大物-第四章刚体转动和流体运动

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
28
转动定律 M J 讨论 （1） M
J （2） M J J d
dt
（3）M 0， ω=常量
29
三、转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2 ➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
27
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
42
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
43
由角加速度的定义
dω dω dθ ω dω
m,l FN
dt dθ dt dθ
θ
有 ωdω 3g sin θdθ 2l
mg O
对上式积分，利用初始条件，
解得： ω 3g (1 cos θ) l
44
§4.3 角动量 角动量守恒定律
45
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
46
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动
任一质点运动
v,
a
不同；
,,
均相同，但
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
10
二、匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度 =常量
时，刚体做匀变速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 150
16
由 d π t 2
dt 150
得
d
π
t t 2dt
0
150 0
π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
17
§4.2 力矩 转动定律 转动惯量
18
一、力矩
用来描述力对刚体的
转动作用．
M Frsin Fd
正比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
15
1 ct 2
2
当 t =300 s 时
18 000 r min 1 600 π rad s1
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2
2 0
2 (
0)
11
三、角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
d 2
d2t
v rωet
an
a r
e t v
at
at r
an rω2
12
a
ret
rω2en
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后其转速随时间变化关系为： m (1 et / ) 式中 m 540 r s1， 2.0 s ．求：
36
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮
与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体 的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索
的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
cos d
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
55
( 2g sin )1 2
R
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
恒矢量．——质点的角动量守恒定律
52
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
37
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
38
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
FT1 mAa mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
PC
.. O d P(t)
x
角位移 (t t) (t)
角速度矢量 lim d
t t0 dt轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
角加速度 d
dt
9
z
>0
z
<0
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动
平面；
(2)
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
41
例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所
示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通
过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O
Q
x
O
L
22
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
23
令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)
p
mv
刚体定轴转动
0,
p
0
L J
0, p 0
pi
p j
47
1 质点的角动量
速度 时对
质Ov 的量在位为空矢间m为运的动r质 ，，点质某以
x
点L对参r 考p点Or的角m动v 量
L
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
48
zL
v
rm
o
y
v
r
质点以作半径为 r
的圆周运动，相对圆心
L mr 2 J
2 质点的角动量定理
L
p
o
r
M
dL
m
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力
矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的
变化率.
49
质L 点r角动p 量定d理p 的推F导，dL
M ？
dL dt
dL
d
(r
dt p)
r
dt dp dr
p
dt dt
*§4.5 刚体的平面平行运动
*§4.6 刚体进动 *§4.7 流体 伯努利方程
*§4.8 万有引力的牛顿命题
*§4.9 经典力学的成就和局限性
6
§4.1 刚体的定轴转动
7
一、刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
z
ω
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
r P’(t+dt)
53
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
54
考虑到 d dt, L mRv mR 2
得LdL m2 gR3 cosθ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
(1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
13
解 (1) 将 t=6 s 代入ω m (1 et / )
ω 0.95ωm 513 r s1
(2) 电动机在6 s内转过的圈数为
N 1 2π
6
ωdt
1
0
2π
6 0
d: 力臂
F 对 转轴 z的力矩
M rF
F
F
Fi 0, M i 0
z
M
r
Od
F
P*
F
Fi 0,
F
Mi 0
i
i
i
i
19
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
20
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
Mij M ji
21
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
34
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
35
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中M J 与平动中 F ma
地位相同．
FT2
FT2
O
mB PB y
39
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
40
如令 mC 0 ，可得
FT1
FT2
mAmB g mA mB
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
等都相同．
刚体平动 质点运动
3
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
5
第四章 刚体转动和流体运动
§4.1 刚体的定轴转动
§4.2 力矩 转动定律 转动惯量
§4.3 角动量 角动量守恒定律
§4.4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
y
1 2
p0 Lh2
1 6
gLh3
h dF O
dy 代入数据，得：
y
M 2.14 1012 N m
Q
25
二、转动定律
（1）单个质点 m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
M rFt mr 2 M mr2
26
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
30
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
31
dm：质量元 dV ：体积元
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关．
（2）与刚体的几何形状(及体密度 的分
布)有关． （3）与转轴的位置有关．
32
四、平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
33
d
C mO
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR 2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
24
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
dr
v，v
p
0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
50
M
dL
dt
冲t1t2量M矩 dtt2MLdt2
L1
t1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
51
3 质点的角动量守恒定律
M
dL
dt
当 M 0，L 恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为 零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一
第四章 刚体转动 和流体运动
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
2