数字信号处理_期中考试题及答案完美破解版

期中考试题
一． 判断题。

（ R ）1、当x(t)为实信号时，其频谱与翻转频谱互为共轭。

（ R ）2、若信号x(t)的频谱为X(f)，则延迟信号x(t-5)的振幅谱将不发生变化。

（W ）3、若信号x(t)的频谱为X(f)，则X(t)的频谱为x(f)。

（ R ）4、若信号x(t)的频谱为X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的频谱为(1/2)[X(f-f0)＋X(f ＋f0)]。

（ R ）5、若信号x(t)的频谱为X(f)，则x(－t)的频谱为X(－f)。

（ W ）6、信号x(n)=cos(n/7-π/3)为一周期信号。

二． 计算证明题。

1、 在[-2,2]上有一方波0,21,
()2,11,0,1 2.
t x t t t -≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪<<⎩求它的傅氏级数。

（p11） 解：00221
24
21000000,21,
()2,11,
0,1 2.
4,1/4
11()20,1;2sin sin 22
0,;
2lim 1,
2sin sin 22
.
2i nt
i nf t n n n n n n t x t t t T f c x t e dt e dt
T n c n
nf n c nf n c n
nf c nf n ππππππππππ-++---→-≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪<<⎩======≠==
=∴==
⎰⎰
2、 求方波2,||4,()0,|| 4.t x t t <⎧=⎨>⎩的频谱。

（p14
） 解：42242,||4,
()0,|| 4.
2sin 8()2.
i ft i ft
f t x t t f X x t e dt e dt f ππππ+∞+---∞-<⎧=⎨
>⎩===⎰⎰
3、 求信号sin ()t
x t t ππ=的频谱。

（p20）
解：1,||,sin 2()()0,||.
sin 1/2,()()()
1,||1/2,sin ()()0,||1/2.
t f x t X f t f f X f f X t x f t t x t X f t t δπδδππδπππ<⎧=⇔=⎨>⎩∧==
-⇔<⎧=⇔=⎨>⎩
4、
写出离散信号()2(3)3(3)(1)x n n n n δδδ=-+++-的数学表达式。

（p30）
解：1,1,
2,3,()3,3,
0,.n n x n n others =⎧⎪=⎪=⎨
=-⎪⎪⎩
5、
设离散信号()2()x n u n =，求其偶信号和奇信号。

（p35）
解：2,0,1
()(2()2())1(),1,0.21,0,1()(2()2())0,021,0.e o n x n u n u n n n n x n u n u n n n δ=⎧=+-==+⎨≠⎩>⎧⎪=--==⎨⎪-<⎩
6、 设离散信号2,0,1,()0,.n x n others =⎧=⎨⎩，1,0,1/2,1,()1/4,2,
0,.n n h n n others =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪⎩，求()()()y n x n h n =*。

(p64,p82笔记)
解：参考答案：
2,0,
3,1,()3/2,2,1/2,3,0,.n n y n n n others =⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪
⎪⎩
7、 已知离散信号1,0,1/2,1,()1/4,2,
0,.n n h n n others =⎧⎪=⎪=⎨
=⎪⎪⎩，求H(z)。

(p78)
解：21
1
()124H z Z Z =++
8、
已知x(n)的Z 变换为X(z)，且2()(1)X z q qZ qZ αα-=+++，求x(n)。

(p79)
解：21,0,(),,,0,.
q n x n q n others αα⎧+=⎪==-⎨⎪⎩
9、 已知x(n)和y(n)为离散信号，且有()3(4)2(1)(5)y n x n x n x n =++-+-，求滤波器的滤波因子h(n)。

(p82)
解：1,5,
2,1,
()3,4,0,.
n n h n n others =⎧⎪
=⎪=⎨=-⎪
⎪⎩ 10、 反馈系统输入信号x(n)与输出信号y(n)的关系为10
()()(1)(2)3y n x n y n y n =+---，求该系统的
Z 变换，频
谱及时间响应函数。

(p102)
解：2
2
22
1
010
()()(1)(2)
310()()()()
3()1
(),
10()131
()1013||1,
11
31
1()()
101
1
831(3)()333
||1
311
11()
1
183113311()83i i i n n n y n x n y n y n Y Z X Z Z Y Z Z Y Z Y Z H Z X Z Z Z H e e e Z H Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωω
ω
----
+∞==+---∴=+-∴==
-+=-+====---+---==----=-∑ 01
000131()83113
1()()
83831191()()
838311(),0,
83()9
1
(),0.
83n n
n n n n n n n n n n n
n n n
n Z
Z Z Z
Z Z n h n n +∞
-=+∞+∞
--==+∞+∞-==--
=--=--⎧-≥
⎪⎪∴=⎨⎪
-<⎪⎩∑∑∑∑∑
11、 试证明0cos 2f t π的傅氏变换是001
[()()]2f f f f δδ-++。

(p119)
解：0
000202022000()1
()()()
()1
1cos 2()[()()]
22i ft i f t i f t i f t t t t e X t x f e f f f t e e f f f f ππππδδδπδδ--⇔∴-⇔-⇔∴⇔-=+⇔-++
12、 设物理可实现信号0123(,,,)(2,4,6,8)n
x x x x x ==，求该信号的频谱，频谱的实部，频谱的虚部，以及实部、虚部对应的信号。

(p145)
解：01232323223(,,,)(2,4,6,8)
()2468()2468R e ()24cos 6cos 28cos 3Im ()4sin 6sin 28sin 3R e ()24cos 6cos 28cos 3246822n i i i i i i i i i i i i x x x x x X z Z Z Z
X e e
e e X e
X e X e
e e
e e
e ωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωω---------==∴=+++∴=+++∴=+++=---=+++++=+++ 33210123223332101232(,,,,,,)(4,3,2,2,2,3,4);
Im ()4sin 6sin 28sin 3468222(,,,,,,)(4,3,2,0,2,3,4);i n i i i i i i i n n e
X e
e e
e e e e
i i i i i i i i i ωω
ωωωωωωω
ααααααααωωω
ββββββββ-----------+∴===------=---∴==---
13、设物理可实现实信号x(n)频谱的实部为2Re ()cos 2i X e ωω-=，求信号x(n)，频谱和频谱的虚部。

(p146) 解：2222444R e ()cos 21
[](2)
241
,0,
21,4,
4
0,.
()2()()(0)()
1,0,4,()2
0,.1
1(),221Im ()sin 4.
2i i i i i n i i i X e
e e
e e n n others x n u n n n n x n others X e e X e ωωωωωωωωωαααδω------=+==++⎧=⎪⎪⎪∴==±⎨⎪⎪⎪⎩
=-⎧=⎪∴=⎨⎪⎩
∴=+
=-
14、设000022cos sin ,01,0,2.n
x nk nk n N k N N k N N ππ=+≤≤-<<≠，求xn 的N 点离散傅氏变换。

（p158）
解：00000
000222221
00022cos sin ,01,0,2.2
21,,0,1,..., 1.,,22,2
2n ink ink ink ink N N N N N inm N n m n m x nk nk n N k N N k N N e e
e e
i x X e n m N N N N m k i X N N m k i πππππππ---==+≤≤-<<≠+-=+==-⎧+=⎪⎪∴=⎨
⎪-=-⎪⎩∑
三、画图简答题。

1、（1）什么是假频现象？（2）假频现象是如何产生的？请画示意图进行说明。

（3）如何在实际抽样和重抽样过程中避免假频现象的产生？（p47,p54）
2、（1）什么是滤波？（2）请写出模拟滤波器在时域和频域中的滤波原理。

（3）请画出模拟低通滤波器的滤波过程示意图。

3、画出下列滤波器的示意图，并推导各滤波器的Z 变换即系统函数：
（1）串联系统；（2）并联系统；（3）反馈系统。