课时跟踪检测 (十六) 定积分与微积分基本定理

课时跟踪检测 (十六) 定积分与微积分基本定理
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
解析：选A ∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.
2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x >0，
x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0， f (f (1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1
D ．－2
解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a
3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1，得a 3＝1，
a ＝1，故选A.
3．由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.1
2 B ．1 C.32
D. 3
解析：选D 由题意知S ＝∫π3－π
3cos x d x ＝
sin x | π3－π3＝32－⎝⎛⎭
⎫－32＝ 3.
4．若函数f (x )＝x －1x ，则⎠⎛1e
f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛1e
f (x )d x ＝⎠⎛1e
⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x |e
1＝12e 2－32. 答案：12e 2－3
2
5．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.
解析：s ＝∫21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |2
1
＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝13
2(m)． 答案：132
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则∫e 1ln x d x ＝( ) A ．1 B ．e C ．e －1
D ．e ＋1
解析：选A 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是∫e 1ln x d x ＝(x ln x －x )| e 1＝(eln e －e)－(1×ln 1－1)＝1.
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )
A.12g B ．g C.32
g D ．2g
解析：选C 由题意知电视塔高为 ∫21
gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32
g . 3．定积分∫2－2|x 2
－2x |d x ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选D ∵|x 2－2x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2
＋2x ，0≤x ≤2， ∴∫2－2|x 2－2x |d x ＝∫0－2(x 2－2x )d x ＋∫20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|0－2
＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝8. 4．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为8
3，则m 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．1
D ．8
解析：选A S ＝∫m 20(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32| m 20＝m 3－23m 3＝83， 解得m ＝2.
5．若a ＝∫10x d x ，b ＝∫101－x d x ，c ＝∫10
1－x 2d x ，则将a ，b ，c 从小到大排列的顺序为( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．c <b <a
D ．a <c <b
解析：选A 根据定积分的几何意义可知a ＝∫10x d x ＝∫10
(1－x )d x .当0<x <1时，1－x <1－x <1－x 2，
所以在区间(0,1)上三个函数y ＝1－x ，y ＝1－x ，y ＝1－x 2的图象从低到高，在点x ＝0，x ＝1处三个函数的图象重合．根据定积分的几何意义得a <b <c .
6．若函数f (x )＝x ＋1
x ，则∫e 1f (x )d x ＝________. 解析：∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 2＋12.
答案：e 2＋1
2
7．若f (x )＝x ＋2∫1
0f (t )d t ，则f (x )＝________.
解析：记a ＝∫10f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ， 故∫10f (x )d x ＝∫10
(x ＋2a )d x ＝12＋2a ， 所以a ＝12＋2a ，a ＝－1
2，故f (x )＝x －1.
答案：x －1
8．(2017·洛阳统考)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，－1≤x ＜0，
e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成
的封闭图形的面积为________．
解析：由题意知所求面积为∫0－1(x ＋1)d x ＋∫10e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－
1＋e x |10
＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －1
2
.
答案：e －1
2
9.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2
＋2x ＋1，
y ＝1，
解得x 1＝0，x 2＝2.
∴S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝∫20
(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 3
3＋x 2|20＝－83＋4＝43. 答案：43
10．已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求∫30f (x )d x 的值． 解：∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ＋3.
∴∫30
f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2014·湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠
⎛1－1f (x )g (x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－
1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 1
2x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区
间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12xcos 12xdx ＝⎠⎛1－112sin xdx ＝0，所以①是一组正交函数； 对于②，⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠
⎛1－1(x 2－1)dx ≠0，所以②不是一组正交函数；
对于③，⎠
⎛1－1x ·x 2dx ＝⎠
⎛1－1x 3dx ＝0，所以③是一组正交函数．选C .
2．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b]上的最大值和最小值，则m(b －a )≤∫b
a f (x )dx ≤M(
b －a )．根据上述估值定理可知定积分∫2－12－x 2
dx 的取值范围是________．
解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以
1
16
≤2－x 2≤1. 根据估值定理得116×[2－(－1)]≤∫2－12－x 2
dx ≤1×[2－(－1)]， 即316≤∫2－12－x 2dx ≤3. 答案：⎣⎡⎦
⎤3
16，3 3．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．
解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，
则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图：
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
，y ＝2x 可得交点A(2,4)． ∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝∫20(2x －x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.。