集合论总复习习题
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• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
2
作业讲评 P86 3-1.(10)
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集 各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
• (1) Show that R is an equivalence relation.
• (2) Compute A/R
∵即⑴a证 +ab：, =bRb是+S，a自则反<∴，a,对<ba>称,b>，AR传<a递,b 的>
∴ R自反
⑵令<a, b>R <c, d>，即a+d=b+c
∴ c + b= d + a ∴<c, d>R<a, b> ∴ R对称
<<2,1>, <2,1>>, <<2,1>, <3,2>>, <<2,1>, <4,3>>,
<<3,1>, <3,1>>, <<3,1>, <4,2>>，
<<4,1>, <4,1>>}
20
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
• 解: a) R IA ，如R = {< 1, 1 >} b) 部分对称, 如R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 3>} c) R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>, <2, 2>}
13
作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
• 证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b> 和<a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
= (A C) (B C) 注意：A (B * C) = (A B) * (A C)
(B * C) A = (B A) * (C A) *代表∪, ∩或–运算
9
作业讲评 P105 3-4. (5)
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：1) Y= , 则X Y= , 故 X Z =
∴Z = ，∴ Y=Z
2) Y≠ , 任意yY， 令xX，
由已知有<x, y> X Y= X Z
∴yZ
∴ YZ
同理Y Z
∴ Y= Z
10
作业讲评
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：∵ X Y = X Z且X ≠
∴ X Y X Z 且X Z X Y
∴ YZ且Y Z
5
作业讲评
(2) A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。 证明: 设 A = {2, 3}, B = {1, 4, 7}, C = {3, 5},
则 BC = {1, 3, 4, 5, 7} 所以 A∪(BC) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 但 A∪B = {1, 2, 3, 4, 7}
∨ (< x,y> (A C)∧< x,y>(B C) )
< x,y>(AC)(B C) )
8
作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C) 证明: ( AB ) C = ((A-B)∪(B-A)) C = ((A-B) C) ∪ (B-A)) C) = ( (A C) -(B C) ) ∪ ( (B C )- (A C) )
任意元素a,b,c,若aRb, 若有aRb且bRc,
由自反性得有aRa, 由对称性得到 bRa,
于是有bRa,
于是有bRa 且bRc,
故R是对称的；
故有aRc,故R传递
14
作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b>和 <a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
• (1) Show that R is an equivalence relation. • (2) Compute A/R
A={<1,1>, <1,2>, < 1,3>,<1,4>,
<2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,
<4,1>,<4,2>, <4,3>,<4,4>}
A∪C = {2, 3, 5} 故 (A∪B)(A∪C) = {1, 4, 5, 7} 因此A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。
6
作业讲评 P105 3-4.(3)
c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。
设A=B，C和D ≠ 则左边=，右边≠
{a3, a7 ,a8} = B00100011 = B35
{a2, a6 ,a7} = B01000110 = B70
3
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B)∩~ (A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B)) = ((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B)) = ((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B)) = A∩((B∩~C)∪(C∩~B))
7
作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)
证明: 对于任意的<x,y> (AB) C x (AB) ∧ y C
(( xA ∧xB) ∨ (xA ∧xB)) ∧ y C
(( xA∧xB)∧y C) ∨ ((xA∧x B)) ∧ y C) (< x,y>(AC)∧< x,y>(BC) )
∴ Y= Z
(1)A B的充分必要条件是A C B C;
(2) A B的充分必要条件是C A C B
C是非空集合。
11
作业讲评 补充题
• 90名学生，55人参加数学小组，44人参加语 文小组，33人参加体育小组。36人参加数学 和语文小组，29人参加数学和体育小组，25 人参加语文和体育小组。问多少人3个小组都 没有参加？
• (1) Show that R is an equivalence relation. • (2) Compute A/R A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <2,4>,
<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>}
令<x, y>S， 由自反性知<y, y>S ∴ <x, y> S S ∴S S S
其逆不真。例如X={1，2，3}，S={<1,2> ，
<2,2>，<1,1>}, S S = S,但S不是自反的。
16
作业讲评
• A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and only if it is an equivalence relation.
1. |A∪B| ≤|A| + |B| 2. |A∩B| ≤ min(|A|, |B|) 3. |A – B| ≥|A| – |B| 4. |A B| = |A| + |B| – 2|A∩B|
12
作业讲评 P113 3-6.(3)
• 举出A={1,2,3}上的关系R的例子，使它有以下 性质： a) 既是对称又是反对称的 b) 既不是对称又不是反对称的 c) R是可传递的
良序集合一定是全序集合p145定理121关系笛卡尔乘积有限的全序集合一定是良序集合p145定理122无限的全序集合不一定是良序集合例如正实数集合上的小于关系开区间子集没最小元素75定义函数函数也叫映射mapping的定义
第二十一讲
集合论总复习 习题
1
作业讲评 P86 3-1.(9)
• 设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集？ b) 其中有多少个子集元素为奇数？ c) 是否有102个元素的子集？
必要性：
因为R为X上的等价关系，
所以具有自反性、对称性和传递性。
对于集合X上的任意元素a,b,c，
若 aRb 且aRc,
由对称性得：bRa，
再由传递性得 bRc。
15
作业讲评 P119 3-7. (3)
设S为X上的关系，证明S是自反的和传递 的，则 SSS，其逆为真吗？
令<x, z>S S，存在y使 <x, y>S且<y, z>S ∵S是传递的 ∴ <x, z>S ∴S S S
x1
最大元素x1 , 无最小元素
x2
x3
极大元素x1 , 极小元素x4, x5
集合 上界 下界 上确界 下确界
x4
x5 {x2, x3, x4} x1
x4
x1
x4
{x3, x4, x5,} x1, x3 无
x3
无
{x1, x2, x3} x1 x4
R={<<1,1>, <1,1>>, <<1,1>, <2,2>>, <<1,1>, <3,3>>,<<1,1>, <4,4
<<1,2>, <1,2>>,<<1,2>, <2,3>>, <<1,2>, <3,4>>,
<<1,3>, <1,3>>, <<1,3>, <2,4>>, <<1,4>, <1,4>>,
= A∩(B C)
4
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B) – (A∩C))∪((A∩C) – (A∩B)) = (A∩(B – C))∪(A∩(C – B)) = A∩((B – C)∪(C – B)) = A∩(B C) 注意： A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)
作业讲评
• A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and only if it is an equivalence relation.
A/R={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},
{<1,2>,<2,3>,<3,4>} ,
{<4,3>,<3,2>,<2,1>},
{<1,3>,<2,4>},
{<3,1>,<4,2>},
{<1,4>},{<4,1>}}
21
作业讲评 P146 3-12 (6)
• (6) 设集合P={x1, x2, x3, x4, x5,}上的偏序关系如图所示。 找出P的最大(小)元素，极大(小)元素。 找出子集{x2, x3, x4}{x3, x4, x5,}{x1, x2, x3}的上(下)(确)界
⑶令<a, b> R <c, d>， <c, d> R <e, f>
即a+d=b+c，c+f=d+e
∴a+f=b+e
∴ <a, b>R<e, f> ∴ R传递 19
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
{a3, a8, a7}?
解B：17S=有B20800=1002051 6=个{a不4, 同a8的} 子集, 可表示为B0, BB311,=BB20,001B11311, =…{a,4,Ba255,5a, 6二, 进a7 制, a下8} 标有8位.
{a1, a8} = B10000001 = B129
必集要合性A：上的R是关系自R反，和如循果环aR的b且bRRc是蕴含等c价Ra关，系那 令么<就a,称bR>是R循环∵的R。是自反的∴ <b, b>R 证∵明R是：R循是环自的反和∴循<环b,的a当>且R仅当∴R是R对等价称关系 令<a, b>, <b, c>R，
∵R是循环的∴ <c, a>R ∵R是对称的 ∴ <a, c>R ∴ R传递 17
充分性 R是等价关系R是自反和循环的
∵R是等价关系∴ R是自反,传递,对称的 令<a, b>, <b, c>R， ∵R是传递的∴ <a, c >R
∵R是对称的 ∴ <c, a >R ∴ R循环 18
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
2
作业讲评 P86 3-1.(10)
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集 各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
• (1) Show that R is an equivalence relation.
• (2) Compute A/R
∵即⑴a证 +ab：, =bRb是+S，a自则反<∴，a,对<ba>称,b>，AR传<a递,b 的>
∴ R自反
⑵令<a, b>R <c, d>，即a+d=b+c
∴ c + b= d + a ∴<c, d>R<a, b> ∴ R对称
<<2,1>, <2,1>>, <<2,1>, <3,2>>, <<2,1>, <4,3>>,
<<3,1>, <3,1>>, <<3,1>, <4,2>>，
<<4,1>, <4,1>>}
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作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
• 解: a) R IA ，如R = {< 1, 1 >} b) 部分对称, 如R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 3>} c) R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>, <2, 2>}
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作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
• 证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b> 和<a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
= (A C) (B C) 注意：A (B * C) = (A B) * (A C)
(B * C) A = (B A) * (C A) *代表∪, ∩或–运算
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作业讲评 P105 3-4. (5)
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：1) Y= , 则X Y= , 故 X Z =
∴Z = ，∴ Y=Z
2) Y≠ , 任意yY， 令xX，
由已知有<x, y> X Y= X Z
∴yZ
∴ YZ
同理Y Z
∴ Y= Z
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作业讲评
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：∵ X Y = X Z且X ≠
∴ X Y X Z 且X Z X Y
∴ YZ且Y Z
5
作业讲评
(2) A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。 证明: 设 A = {2, 3}, B = {1, 4, 7}, C = {3, 5},
则 BC = {1, 3, 4, 5, 7} 所以 A∪(BC) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 但 A∪B = {1, 2, 3, 4, 7}
∨ (< x,y> (A C)∧< x,y>(B C) )
< x,y>(AC)(B C) )
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作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C) 证明: ( AB ) C = ((A-B)∪(B-A)) C = ((A-B) C) ∪ (B-A)) C) = ( (A C) -(B C) ) ∪ ( (B C )- (A C) )
任意元素a,b,c,若aRb, 若有aRb且bRc,
由自反性得有aRa, 由对称性得到 bRa,
于是有bRa,
于是有bRa 且bRc,
故R是对称的；
故有aRc,故R传递
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作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b>和 <a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
• (1) Show that R is an equivalence relation. • (2) Compute A/R
A={<1,1>, <1,2>, < 1,3>,<1,4>,
<2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,
<4,1>,<4,2>, <4,3>,<4,4>}
A∪C = {2, 3, 5} 故 (A∪B)(A∪C) = {1, 4, 5, 7} 因此A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。
6
作业讲评 P105 3-4.(3)
c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。
设A=B，C和D ≠ 则左边=，右边≠
{a3, a7 ,a8} = B00100011 = B35
{a2, a6 ,a7} = B01000110 = B70
3
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B)∩~ (A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B)) = ((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B)) = ((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B)) = A∩((B∩~C)∪(C∩~B))
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作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)
证明: 对于任意的<x,y> (AB) C x (AB) ∧ y C
(( xA ∧xB) ∨ (xA ∧xB)) ∧ y C
(( xA∧xB)∧y C) ∨ ((xA∧x B)) ∧ y C) (< x,y>(AC)∧< x,y>(BC) )
∴ Y= Z
(1)A B的充分必要条件是A C B C;
(2) A B的充分必要条件是C A C B
C是非空集合。
11
作业讲评 补充题
• 90名学生，55人参加数学小组，44人参加语 文小组，33人参加体育小组。36人参加数学 和语文小组，29人参加数学和体育小组，25 人参加语文和体育小组。问多少人3个小组都 没有参加？
• (1) Show that R is an equivalence relation. • (2) Compute A/R A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <2,4>,
<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>}
令<x, y>S， 由自反性知<y, y>S ∴ <x, y> S S ∴S S S
其逆不真。例如X={1，2，3}，S={<1,2> ，
<2,2>，<1,1>}, S S = S,但S不是自反的。
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作业讲评
• A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and only if it is an equivalence relation.
1. |A∪B| ≤|A| + |B| 2. |A∩B| ≤ min(|A|, |B|) 3. |A – B| ≥|A| – |B| 4. |A B| = |A| + |B| – 2|A∩B|
12
作业讲评 P113 3-6.(3)
• 举出A={1,2,3}上的关系R的例子，使它有以下 性质： a) 既是对称又是反对称的 b) 既不是对称又不是反对称的 c) R是可传递的
良序集合一定是全序集合p145定理121关系笛卡尔乘积有限的全序集合一定是良序集合p145定理122无限的全序集合不一定是良序集合例如正实数集合上的小于关系开区间子集没最小元素75定义函数函数也叫映射mapping的定义
第二十一讲
集合论总复习 习题
1
作业讲评 P86 3-1.(9)
• 设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集？ b) 其中有多少个子集元素为奇数？ c) 是否有102个元素的子集？
必要性：
因为R为X上的等价关系，
所以具有自反性、对称性和传递性。
对于集合X上的任意元素a,b,c，
若 aRb 且aRc,
由对称性得：bRa，
再由传递性得 bRc。
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作业讲评 P119 3-7. (3)
设S为X上的关系，证明S是自反的和传递 的，则 SSS，其逆为真吗？
令<x, z>S S，存在y使 <x, y>S且<y, z>S ∵S是传递的 ∴ <x, z>S ∴S S S
x1
最大元素x1 , 无最小元素
x2
x3
极大元素x1 , 极小元素x4, x5
集合 上界 下界 上确界 下确界
x4
x5 {x2, x3, x4} x1
x4
x1
x4
{x3, x4, x5,} x1, x3 无
x3
无
{x1, x2, x3} x1 x4
R={<<1,1>, <1,1>>, <<1,1>, <2,2>>, <<1,1>, <3,3>>,<<1,1>, <4,4
<<1,2>, <1,2>>,<<1,2>, <2,3>>, <<1,2>, <3,4>>,
<<1,3>, <1,3>>, <<1,3>, <2,4>>, <<1,4>, <1,4>>,
= A∩(B C)
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作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B) – (A∩C))∪((A∩C) – (A∩B)) = (A∩(B – C))∪(A∩(C – B)) = A∩((B – C)∪(C – B)) = A∩(B C) 注意： A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)
作业讲评
• A relation R on a set A is called circular if aRb and bRc imply cRa. Show that R is reflexive and circular if and only if it is an equivalence relation.
A/R={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},
{<1,2>,<2,3>,<3,4>} ,
{<4,3>,<3,2>,<2,1>},
{<1,3>,<2,4>},
{<3,1>,<4,2>},
{<1,4>},{<4,1>}}
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作业讲评 P146 3-12 (6)
• (6) 设集合P={x1, x2, x3, x4, x5,}上的偏序关系如图所示。 找出P的最大(小)元素，极大(小)元素。 找出子集{x2, x3, x4}{x3, x4, x5,}{x1, x2, x3}的上(下)(确)界
⑶令<a, b> R <c, d>， <c, d> R <e, f>
即a+d=b+c，c+f=d+e
∴a+f=b+e
∴ <a, b>R<e, f> ∴ R传递 19
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
{a3, a8, a7}?
解B：17S=有B20800=1002051 6=个{a不4, 同a8的} 子集, 可表示为B0, BB311,=BB20,001B11311, =…{a,4,Ba255,5a, 6二, 进a7 制, a下8} 标有8位.
{a1, a8} = B10000001 = B129
必集要合性A：上的R是关系自R反，和如循果环aR的b且bRRc是蕴含等c价Ra关，系那 令么<就a,称bR>是R循环∵的R。是自反的∴ <b, b>R 证∵明R是：R循是环自的反和∴循<环b,的a当>且R仅当∴R是R对等价称关系 令<a, b>, <b, c>R，
∵R是循环的∴ <c, a>R ∵R是对称的 ∴ <a, c>R ∴ R传递 17
充分性 R是等价关系R是自反和循环的
∵R是等价关系∴ R是自反,传递,对称的 令<a, b>, <b, c>R， ∵R是传递的∴ <a, c >R
∵R是对称的 ∴ <c, a >R ∴ R循环 18
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.