运筹学ABC-4-3排队论

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如采取第一种方法，缩短平均服务时间，每小时 服务的顾客数由原来的 48人提高到 60人，即每分钟
平均服务的顾客数从 0.8 人提高到 1 人，这时 仍然
是 0.6， 为 1。用前面公式计算得到下表数据：
数量指标 第一种方法 原系统
系统里没有顾客的概率
• （平均）等候时间: Wq = -
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(5) 利特尔 ( Little ) 公式 — 排队论中重要公式
L=W
L q = Wq
W= Wq+1/u
L= Lq +/u
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例：某港口，货轮到达服从 Poisson 分布，
(2) 负指数公布 如果随机变量T的概率密度为
(t)= e-t
则称T服从负指数分布。
其数学期望 E(T) = 1/ ，VAR[T]=1/ 2
可以证明：顾客相继到达的间隔时间相互独立，且为 同负指数分布，与输入过程为Poisson流是等价的。 假设对顾客的服务时间也服从负指数分布，这时其概 率密度函数为： (t)= ue-ut
平均排队的顾客人数 系统里的平均顾客数 一位顾客平均排队时间 一位顾客平均逗留时间 顾客到达系统必须等待排队的概率 系统里有 7 个或更多顾客的概率为
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P0 = 0.4
Lq = 0.9（人） L = 1.5（人） Wq = 1.5（分钟） W = 2.5（分钟） Pw = 0.6 0.0279
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• 排队论 （Queuing Theory or Waiting line Theory）： 要求获得某种服务的对象所产生的随机聚散理论。 运筹学重要的分支，属于随机运筹范畴。 研究内容： （1）性态问题； （2）最优化问题 （3）排队系统的统计推断。
• 等待制：到达后服务台满，排队等候的情形；
▲ 先到先服务 ▲ 后到先服务 ▲ 优先权服务
▲ 随机服务
• 混合制：等待，但有时间或空间的限制。
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3、服务机构： • 服务台的个数：1 个或多个 • 服务时间分布 • 单个服务与批量服务 按照这三个要素的不同组合情况，
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AGENT
代理人/人工座席
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三、排队系统的组成和特征
顾客到达 排队结构
排队规则 排队系统
离去 服务机构 服务规则
顾客源
1、输入过程（到达）：
顾客到来并排队等候的规律。
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2、排队规则：
• 损失制：到达后因服务台满，随即离去的情形；
尽人意，到达储蓄所有 75％ 的概率要排队，排队的长度 平均为 2.25 人，排队的平均时间为 3.75 分钟，是平均 服务时间 1.25 的 3 倍，而且在储蓄所里有7 个或更多的 顾客的概率为 13.35％，这个概率太高了。 要提高服务水平，减少顾客在系统里的平均逗留时 间，即减少顾客的平均排队时间和平均服务时间，一般 可采用两种措施： 第一，提高服务效率，减少服务时间；第二，增加 服务台即增加服务窗口。
可以产生很多不同的模型与求解方法。
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四、Kendall 符号
1953年，D. G. Kendall（英）提出排队系统的描述方
法。其基本形式为X / Y / Z，其中 X — 表示顾客相继到达时间间隔的分布 Y — 表示服务时间的分布 Z — 表示服务台的个数
Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.75 (分钟)， W = Wq+ 1/ = 3.75+1/0.8 = 5 (分钟), P0 =1 = 10.6/0.8 = 0.25, Pn =()n P0 = (0.75)n × 0.25, n =1, 2, …。
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M / M / 1 是一个基本的排队论模型
M — 表示负指数分布 1 — 表示 1 个服务台
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1971年，在一次关于符号标准化的会议上，将 Kendall符号扩展为：X / Y / Z / A / B / C。 其中： X — 表示顾客相继到达时间间隔的分布 Y — 表示服务时间的分布 Z — 表示服务台的个数 A — 表示系统容量限制N B — 表示顾客源数目m C — 表示服务规则。 并约定，如果省去后三项，是指X / Y / Z / / / FCFS 情形。
0.1335
如果在第二种方法中把排队规则变一下，在储蓄所里只 排一个队，这样的排队系统就变成了 M /M / 2 排队系统。
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第三节 M/M/c/∞/∞系统
卸 位 s
n
采掘场
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卸场
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例5：Call Center 的配置与人工座席的安排
PSTN
公共电话系统
IVR PBX / ACD
语音自动应答系统
自动交换机 /自动分配系统
客户
CTI 服务器
Compute/Telephone/Integration
基于 PBX 的 Call Center 核心部分拓扑结构
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五、排队系统的数量指标
顾客的到来及服务台的服务都是随机的， 故排队系统的数量指标中使用了随机变量、 随机过程的一些数字特征。
1、队 长：指系统中的顾客数的数学期望，记作 L 2、排队长：指系统中排队等候顾客的数学期望，记作 Lq 3、逗留时间：指顾客到来起到服务完毕后离去止的时间
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系统里的顾客数 0 1 2 3
概率 0.2500 0.1875 0.1406 0.1055
4
5 6 7 或 7 个以上
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0.0791
0.0593 0.0445 0.1335
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从以上的数据，可以知道储蓄所这个排队系统并不
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第四部分
运筹学分支专题选讲
第三讲 排队论——随机服务系统
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第一节 排队论概述 一、电话与排队论：
• 1876年，A.G.Bell（美波士顿大学语音学教授） 在 T. A. Wosen 的协助下发明了电话。 1878年，他们在波士顿与纽约（相距300KM） 之间长途通话成功。 三个月后，成立了贝尔电话公司。
的数学期望，记作 W
4、等待时间：指顾客到来到开始接受服务为止的时间
的数学期望，记用 Wq
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第二节 M/M/1 系统
1、普阿松分布与负指数分布
(1) 普阿松（Poisson）分布 性质：在不重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立 的；在充分小的时间区间，有一个顾客达到的概率与t无 关，有2个或2个以上顾客到达的概率可以忽略。
其中表示单位时间内被服务的顾客数，称为平均服务 率，而1/表示顾客的平均服务时间。
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2、 M / M / 1 的条件
标准的M / M / 1模型是指适合下列条件的排队系统：
(1) 输入过程——顾客源是无限的，顾客单个到来，相 互独立，一定时间的到达数服从Poisson分布。 (2) 排队规则——单队，且队长没有限制，先到先服务。
平Hale Waihona Puke 6小时到达1艘，而码头装卸一艘平均为2小时，
装卸时间服从负指数公布。 试计算 L，Lq，W，Wq 。 解： 到达率: = 1/6 服务率: = 1/2 则 = / = 1/3
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(1) L = 1- = 1/2 2 (2) Lq = 1- = 1/6 1 (3) W = - = 3 (4) Wq = - = 1
即:系统内，
平均排队长 1/6艘，
平均队长 1/2 艘，
平均等候时间 1 小时，
平均逗留时间 3 小时。
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例 某储蓄所只有一个服务窗口。根据统计分析，顾 客的到达过程服从泊松分布，平均每小时到达顾客 36人；储蓄所的服务时间服从负指数分布，平均每 小时能处理 48 位顾客的业务。试求这个排队系统 的数量指标。 解： 平均到达率 平均服务率
仍然为 0.8，但到达率由于分流，只有原来的一
半， ＝0.3，这时我们可以求得：
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数量指标 系统里没有顾客的概率
第二种方法 P0 = 0.625
第一种方法 P0 = 0.4
原系统 0.25
平均排队的顾客人数
系统里的平均顾客数 一位顾客平均排队时间 一位顾客平均逗留时间
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二、排队现象 例1：到医院的病人 例2：到达机场上空的飞机 例3：银行柜员制服务
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例4：露天矿的装载 — 运送 — 卸料系统
（徐光辉1978）
空车运行 1 2
装车排队
1 2 电 铲
重车运行 卸车排队
Lq = 0.225
Ls = 0.6 Wq = 0.75 Ws = 2.00
Lq = 0.9
L = 1.5 Wq = 1.5 W = 2.5
2.25
3 3.75 5
顾客到达系统必须等待排 队的概率
系统里有 7 个或更多顾客 的概率为
Pw = 0.375
0.0074
Pw = 0.6
0.0279
0.75
( t)k - t e P{ [ 0, t ]中到达 k 个顾客 } = k!
其数学期望E[N(t)]=t,方差Var[N(t)]=t。 称为“平均到达率”，表示单位时间内平均到达的顾 客数，而1/表示相继顾客到达的平均间隔时间。
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= 36/60 = 0.6， = 48/60 = 0.8。
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= / = 0.6/0.8 = 0.75,
Lq =2/ ( ) = (0.6)2 / 0.8(0.8 0.6) =2.25 (个顾客),
L = Lq + / = 2.25+ 0.6/0.8 = 3 (个顾客),
(3) 服务机构——单服务台，各顾客的服务时间是相互 独立的，服从相同的负指数分布。
(4) 顾客到达间隔时间和服务时间是相互独立的。
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3、 M /M /1 系统的分析思路与若干结果
(1) 确定所研究系统属 M / M / 1模型
(2) 获取单位时间内平均到达的顾客数 与单位时间内被 服务的顾客平均数，或者顾客的到达间隔时间与服务 时间。 （它们可由抽样平均值来估计）
(3) 建立组合参数
= /
(0＜＜1)
称为服务强度或系统服务率。
（这里 <1，为什么？）
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(4) 在统计平衡状态下，可导出： L = 1- • （平均）队长: • （平均）排队长: 2 Lq = 1-
1 • （平均）逗留时间: W = -
0.25
2.25 3 3.75 5 0.75 0.1335
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如采用第二种方法，再开设一个服务窗口，排 队的规则为每个窗口排一队，先到先服务，并假设 顾客一旦排了一个队，就不能换到另一个队去。
这种处理方法把一个排队系统分成两个排队系
统，每个系统中有一个服务台，每个系统的服务率
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• 电话服务中的一个基本问题： 客户方：希望顺利接通，导致交换机要大一些。
公司方：既希望留住客户，又不愿成本过高，
故不愿意任意扩大交换机。 • Erlang的研究： （丹麦哥本哈根电话公司工程师）
1909年著名论文“概率与电话通话理论”
标志着排队论问世。