北大高微讲义第2章 利润最大化

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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
一、要素需求函数的性质：比较静态分析 3、推广：考虑多种投入、一种产出的利润 最大化模型 令P＝1
利 润 最 大 化 的 FOC 在 最 优 点 上 可 以 写 成 : D f ( x ( w )) − w = 0 上 式 对 w求 导 ,有 D 2 f ( x ( w )) D x ( w ) − I = 0 由 此 得 到 替 代 矩 阵 : D x ( w ) = ( D 2 f ( x )) − 1 ）是一个对称的负定矩阵， ⇒ 由 于(D2 f (x) 故 替 代 矩 阵 D x ( w )是 一 个 对 称 的 负 定 矩 阵 。
∗ ∗ ∗ π w p y w x 惰 性 利 润 函 数 为 － 。 ( ) = 2011-11-23
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
2、由利润函数到净供给函数（即产品供给函数和 要素需求函数）： ¡ 问题的提出 ¡ 霍特林引理 (Hotelling’s lemma）
∂ π (p) = yi ( p ) ∂ pi
∂x1 ∂w2 f11 = ∂x2 f21 ∂w2
−1
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
2、推广：考虑两种投入、一种产出的利润最大 化模型 ¡ 经济含义 显然，要素的替代矩阵是一个对称的、负 定的矩阵，于是， ∂x i < 0, i = 1, 2 由负定矩阵 , 有 : ∂w i ∂x j ∂xi 由矩阵的对称性 , 有 : = i , j = 1, 2 ∂w j ∂w i
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一、要素需求函数的比较静态分析 2、推广：考虑两种投入、一种产出的利润最大化 模型 ¡ 模型及推导
( 2 )式 对 w 1求 导 , 有 先 将 ( 1 )、 f11 f
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∂x ∂w ∂x ∂w ∂x ∂w ∂x ∂w
1 1 1 1
+ +
f 12 f
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∂x ∂w ∂x ∂w ∂x ∂w ∂x ∂w
' 且 π ( p '' ) = p '' y '' =（ tp + (1 − t ) p ） y ''
= tpy '' + (1 − t ) p ' y '' 由利润最大化的定义可知 : 对 p， y 而 言 ， tp y '' ≤ tp y = t π ( p ) 对 p '， y '而 言 ， (1 − t ) p ' y '' ≤ (1 − t ) p ' y ' = (1 − t )π ( p ' ) 将以上不等式相加，有 π ( p '' ) ≤ t π ( p ) + (1 − t )π ( p ' )
x
一、利润最大化的一阶条件 ¡ FOC （之一）
∂f ( x ) p = wi ∂xi
i = 1 , 2L L n
经济含义： 每种要素的“边际收益” = 该要素的 “边际成本” （即：要素的边际产品价值VMPxi = 要素价格wi）
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2.1 利润最大化
一、利润最大化的一阶条件 ¡ FOC （之二 利用图形）: 等利润线的运用
i = 1,2 ,L n
其中， y i ( p )为 厂商 对 物 品 i的 净 供给函数 , p为 净 供给 价格 向 量 。
¡ 证明（两种方法）
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
2、由利润函数到产品供给函数和要素需求函数： ¡ 证明一：由g(p)函数出发
设 p ∗ 时 的 利 润 最 大 化 的 净 产 出 向 量 为 y ∗。 且 定 义 函 数 : g ( p )= π (p)- py ∗ 相 应 的 g ( p ∗ )最 小 化 的 FOC 为 : ∂g ( p∗ ) ∂π ( p∗ ) = − yi∗ = 0 ∂ pi ∂ pi ∂ π ( p∗ ) ⇒ = yi ∗ ∂ pi
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
¡ 经济含义
∂x ( p , w ) 1 = ∂w pf '' ( x( p, w ))
∂x( p, w ) 第一 : 生产函数关于x的二阶导数f ( x( p, w ))与 ∂w 成反方向变化。
''
）。 （图示:利用生产函数、等利润线所表示的斜率f ' ( x( p, w )) ∂x ( p , w ) 第二 : < 0 ⇒ 要素需求曲线向右下方倾斜 ∂w
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
二、利润函数 1、利润函数的性质 ¡ 性质1 利润函数是产出价格的非减函数，是投入 价格的非增函数。
' 即：若对于所有的产出 i的价格 po ≥ po，
所有的投入 j的价格 pi' ≤ pi 则必有 π ( p ' ) ≥ π(p)。
写成矩阵形式 : f11 f 21 ∂x1 ∂w1 f12 f 22 ∂x2 ∂w1 f12 f22 ∂x1 ∂w2 1 0 = ∂x2 0 1 ∂w2
∂x1 ∂w 1 ⇒ ∂x2 ∂w1 2011-11-23
2 1 2 1
= 1 = 0
2
再 将 ( 1 )、 ( 2 )式 对 w f11 f
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21 1 2 1 2
求 导 ,有
+ +
f 12 f
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2 2 2 2
= 0 = 1
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
2、推广：考虑两种投入、一种产出的利润最大 化模型 ¡ 模型及推导
' 再 令 ： 对 于 所 有 y 'o ≥ 0 , p o ≥ po ,
∀y
( 1)
所 有 y 'i ≤ 0 , p i' ≤ p i ,
则 有 : p ' y ≥ py p' y' ≥ py ⇒ π ( p ' ) ≥ π (p )
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∀y
(2)
联 立 (1 ) 、 ( 2 ) 两 个 不 等 式 ， 有
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第二章 利润最大化
¡ 2.1 利润最大化 ¡ 2.2 要素需求函数、产品供给函数
和利润函数
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
¡ 引：利润最大化最优解的三种函数形式
（ p）
max pf ( x ) − wx
x
若 FOC 和 SOC 成立，则可从 FOC 中求出最优解： 最优要素投入素组合 : x ( p , w ) 即要素需求函数 将其代入生产函数得 : y = f ( x ( p , w )) = y ( p , w ) 即产品供给函数 代入目标函数得： π (p,w)
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即利润函数
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2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数
一、要素需求函数x(p,w)的性质：比较静态分析 1、考虑一种投入、一种产出的利润最大化模型
¡ 模型及推导 max pf ( x ) − wx
x
若最优解存在，则 FOC 可写为 : pf ' ( x( p, w )) − w = 0 （1） (2) ∂x( p, w ) '' （1）式对w求导,有：pf ( x( p, w )) −1 = 0 ∂w 由于在一般情况下，f '' ( x ) ≠ 0，故有 ∂x( p, w ) 1 = '' ∂w pf ( x( p, w )) 2011-11-23 SOC 可写为 : pf '' ( x ( p, w )) < 0
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一、要素需求函数的性质：比较静态分析 2、推广：考虑两种投入、一种产出的利润最大 化模型 ¡ 模型及推导: 令p=1
m ax
x
Baidu Nhomakorabea
f ( x1 , x 2 ) − w 1 x1 − w 2 x 2
在 最 优 点 上 ,FOC 可 写 为 : ∂ f ( x 1 ( w 1 , w 2 ), x 2 ( w 1 , w 2 )) = w 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1 ) ∂x1 ∂ f ( x 1 ( w 1 , w 2 ), x 2 ( w 1 , w 2 )) = w 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( 2 ) ∂x2
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¡ 性质1
利润函数是产出价格的非减函数，是投入 价格的非增函数。
证明： 令 p 时 的 最 优 净 产 出 向 量 为 y， 有 π ( p ) ＝ py p ' 时 的 最 优 净 产 出 向 量 为 y '， 有 π ( p ' ) = p ' y ' 且 y,y ' ∈ Y 。 则 对 于 p '而 言 ， 必 有 : p ' y ' ≥ p ' y
π 11 = pf11 < 0 π 11 π 12 π 21 π 22 LL
结论： 由于假设生产函数是正则严格凹函数，所以 利润最大化的SOC得到满足。
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=
pf11 pf12 pf 21 pf 22
=p
2
f11 f12 f 21 f 22
>o
2.1 利润最大化 三、方法的局限性
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∀ y '' ∈ Y ∀ y '' ∈ Y
¡ 性质3的图示与理解
令 :( p ∗ , w ∗ ) 给 定 时 的 最 优 选 择 为 （ y ∗， x ∗） , 且有π （ p ∗ , w ∗） 。 如 为 凸 利 润 函 数 曲 线 上 的 A 点 。 关于惰性利润函数： 当 产 品 价 格 变 化 为 p ≠ p ∗时 ， 若 厂 商 行 为 惰 性 ， 仍 执 行 原 生 产 选 择 （ y ∗， x ∗） ， 则 惰 性 利 润 函 数 为 π ( p ) = py ∗－ w ∗ x ∗。 类 似 的 ， 当 要 素 价 格 变 化 为 w ≠ w ∗时 ， 若 厂 商 行 为 惰 性 ， 仍 执 行 原 生 产 选 择 （ y ∗， x ∗） ， 则
df ( x) w = dx p
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or i .e
df ( x) = w dx V M Px = w p
⇒ FOC
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2.1 利润最大化
二、利润最大化的二阶条件 ¡ 由图形直接得到启示 ： 生产函数为凹函数。
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2.1 利润最大化
二、利润最大化的二阶条件 ¡ SOC：要求利润函数相应的 [ H ]为负定。
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性质3: 利润函数是价格p的凸函数。
即 ： 令 p '' = tp + (1 − t ) p ' (0 ≤ t ≤ 1) 则 有 : π ( p '' ) ≤ t π ( p ) + (1 − t )π ( p ' ) 证 明 ： 令 : p , p ' , p ''的 最 优 净 产 出 向 量 分 别 为 y , y ' , y '' ∈ Y
第二部分 生产与成本
¡ 第一章 关于技术的描述 ¡ 第二章 利润最大化 ¡ 第三章 成本最小化 ¡ 第四章 对偶性
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第二章 利润最大化
¡ 2.1 利润最大化 ¡ 2.2 要素需求函数、产品供给函数和
利润函数
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2.1 利润最大化
¡ 利润最大化模型
Max π ( x) = p f ( x) − wx
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
性质2 利润函数是价格p的一次齐次函数。
令 π (p ) = p y , y ∈ Y 则 对 于 ∀ y ' ≠ y , 且 y ' ∈ Y , 有 : p y ≥ py ' 两 边 同 乘 以 t ≥ 0, 则 有 tpy ≥ tpy ' 说 明 ： y 也 是 价 格 为 tp 时 的 最 优 净 产 出 即 有 π ( tp ) = tpy ⇒ π ( tp ) = t π ( p )
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2.2 要素需求函数、产品供给函数 和利润函数
二、利润函数 1、利润函数的性质 首先，可以将利润函数表示成为净产出的价 格向量的函数：
π ( p ) ＝ M ax py
y
例如： 净 产 出 向 量 : y = ( y1 , y 2 , − y 3 , − y 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) 净 产 出 价 格 : p = ( p1 , p 2 , w 3 , w 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ )
− wx 其中p, w为常数 已知：利润函数 π （x ）= py （x ） 进一步令π 为常数，则有等利润线方程 π = py （x ） − wx 其中π , p, w为常数 π w 整理得 y( x ) = + ( ) x p p w π 等利润线的斜率＝（ ) ；纵截距＝ p p
图示（在生产函数的坐标平面）