备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题04 函数的定义域、值域的求法

专题04 函数的定义域、值域的求法

【热点聚焦与扩展】

函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决. （一）函数的定义域

1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

2.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()

y f g x =的定义域； ②若()()

y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域． 3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.

4.与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数

()f x 的定义域．

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域

1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.

2.利用配方法:形如2

(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.

3.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.

4.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx e

y cx d

++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.

一般地， ① ax b

y cx d

+=

+：换元→分离常数→反比例函数模型

② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→a

y x x

=±模型

③ 2

dx e

y ax bx c

+=

++：同时除以分子：21y ax bx c dx e

=+++→②的模型 ④ 22ax bx c

y dx ex f

++=++：分离常数→③的模型

共同点：让分式的分子变为常数

5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ()

()(),log ,sin f x a y a

y f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确

定()f x 的范围，再求出函数的范围.

② ()

()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.

③形如y ax b =+,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:

7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域

8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域.

9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.

10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.

（1）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.

（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.

（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处

理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（2

y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：1

y x

=

（1）图像关于原点中心对称

（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0a

y x a x

=+

> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >

注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+

，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，再求得2a =

② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：

(,-

④ 定义域：()(),00,-∞+∞