S AD CD π∴=
⋅= 133
13412
D ABC V -∴=⨯⨯=
记O 为外接球球心，半径为R
BC ⊥ 平面ACD ，OB OC =∴O 到平面ACD 的距离1
2
d =
又ACD 的外接圆半径
122sin
3
AC
r π=
=22254
R r d ∴=+=245S R ππ
∴==故答案为：
3
12
，5π五、解答题
17．已知非零向量,a b
满足4a b = ，且()
2a b b -⊥ ．
（1）求a 与b
的夹角；
（2）若21a b +=
，求b 的值．
【答案】（1）
3
π
；（2）1．
【分析】（1）由向量垂直转化为数量积为0求得a b ⋅ ，再由数量积的定义求得夹角；
（2）把已知等式平方，模的平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算可得．
【详解】（1）()
222,20,cos<,2||0a b b a b b a b a b b -⊥∴⋅-=∴⋅>-= ，2214,4|cos ,2|0,cos<,2
a b b a b b a b =∴-=∴>= [)<,0,,a b a π>∈∴ 与b 的夹角为3
π，（2）2|21,|21a b a b +=∴+= ，即22||2cos<,21a b a b a b ++⋅⋅>= ，
4a b = ，又由（1）知21cos<,,||1,12
a b b b >=∴=∴= 18．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a 的值；
(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
【答案】(1)0.025；
(2)71；
(3)88.
【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；
（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可.
【详解】（1）由(0.0050.0100.01520.030)101a ++⨯++⨯=，解得0.025a =；
（2）450.05550.15650.3750.25850.15950.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；
（3）设受嘉奖的学生分数不低于x 分，
因为[80,90)，[90,100]对应的频率分别为0.15，0.1，
所以(90)0.015+0.10.13x -⨯=，解得88x =，
故受嘉奖的学生分数不低于88分．
19．在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,60∠=︒AB CD ABC ，FC ⊥平面ABCD ，1CB CD CF ===．
(1)求证：AC BF ⊥；
(2)若E 为CF 的中点，问线段AB 上是否存在点G ，使得//EG 平面ADF ？若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在，12
AG =，理由见解析.【分析】（1）根据题意，结合几何关系证明AC BC ⊥，在根据线面垂直证明FC AC ⊥，进而证明AC ⊥平面FBC ，再根据线面垂直得结论；
（2）取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14
AG AB =
，连接EG ，则证明四边形AGEH 为平行四边形，以证明//EG 平面ADF .
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，
所以,ABC BAD ACD CAB ∠=∠∠=∠，
因为1CB CD CF ===，所以AD DC =，
因为60ABC ∠=︒，
所以60,30ABC BAD ACD CAB DAC ∠=∠=∠=∠=∠=
所以在ABC 中，60,30,90ABC CAB ACB ∠=∠=∠= ，即AC BC ⊥，
因为FC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以FC AC ⊥，
因为FC BC C = ，,FC BC ⊂平面FBC ，
所以AC ⊥平面FBC ，
因为BF ⊂平面FBC ，
所以AC BF ⊥.
（2）解：线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142
AG AB =
=.下面证明结论：
如图，取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14AG AB =，连接EG ，由（1）知，在ABC 中，60,30,90ABC CAB ACB ∠=∠=∠= ，22AB BC ==，所以1142
AG AB ==，因为//AB CD ，222AB BC DC ===，所以11//,22
AG DC AG DC ==，因为H 为DF 中点，E 为CF 的中点，所以11//,22
HE CD HE CD ==，所以1//,2AG HE AG HE ==
，所以四边形AGEH 为平行四边形，
所以//AH GE ，
因为AH ⊂平面ADF ，GE ⊄平面ADF ，
所以//EG 平面ADF .
所以线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142
AG AB ==.
20．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能
取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为23，乙队发球时甲队获胜的概率为
25，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方:X X 平后，甲队拥有发球权．
（1）当24X =时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；
（2）当22X =时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．
【答案】（1）2945；（2）64135
．【分析】(1)先确定24X =后两队共发2次球就结束比赛包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率；
(2)先确定22X =时，甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得该局胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率.
【详解】(1)24X =后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．
记事件A =“24X =后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以()22222911333545
P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即24X =后两队共发2次球就结束比赛的概率为
2945．(2)22X =时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利．记事件B =“甲以25：22取得该局胜利”，C =“甲以25：23取得该局胜利”，
D =“22X =时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且B ，C 互斥，所以
()222833327
P B =⨯⨯=，()222222222222811135333353333545
P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()88642745135
P D P B C P B P C =⋃=+=+=．所以22X =时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为64135
.21．如图所示，在111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D 是AC 的中点.
（Ⅰ）求证：1//B C 平面1A BD ；
（Ⅱ）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角1A BD A --的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）105
；（Ⅲ）4π.【分析】（Ⅰ）设1A B 与1AB 交于E ，连接DE ，则DE 为1ACB 的中位线，即1ED B C ∕∕，根据线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）取1A D 中点F ，连接AF 、EF ，由题意可得1AF A D ⊥，根据线面垂直的判定及性质定理可证BD AF ⊥，所以AF ⊥平面1A BD ，所以AEF ∠为直线1AB 与平面1A BD 所成平面角，根据题中长度，即可求得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得BD ⊥1A D ，又AD BD ⊥，所以1ADA ∠即为二面角1A BD A --所成的平面角，根据题中长度，即可求得答案；
【详解】（Ⅰ）证明：设1A B 与1AB 交于E ，连接DE ，如图所示：
由题意得E 、D 分别为1AB 、AC 的中点，
所以1ED B C ∕∕，
又ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，
所以1//B C 平面1A BD ；
（Ⅱ）取1A D 中点F ，连接AF 、EF
，如图所示
由题意得四边形11AAC C 为矩形，且AC=2，11AA
=，D 为AC 中点，所以1AA AD ⊥且11AA AD ==，
所以1AA D △为等腰直角三角形，又F 为1A D 中点，
所以1AF A D ⊥.
又D 为AC 中点，且BA=BC ，
所以BD AC ⊥，
又侧棱1A A ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以1A A BD ⊥，又1AA AC A = ，
所以BD ⊥平面11ACC A ，又AF ⊂平面11ACC A ，
所以BD AF ⊥，又1BD A D D = ，
所以AF ⊥平面1A BD ，
所以AEF ∠为直线1AB 与平面1A BD 所成平面角，
在Rt AEF △中，25,22
AF AE ==，所以2102sin 55
2
AF AEF AE ∠===，所以直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值为105
.（Ⅲ）由（Ⅱ）可得BD ⊥平面11ACC A ，又1A D ⊂平面11ACC A ，
所以BD ⊥1A D ，又AD BD ⊥，
所以1ADA ∠即为二面角1A BD A --所成的平面角，
在1Rt ADA △中，11AA AD ==，所以1454ADA π
∠=︒=，且二面角1A BD A --为锐二面角，
所以二面角1A BD A --的大小为4
π.22．在ABC 中()22sin ac B b a c =--．
(1)求sin B 的值；
(2)求222
b a
c +的取值范围．【答案】(1)45(2)2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得sin 2cos 2B B +=，结合同角三角函数基本关系式即可求解sin B 的值；
（2）首先求出cos B ，再由正弦定理将2
22b a c
+转化为关于A 的三角函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为()22sin ac B b a c =--，即222sin 2a c c B b c a a -=+-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
所以2sin cos 2ac B ac ac B -=+，所以sin 2cos 2B B +=，
又22sin cos 1B B +=，所以25sin 4sin 0B B -=，解得sin 0B =或4sin 5B =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B >，则4sin 5B =
.（2）由4sin 5B =且sin 2cos 2B B +=，解得3cos 5
B =，由正弦定理可得()
222222222sin sin n sin n s s i i n si B B A C A A B b a c =++++=()
222sin s s si in cos co n sin B
A A
B A B +=+222sin 34sin cos sin 55B
A A A =
⎛⎫+ ⎪⎝⎭+
2222sin 91624sin cos s sin in cos 252525
B A A A A A ++=+22sin 181216sin sin 2252525
B A A ++=2sin 912cos 2sin 212525
B A A =-++91225cos 2sin 2252525
16
25A A -++=9cos 212sin 225
16
A A -++=
()15sin 22516A ϕ-+=（其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=），因为
132cos 252
B <=<，所以ππ43B <<，又243cos 252ϕ<=<，所以ππ64ϕ<<，所以2π03A <<，4π023A <<，则4π23
A ϕϕϕ-<-<-，又13π4π7π1236ϕ<-<，所以()3sin 215
A ϕ-<-≤，则()915sin 215A ϕ-<-≤，则()1615sin 22540A ϕ<-+≤，则()2161515sin 234
A ϕ≤<-+.所以2222,15b a c ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭.。