甘肃高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题
1．圆的圆心为（ ）． 222430x y x y +-++=A ． B ．
C ．
D ．
(1,2)-(1,2)-(2,4)-(2,4)-【答案】A
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标. 【详解】由，得， 222430x y x y +-++=22(1)(2)2x y -++=所以圆心为， (1,2)-故选：A
2．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
2
2
2:1y C x b
-=(2,0)-C A ． B
C ． D
0x =0y +=10x +-=10
y +-=【答案】B
【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出
b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题意，，又，解得. 1,2a
c =
=222c a b =+b =所以双曲线的一条渐近线方程为. C b
y x a
=-=0y +=故选：B.
3．“”是“方程表示椭圆”的
57m <<22
175
x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 2
2
175x y
m m +=--7050
75
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.
57m <<22
175
x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论. 75m m -≠-4．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128
C ．255
D ．256
【答案】C
【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.
【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，，
11a =2q =8
81225512
S -==-故选：C.
5．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ） A ．24 B ．48 C ．144 D ．240
【答案】C
【分析】结合捆绑法、插空法来求得不同的放置方式种数.
【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，
所以不同的放置方式种数有种.
232
234A A A 2612144⨯⨯=⨯⨯=故选：C
6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，22(0)y px p =>1(P x 1)y 2(Q x 2)y 123x x p +=则等于（　） PQ A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p
【答案】A
【详解】试题分析：由抛物线的定义可知．故A 正确． 1212()()422
p p
PQ x x x x p p =+++=++=【解析】抛物线的定义．
7．P 是双曲线的右支上一点，M 、N 分别是圆和上的
22
1916
x y -=()2254x y ++=()2251x y -+=点，则的最大值为 PM PN -()A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】D
【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、
22
1916
x y -=1F 2F 三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，可得答案.
1F 2F 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆
22
1916x y -=1F 2F 心，由题意可得，当且仅当P 与M 、三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，此时
1F 2F ==6+3=9
PM PN -21(2)(1)PF PF +--【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、三点共线以及P 与N 、三1F 2F 点共线时所求的值最大是解题的关键.
8．已知是椭圆的右焦点，是的上顶点，直线与交于
F 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>A C :340l x y -=C 两点.若，到的距离不小于，则的离心率的取值范围是（ ）
,M N ||||6MF NF +=A l 4
5C
A ．
B ．
C ．
D ． ⎫
⎪⎪⎭
⎫
⎪⎪⎭⎛ ⎝⎛ ⎝【答案】C
【分析】由，解得，根据到的距离为，得1||||||||26MF NF NF NF a +=+==3a =A l 44
55
b d -=≥
，得.
1b ≥0c <≤【详解】设椭圆的左焦点为，是的上顶点，连接，如图，
1F A C 11,MF NF
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则, ,M N OM ON =因为,
1OF OF =所以四边形为平行四边形， 1MFNF 所以，
1MF NF =所以，解得，
1||||||||26MF NF NF NF a +=+==3a =
因为，到的距离为， :340l x y -=A l 44
55
b d -=≥解得，
1b ≥
所以， 1b =≥
解得 0c <≤
所以， c e a ⎛=
∈ ⎝故选：C
二、多选题
9．已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） n S {}n a n 70a >690a a +<A ．数列为递增数列 B ．数列为递减数列
C ．
D ．
{}n a {}n a 130S >140S >【答案】BC
【分析】利用等差数列的性质有，又，可得即可判断的单调76980a a a a =+<+70a >80a <{}n a 性，根据等差数列前n 项和判断、的符号. 13S 14S 【详解】由题设，，而，
76980a a a a =+<+70a >∴，则，则为递减数列，A 错误，B 正确； 870a d a =+<70d a <-<{}n a ，，C 正确，D 错误. 11313713()1302a a S a +=
=>114146914()
(07)2
a a a a S ==+<+故选：BC.
10．若为正整数，的展开式中存在常数项，则的可能取值为（ ）
n 2n
x ⎛
⎝n A ．16 B ．10 C ．5 D ．2
【答案】BC
【分析】先得出展开式的通项公式，再令
，由此可得选项. 452
12C (1)n k k
k
k n
T
x -+=-4502
n k
-=
【详解】解：的展开式的通项公式为，
2n
x ⎛ ⎝4522
122C C (1)k
n k k n k k k
k n n T x x
--+⎛==- ⎝⋅令
，得，又，，所以结合选项知，可取5和10． 4502n k
-=45
n k =k ∈N *n ∈N n 故选：BC ．
11．已知抛物线C 的方程为，焦点为F ，且过点，直线l ：，点P 是抛22y px =()2,4A 40y x --=物线C 上一动点，则（ ） A ．
()2,0F B ．的最小值为2
PF C ．点P 到直线l 的距离的最小值为2
D ．点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值为【答案】ABD
【分析】对于A ，根据抛物线方程直接求解，对于B ，设点，然后表示出，结合抛物(),P x y PF 线的性质可求出其最小值，对于C ，设过点P 且与直线l 平行的直线为：，代入抛物l '0y x b -+=线方程化简，由判别式等于零可求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果，对于D ，由抛b 物线的性质可得点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值就是点到直线l 的距离. ()2,0F 【详解】∵抛物线C 过点，则，∴，
()2,4A 1622p =⨯4p =∴抛物线C 的方程为，则焦点的坐标为，故选项A 正确； 28y x =()2,0F
设点，则，故选项B 正确；
(),P x y 2x =
=+min 2PF =设过点P 且与直线l 平行的直线为：，
l '0y x b -+=与抛物线方程联立得，
()22
280x b x b -++=令，解得， ()2
22840b b ∆=+-=2b =-
∴：，
l '20y x --=
∴点P 到直线l ，故选项C 错误；
∵点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和大于等于点到直线l 的距离， ()2,0F
∴点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值为点到直线l ()2,0F ，故D 选项正确， 故选：ABD ．
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为P F 一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕P F 月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表
P F 12c 22c
示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是12a 22a （ ）
A ．
B ． 1122a c a c -=-1122a c a c +=+
C ．
D ．
12
12
c c a a <1212c a a c >【答案】AD
【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A ；由，结合不等式性质判断||PF 1212,a a c c >>B ；
由变形推理判断C ，D 作答.
1122a c a c -=-【详解】观察给定图形，由及得，A 正确； 11||PF a c =-22||PF a c =-1122a c a c -=-由，得，B 不正确；
1212,a a c c >>1122a c a c +>+因，即，有，得，
1122a c a c -=-1221a c a c +=+212122())(a c a c +=+2222
1112222122a c a c a c a c -+=-+令，，即有，由给定轨道图知，，
2221111(0)b a c b =->222
2222(0)b a c b =->2211222122b a c b a c +=+12b b >因此，，D 正确；而，C 不正确. 1212c a a c >12
121212
c c c a a c a a >⇔>故选：AD
三、填空题
13．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
22
163
x y -=
280x y +-=
【分析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，， 3c ==所以双曲线的右焦点为，
(3,0)
所以右焦点到直线(3,0)280x y +-==
=
14．将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是______． 1y x =-(15︒
【答案】
y =
【分析】由直线的倾斜角，得到逆时针方向旋转后的倾斜角，求出旋转后的斜率，1y x =15︒使用点斜式求出旋转后的直线方程即可.
【详解】直线的斜率，倾斜角，
1y x =11k =145α=︒
绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率 (15︒2451560α=︒+︒=︒2tan 60k =︒=
∴旋转后得到的直线方程为：，即. )1y x =-y =
故答案为：.
y =15．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则的最
22
198x y +=OP FP ⋅ 小值为________． 【答案】6
【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程(,)P x y OP FP
即可求得其答案.
【详解】点P 为椭圆上的任意一点，设，
22
198
x y +=(,)P x y (33,x -≤≤-依题意得左焦点，
(1,0)F -∴，
(,),(1,)OP x y FP x y ==+
∴， 222
728(1)9
x OP PF x x y x x -⋅=++=++ 21923(924x =++∵，∴，∴，
33x -≤≤3915222x ≤+≤299225
(424x ≤+≤∴
，∴， 2119225()49236
x ≤+≤21923
6()12924x ≤++
≤即，故最小值为6.
612OP FP ≤⋅≤
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.
四、双空题
16．若用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的五位数和四位数，则其中为5的倍数的五位数的个数是______，比1325大的四位数的个数是______． 【答案】 216 270
【分析】对于空1，分别讨论个位上的数字是0或5，结合分类与分布计数原理即可求解；对于空2，结合题意，分别从千位，百位，十位，个位一一讨论，即可求解.
【详解】满足条件的五位数中是5的倍数的数可分为两类：第一类，个位上的数字是0，有个；
4
5A 第二类，个位上的数字是5，有个．故是5的倍数的五位数的个数．
1344A A 413
544A A A 216+=比1325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□的数，共个； 13
45A A 第二类，形如14□□，15□□的数，共个； 12
24A A 第三类，形如134□，135□的数，共个．
11
23A A 故比1325大的四位数的个数是．
131211
452423A A A A A A 270++=故答案为：216；270.
五、解答题
17．已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列． {}n a 11a =124,,a a a （1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设数列满足，求数列的前n 项和．
{}n b 2n a
n n b a =+{}n b n T 【答案】（1）；（2）． n a n =n T 1(1)
222
n n n ++=
+-【解析】（1）设数列的公差为d ，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项{}n a 公式即可求出答案；
（2）由（1）得，再根据分组求和法即可求出答案．
2n
n b n =+【详解】解：（1）设数列的公差为d ，由已知得， ，
{}n a 2
214a a a =即，解得或， 2(1)13d d +=+0d =1d =又，∴，
0d ≠1d =
∴；
()11n a n n =+-=（2）由（1）得，
2n
n b n =+ ()()()123122232n T ∴=++++++()2n n ++
()23(123)2222n n =+++++++++ 1
(1)22212n n n ++-=+
-．
1(1)222
n n n ++=+-【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题．
18．已知，且．
57
A 56C n n =()201212n
n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+(1)求的值；
n (2)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅+(3)求的值． 0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+【答案】(1) 15n =(2)
2-(3)
15312-
【分析】由排列数和组合数公式求出的值，再通过赋值法，求和
n 123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值即可.
0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+【详解】（1）∵，∴，
57
A 56C n n =7n ≥*n ∈N ∴，
()()()()()()()()()()
1234561234567654321
n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴，
()()0
5619n n --=
∴，解得（舍）或， 211600n n --=n =-415n =∴.
15n =（2）由第（1）问，，
15n =∴①，
()15
2150121512x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+
令①式中，则， 1x =()15
0121512a a a a -=+++⋅⋅⋅+∴，
()15
012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-1令①式中，则，即，
0x =15
01a =01a =∴.
12312315112n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=--=-（3）令第（2）问①式中，则，
=1x -()15
0123141512a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-∴②，
15
012314153a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=由第（2）问，③， 012314151a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-②，③两式相加，得
，
()150214231a a a ++⋅⋅⋅+=-∴.
1502410241431
2
n a a a a a a a a --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=19．平面内，动点M 与两个定点，的距离之比为，记动点M 的轨迹为曲线C .
()1,0A -()3,0B 1
3
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线与曲线C 交于D ，E 两点，求线段DE 的长.
:1l y x =+【答案】(1)
2
23924x y ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭
【分析】（1）设，由题意得到关于，的等量关系，然后整理变形可得轨迹方程； (,)M x y x y （2）求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离及垂径定理与勾股定理计算可得；
【详解】（1）解：设，即，所以(,)M x y 13=2222(1)1(3)9x y x y ++=-+，即，所以，
2
2
2
2
9(1)9(3)x y x y ++=-+2
2
88240x y x ++=2
23924x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭即动点的轨迹方程为．
M 2
23924x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭（2）解：由（1）可知曲线的方程为，表示以为圆心，为半径的圆，
C 2
23924x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭32
圆心到直线的距离
3(,0)2-10x y -+
=
d 所以弦 DE ==20．已知椭圆
C ：（ 4. 22221x y a b +=0a b >>（1）求椭圆方程；
（2）过作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长.
()2,1P 【答案】（
1）（2）直线方程为，弦长为22
1164
x y +=240x y
+-=【分析】（1）由已知信息，待定系数即可求解椭圆方程；
（2）设出交点坐标，由点差法，即可求得直线斜率，再求弦长.
【详解】（1，
c a
=根据短轴长可得：，，
24b =2b =设，，，所以，
2a k =c =2b k ==4a =所以椭圆方程为. 22
1164x y +=（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，
()2,1P ()11,A x y ()22,B x y 则，则，
124x x +=122y y +=分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得 22111164x y +=22221164
x y +=
()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以， ()()1212480x x y y ∴-+-=212112
y y k x x -==--故以点为中点的弦所在直线方程为；
()2,1P 240x y +-=由，得， 222401164
x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩()20
y y -=所以，
；，，
0y =4x =2y =0x =
=故该直线截椭圆所得弦长为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的中点弦问题，涉及弦长的求解，属综合中档题.
21．抛物线的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足24y x =2AF FB
=
．
(1)求直线l 的斜率；
(2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的最小值．
M AB O M C OACB
【答案】(1) (2)
4【分析】（1）依题意，设直线方程为，代入抛物线方程，由韦达定理知：
(1,0)F AB 1x my =+，，由，，联立求解，即可求出直线l 的斜率．
124y y m +=124y y =-2AF FB = 122y y =-m
（2）由(1)知：
1y -=四边形的面积等于，又 OACB 2AOB S 121222
AOB S OF y y =⨯⋅⋅-
代入化简可得，即可求出四边形的面积的最小值．
4≥OACB 【详解】（1）依题意，设直线方程为，
(1,0)F AB 1x my =+则 ，消去得， 214x my y x
=+⎧⎨=⎩x 2440y my --=设，，由韦达定理可得
11(,)A x y 22(,)B x y ，，①
124y y m +=124y y =-，
11(1,)AF x y =-- 22(1,)FB x y =-u u r 因为，所以，②
2AF FB = 122y y =-
联立①和②，消去得， 12,y y m =
所以斜率为正的直线l 的斜率是
(2)
由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线l 的距离相等，C O M M OC O C 所以四边形的面积等于，
OACB 2AOB S 因为 121222
AOB S OF y y =⨯⋅⋅-
== 所以，四边形的面积的最小值．
0m =OACB 4【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，是解析几何中的常见题型，属于中档题．
22．已知，分别为双曲线C ：的左、右焦点，过点作垂直于x 轴的1F 2F ()22
2210,0x y a b a b
-=>>2F 直线，与双曲线C 交于点M ，N ，且三角形为等边三角形，双曲线C 与x 轴两交点间距离为1MNF 2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设过的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，是否存在一个定点P 使为定值？如果3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
PA PB ⋅ 存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
P 【答案】(1) 2
212y x -=(2)存在，
1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）由双曲线C 与x 轴的交点间距离可得的值，再由过焦点且垂直于轴的焦点弦时双a x
曲线的通径，长为，及等边三角形可得，再由之间的关系求出的值，进而22b a 2
22b c a
=,,a b c b 求出双曲线的方程；
（2）设直线的方程，与双曲线的方程联立求出两根之和即两根之积，设的坐标，由AB P PA PB
⋅ 为定值可得对应系数成比例，可得的坐标，并求出定值.
P 【详解】（1）因为双曲线与x 轴两交点间距离为2，
C
所以，． 1a =c ==)2
F
设点在x 轴的上方，则． M )()0
00M y y >因为点在双曲线上，所以． M C 220211y b b
+-=因为，所以，所以．
0b >20y b =222MF NF b ==因为为等边三角形，所以为直角三角形．
1△MNF 21MF F A 在中，，所以． 21Rt MF F △1211302
MF F MF N ∠=∠=︒21222MF MF b ==由双曲线的定义可知，
21222MF MF a b -===
故双曲线的方程为． C 2
2
12y x -=（2）存在．理由如下：
当直线斜率不为0时，设直线AB 的方程为，
AB x my n =+根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点，则点在x 轴上，设点，，P P (),0P t ()11,A x y ，
()22,B x y 则，
． ()11,PA x t y =- ()22,PB x t y =- 将代入得直线的方程为， 3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 32x my =+联立，消去x 得． 2
2123
2y x x my ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
()22521602m y my -++=当时，，
2210m -≠216100m ∆=+>则，， 122621m y y m -+=
-122542
y y m =-所以 ()()()21212121212PA PB x t x t y y x x t x x t y y ⋅=--+=-+++ ， ()()()22
22121221213539913324424t m m y y t m y y t t t t m -+⎛⎫=++-++-+=+-+ ⎪-⎝⎭若为定值和参数m 无关，即， PA PB ⋅ 1213542
t -=-解得，故定点坐标为． 14t =1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
当直线的斜率为0时，则, (1,0),(1,0)A B -当时，也适合. 1(,0)4P 5315,0,,0,4416AP PB AP PB ⎛⎫⎛⎫==-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上，存在一个定点使为定值． 1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
PA PB ⋅ 【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，判断是否过定点，考察运算求解能力及化归与转化思想，体现了数学运算，逻辑推理的核心素养.。