平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
(1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
[巩固练习]
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值； (2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．
平面向量数量积的综合应用 (1)求f(x)的周期和单调递减区间；
[典例总结]
向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考 查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面 的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平 行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新 的函数、三角或几何问题．
的夹角为120°，a＋b＋c＝0，0°
C．60°
D．30°
(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单
位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k
＝________.
[自主解答] (1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b ，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.
二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a 与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ，其中θ是a 与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .0 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．
[典例总结]
平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝ |a||b|·cos θ求解； (2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求 解．
[巩固练习]
答案: B
答案：－6
两平面向量的夹角与垂直
[例2] (1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝ a1b1＋a2b2 .
2．a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＝0 .
3．|a|＝
.
平面向量数量积的运算
[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)
满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝
()
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] (1)C (2) 18
2．向量基底法
[答案] D
3．坐标法
[答案] D
A．2
B．4
C．5 1．特殊化法
D．10
该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方
法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用
最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．
[答案] D
[题后悟道] 该题中四个选项都是定值是选择特殊 化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长 度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了．
[巩固练习]
4．(1)(2012·朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，
F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2
成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小
为
()
A．直角三角形 C．等边三角形
B．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：（1）A （2） B
[典例总结]
平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思 考，一是利用“数”的特征，我们可以从向量的线性运算、 数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为 代数中的有关问题来解决；二是利用其“形”的特征，可以 通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面 几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.
若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝ |b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．
[典例总结]
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐 角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小 于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求 得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
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[知识梳理] 一、两个向量的夹角 1．定义
2．范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ，a与b同向时， 夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝ 180.° 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90° ，则a与b垂直，记作 a⊥b .