2022-2023学年初中八年级上数学新人教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年初中八年级上数学月考试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( ) A.
B.
C.
D.
2. 已知一个三角形两边的长分别是5和8，则此三角形第三边的长不可能是( )
A.3
B.5
C.7
D.10
3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS
4. 下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②3πxy 3是4次单项式；③将方
程x −10.3−x +20.5=1.2中的分母化为整数，得10x −103−10x +205=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中说法正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5. 如图，A ，B ，C 为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处，那么超市( )
A.距离A 点较近
B.距离B 点较近
C.距离C 点较近
D.与A ，B ，C 三点的距离相同
6. 如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边△BPC ，延长BP ，CP 分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①AE =12CF ；②ED 2=EP ⋅EB ；
③△PFD ∼△PDB ；④∠BPD =135∘ ，其中正确的是( )
A.②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
7. 若一个多边形的内角和为1080∘，则这个多边形的边数为________.
8. 等腰三角形的一边长7cm，另一边长8cm，那么这个三角形的周长是________cm．
9. 菱形ABCD的周长为40，对角线AC与BD相交于点0，点E是AB的中点，点F是直线BD上一点，且DF=12DO，连接EF，直线EF与直线AD交于点 H，则线段AH的长为________.
10. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=70∘，则∠BOC=________．
11.
如图，拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，
则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是
________．
12. 如图，四边形ABCD中，AH⊥BC于H， AC=AD，∠BAH=∠ADC，
若AH=4，BC=10，则BD=__________.
三、解答题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分）
13. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．
14. 如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并说明理由．
你添加的条件是：________．
理由：
15. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠B=∠C=∠BAD，∠ADC=∠CAD．求∠BAD的度数．
16. 如图，已知△ABC中，∠B=60∘，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
且∠DAE=10∘，求∠C的度数．
17. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧
作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=________∘；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC动，则α，β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
18. 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60∘角的直角三角
尺EFG(∠EFG=90∘,∠EGF=60∘)”为主题开展数学活动．
操作发现
(1)如图(1)，小明把三角尺的60∘角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说
明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30∘角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于________（用含α的式子表示）．
19. 如图，AC=DB,BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，BD、AC交于点E．
(1)求证：AB=DC；
(2)延长BA、CD交于点F，请直接写出图中的所有全等三角形．
20. 如图，△EFG 的顶点F，G分别落在直尺的对边AB与CD上，GE平分∠FGD且交AB于
点H, ∠EFG=90∘，∠E=36∘，∠FHG=54∘.
(1)求∠EFH的度数；
(2)猜想：直尺的对边 AB与CD具有怎样的位置关系，并说明理由.
21. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
22. 如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE=∠CAD，AB=AC，AD=AE．
（1）求证：△ABD≅△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC=86∘，∠ABD=20∘，求∠BFC的度数．23. 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90∘，AB=CB，BE=BD，连
接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．判断AE与CD的关系，并给出证明.
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中八年级上数学月考试卷
一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【解答】
解：一个图形如果沿某条直线对折，对折后折痕两边的部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形.
A，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D，是轴对称图形，本选项符合题意．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设三角形的第三边为x，
根据三角形的两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，
则8−5<x<5+8，
即3<x<13.
第三边长不可能是3.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
作一个角等于已知角
全等三角形的性质与判定
【解析】
我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O ′C′D′
，
{O′C′=OC,O′D′=OD,C′D′=CD,
∴△OCD≅△O ′C′D′(SSS)
，
∴∠A ′O′B′=
∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
命题与定理
【解析】
①−1的平方是1；②32xy3
是4次单项式；③中方程右应还为1.2；④只有每任意三点不在同一直线上
的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．
【解答】
解：①错误，−1的平方是1；
②正确；
③错误，方程右应还为1.2；
④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只能画一条直线了．
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
本题主要考查了线段垂直平分线定理的的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
【解答】
解：∵超市恰好是在AC，BC两边垂直平分线的交点处，
∴超市到A，B，C三点的距离相同（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）.
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
等边三角形的性质
【解析】
由等边三角形和正方形性质可求出∠ABE、∠FCD大小，由直角三角形性质可得出AE与BE关系，再由全等得出（1）正确；然后由等腰三角形性质得出角CDP，进而求出角PDE＝角DPE，再由相似三角形性质得出（2）正确；比较三角形EPD和DEB各角大小，得出（3）错误；易求出角BPD＝135度。

【解答】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=CP=BC，∠BPC=∠PCB=∠PBC=60∘.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90∘，BC//AD，∴∠ABE=∠DCF=30∘，
∴AE=12BE，△ABE≅△DCF(ASA)，
∴BE=CF，
∴AE=12CF，故①正确；
∵CP=CD，
∴∠CDP=∠CPD=75∘，
∴∠PDE=∠PBD=15∘.
∵∠PED=∠DEB，
∴△EPD∼△EDB，
∴EDEB=EPED，即ED 2=EP
⋅EB，故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15∘，∠ADB=45∘，
∴∠PDB=30∘.
∵∠PFD=60∘，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似，故③错误；
∵∠PBD=15∘，∠PDB=30∘，
∴∠BPD=135∘，故④正确.
故选B.
二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
7.
【答案】
8
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180∘(n−2)，即可得方程180(n−2)＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180(n−2)=1080，
解得：n=8．
故答案为：8.
8.
【答案】
22或23
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的性质
【解析】
题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：①当腰为7时，7+7>8，
∴周长是7+7+8=22；
当腰为8时，8+8>7，
∴周长是8+8+7=23．
故答案为：22或23.
9.
【答案】
15或253
【考点】
三角形中位线定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
【解答】
解：①F在OD上且OF=12OD，
连接EO，∵E为AB的中点，O为AC中点，
∴OE为△ABC的中线.
∴EO//BC//AD且OE=12AD=12BC=5.
∵OF=12OD，
∴OF=FD=12OD.
∵OE//AD，
∴∠DHF=∠OEF.
在△DHF与△OEF中，
∠DHF=∠OEF，
∠DFH=∠OFE,
OF=FD，
∴△DHF≅△OEF.
∴DH=EO=5.
∴AH=AD+DH=15.
②F在OD上且OF=12OD，
由菱形ABCD的性质，我们可以知道，周长已知为40，AB=AC=BC=CD=10，
对角线AC、BD互相垂直且平分，
∴OB=OD.
∵OF=12OD=12OB，
∴F为OB的中点.
∵E为AB的中点，
∴EF⊥BD且∠EFD=90∘.
由于∠ADB为公共角，
∴Rt△HFD∼Rt△AOD.
∴HDAD=FDOD.
FD=OF+OD=32OD，
HD=AH+AD,
∴解得AH=253.
故答案为：15或253.
10.
【答案】
125∘
【考点】
三角形内角和定理
角平分线的定义
【解析】
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值．
【解答】
解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)
=12(180∘−∠A)=12(180∘−70∘)=55∘，
∴在△BOC中，∠BOC=180∘−55∘=125∘．
故答案为：125∘．
11.
【答案】
垂线段最短
【考点】
垂线段最短
【解析】
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】
解：拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，
则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD，
即为所求小径的位置，这样画的理由是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
12.
【答案】
2√41
【考点】
勾股定理
等腰三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
将△ABD绕点A顺时针旋转至△AEC，旋转角为∠CAD，证出△BEE为直角三角形，由等腰三角形的性质求出BE=2BF=8，由勾股定理求出EC，即可得出答案.
【解答】
解：作∠BAE=∠CAD，且AE=AB，
连接BE，作AF⊥BE于F，如图，
则△AEC≅△ABD，∠AFB=90∘，
∴EC=BD，∠BAE=∠CAD，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB.
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=90∘，
∴∠ABH+∠BAH=90∘.
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠BAH=∠ADC，
∴∠ABH+∠ABE=90∘，
∴∠CBE=90∘，
∴四边形AFBH是矩形，
∴BF=AH=4.
∵AE=AB，AF⊥BE，
∴BF=EF，
∴BE=2BF=8,
∴EC=√BE2+BC2=√82+102=2√41，
∴BD=2√41.
故答案为：2√41.
三、解答题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分）
13.
【答案】
解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为30，则2x+x=30，解得x=10，
则x+y=18，即10+y=24，解得y=14；
若AB+AD的长为24，则2x+x=24，解得x=8cm，
则x+y=30，即8+y=30，解得y=22(舍去)．
所以等腰三角形的腰长为20厘米，底边长为14厘米
或腰长为16厘米，底边长为22厘米.
【考点】
等腰三角形的判定与性质
三角形三边关系
【解析】
等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是12cm，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为30，则2x+x=30，解得x=10，
则x+y=18，即10+y=24，解得y=14；
若AB+AD的长为24，则2x+x=24，解得x=8cm，
则x+y=30，即8+y=30，解得y=22(舍去)．
所以等腰三角形的腰长为20厘米，底边长为14厘米
或腰长为16厘米，底边长为22厘米.
14.
【答案】
解：添加的条件：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC等（答案不唯一）．
理由：(1)如果添加条件是AD=BC时，
∵BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，
{BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(2)如果添加条件是OC=OD时，
∵∠1=∠2
∴OA=OB
∴OA+OD=OB+OD
∴BC=AD
又∵∠2=∠1，AB=BA
在△ABC与△BAD中，
{BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(3)如果添加条件是∠C=∠D时，
∵∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，
{∠C=∠D，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(4)如果添加条件是∠CAO=∠DBC时，
∵∠1=∠2，
∴∠CAO+∠1=∠DBC+∠2，
∴∠CAB=∠DBA，
又∵AB=BA，∠2=∠1，
在△ABC与△BAD中，
{∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠2=∠1，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
要使AC=BD，可以证明△ACB≅△BDA或者△ACO≅△BDO从而得到结论．
【解答】
解：添加的条件：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC等（答案不唯一）．理由：(1)如果添加条件是AD=BC时，
∵BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，
{BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(2)如果添加条件是OC=OD时，
∵∠1=∠2
∴OA=OB
∴OA+OD=OB+OD
∴BC=AD
又∵∠2=∠1，AB=BA
在△ABC与△BAD中，{BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(3)如果添加条件是∠C=∠D时，
∵∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，{∠C=∠D，∠2=∠1，AB=BA，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD；
(4)如果添加条件是∠CAO=∠DBC时，
∵∠1=∠2，
∴∠CAO+∠1=∠DBC+∠2，
∴∠CAB=∠DBA，
又∵AB=BA，∠2=∠1，
在△ABC与△BAD中，{∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠2=∠1，
∴△ABC≅△BAD，
∴AC=BD．
15.
【答案】
解：设∠BAD=x∘，
则∠C=∠B=∠BAD=∠x∘．
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2x∘，
∴∠CAD=∠ADC=2x∘．
∵∠ADC+∠C+∠CAD=180∘，
∴2x+x+2x=180，
解得x=36，
∴∠BAD=36∘.
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
【解答】
解：设∠BAD =x ∘，
则∠C =∠B =∠BAD =∠x ∘．
∵∠ADC =∠B +∠BAD =2x ∘，
∴∠CAD =∠ADC =2x ∘．
∵∠ADC +∠C +∠CAD =180∘，
∴2x +x +2x =180，
解得x =36，
∴∠BAD =36∘.16.
【答案】
[加加加C =40∘
【考点】
三角形的角平分线
三角形综合题
三角形内角和定理
三角形的高
【解析】
根据三角形内角和定理，求出∠BAC 即可解决问题．
【解答】
解：Al ⊥BC
∠ADB =90∘
∠B =60∘
2AD =30∘
∠DAE =10∘
∠BAE =40
∘AE 平分么BAC ，
∴2AE ==∠CAE =40∘∠BAC =80∘
∠C =180∘−∠B −−BAE =40∘
17.
【答案】
90
(2)①当点D在线段BC动时，
α与β之间的数量关系是α+β=180∘.
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=180∘，
即∠BCE+∠BAC=180∘，
即α+β=180∘.
②(i)当点D在CB的延长线上，如图，α=
β.
理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中
∵
{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ACB=∠ABD−∠BAC=∠ACE−∠BCE，∴∠BAC=∠BCE，
∴α=β.
(ii)当点D在BC的延长线上时，如图，α+β=180∘.
理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中
{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∵
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘
∴∠BAC+∠BCE=180∘，
即α+β=180∘.
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
【解析】
（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≅△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．
【解答】
解：(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB.
又∵∠BAC=90∘，∴∠B+∠ACB=180∘−90∘=90∘，∴∠BCE=90∘.
故答案为：90.
(2)①当点D在线段BC动时，
α与β之间的数量关系是α+β=180∘.
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=180∘，
即∠BCE+∠BAC=180∘，
即α+β=180∘.
②(i)当点D在CB的延长线上，如图，α=
β.
理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中
∵
{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ACB=∠ABD−∠BAC=∠ACE−∠BCE，∴∠BAC=∠BCE，
∴α=β.
(ii)当点D在BC的延长线上时，如图，α+β=180∘
.
理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中
∵
{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘
∴∠BAC+∠BCE=180∘，
即α+β=180∘.
18.
【答案】
解：(1)如图(1)，∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD，
又∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD，
又∵∠FGE=60∘，
∴∠EGD=13(180∘−60∘)=40∘，
∴∠1=40∘；
(2)如图(2)，∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180∘，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180∘，又∵∠FEG+∠EGF=90∘，
∴∠AEF+∠FGC=90∘；
60∘−α
【考点】
平行线的性质
余角和补角
【解析】
（1）依据AB//CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60∘，即可得
出∠EGD=13(180∘−60∘)＝40∘，进而得到∠1＝40∘；
（2）根据AB//CD，可得∠AEG+∠CGE＝180∘，再根据∠FEG+∠EGF＝90∘，即可得
到∠AEF+∠GFC＝90∘；
（3）依据AB//CD，可得∠AEF+∠CFE＝180∘，再根
据∠GFE＝90∘，∠GEF＝30∘，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180∘−90∘−30∘−α＝60∘−α．【解答】
解：(1)如图(1)，∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD，
又∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD，
又∵∠FGE=60∘，
∴∠EGD=13(180∘−60∘)=40∘，
∴∠1=40∘；
(2)如图(2)，∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180∘，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180∘，
又∵∠FEG+∠EGF=90∘，
∴∠AEF+∠FGC=90∘；
(3)如图(3)，∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180∘，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180∘，
又∵∠GFE=90∘，∠GEF=30∘，∠AEG=α，
∴∠GFC=180∘−90∘−30∘−α=60∘−α．
故答案为：60∘−α．
19.
【答案】
(1)证明：∵BD⊥DC,CA⊥AB，
∴∠BAC=∠CDB=90∘
在Rt△ABC和Rt△DCB中，{BC=CBAC=DB
∴Rt△ABC≅Rt△DCB(HL)∴AB=DC．
(2)△ABE≅△DCE,△ABC≅△DCB,∠CAB.
【考点】
全等三角形的判定
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵BD⊥DC,CA⊥AB，
∴∠BAC=∠CDB=90∘
在Rt△ABC和Rt△DCB中，{BC=CBAC=DB
∴Rt△ABC≅Rt△DCB(HL)∴AB=DC．
20.
【答案】
解：(1)易知∠FHG为三角形FHE的外角，则∠FHG=∠E+∠EFH，又∠E=36∘，∠FHG=54∘，
则∠EFH=54∘−36∘=18∘.
(2)AB//CD.
理由如下：
根据三角形的内角和，
在△FHG中，∠HFG+∠FGH+∠GHF=180∘，
由(1)知∠EFH=18∘，又∠EFG=90∘，∠FHG=54∘，
则∠HFG=72∘，∠FGH=54∘.
又GE平分∠FGD，
则∠FGH=∠DGH=54∘，
即∠DGH=∠FHG，
所以AB//CD.
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
角平分线的性质
平行线的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)易知∠FHG为三角形FHE的外角，则∠FHG=∠E+∠EFH，又∠E=36∘，∠FHG=54∘，
则∠EFH=54∘−36∘=18∘.
(2)AB//CD.
根据三角形的内角和，
在△FHG中，∠HFG+∠FGH+∠GHF=180∘，
由(1)知∠EFH=18∘，又∠EFG=90∘，∠FHG=54∘，
则∠HFG=72∘，∠FGH=54∘.
又GE平分∠FGD，
则∠FGH=∠DGH=54∘，
即∠DGH=∠FHG，
所以AB//CD.
21.
【答案】
(1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90∘，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵{BD=CDBE=CF
∴△BDE≅△CDF(HL)，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；
(2)解：AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90∘，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
{∠EAD=∠CADAD=AD∠ADE=∠ADF ，
∵
∴△AED≅△AFD(ASA)，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE+AF=2AE．
【考点】
全等三角形的性质与判定
角平分线的性质
【解析】
（1）根据相“HL”定理得出△BDE≅△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≅△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≅△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE−BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】
(1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90∘，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵{BD=CDBE=CF
∴△BDE≅△CDF(HL)，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；
(2)解：AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90∘，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
{∠EAD=∠CADAD=AD∠ADE=∠ADF ，
∵
∴△AED≅△AFD(ASA)，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE+AF=2AE．
22.
【答案】
证明：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)；
解：（2）∵△ABD≅△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=20∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180∘−86∘)=47∘，
∴∠FBC=∠FCB=47∘−20∘=27∘，
∴∠BFC=180∘−27∘−27∘=126∘．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
（1）由SAS证明△ABD≅△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠ACE=∠ABD=20∘，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABC=∠ACB=47∘，则∠FBC=∠FCB=27∘，即可得出答案．
【解答】
证明：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)；
解：（2）∵△ABD≅△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=20∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180∘−86∘)=47∘，
∴∠FBC=∠FCB=47∘−20∘=27∘，
∴∠BFC=180∘−27∘−27∘=126∘．
23.
【答案】
证明：AE=CD且AE⊥CD．
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
{AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≅△CBD，
∴AE=CD．
∵△ABE≅△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180∘−∠BCD−∠CNM，
∠ABC=180∘−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90∘，
∴∠NMC=90∘，
∴AE⊥CD．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）欲证明AE＝CD，只要证明△ABE≅△CBD；
（2）由△ABE≅△CBD，推出BAE＝∠BCD，
由∠NMC＝180∘−∠BCD−∠CNM，∠ABC＝180∘−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90∘，可得∠NMC＝90∘；
（3）结论：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分线的判定定理证明即可；
【解答】
证明：AE=CD且AE⊥CD．
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
{AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≅△CBD，
∴AE=CD．
∵△ABE≅△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180∘−∠BCD−∠CNM，
∠ABC=180∘−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90∘，
∴∠NMC=90∘，
∴AE⊥CD．。